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Matlab基础及其应用教程复习 第三章 MATLAB数值运算 3.1 多项式 3.2 插值和拟合 3.3 数值微积分 3.4 线性方程组的数值解 3.1 多 项 式 3.1.1 多项式的表达和创建 3.1.2多项式的四则运算 多项式的四则运算包括多项式的加、减、乘、除 运算。 Polyadd函数。 多项式的四则运算法则 相加：polyadd(a,b) ； a,b为多项式 相减：polyadd(a,-b)； 相乘：c=conv(a,b)；其中a, b 代表两个多项式 的系数向量，函数conv 也可以嵌套使用，如 conv(conv(a,b),c)。 相除：q,r=deconv(a,b),其中q为整除的多项式 ，r为余数多项式。 例3.2 调用polyadd函数来完成两个不同阶次多项式： 的相加运算。 m=1 2; n=1 4 7; s=polyadd(m,n) s= 1 5 9 ， 例3.4完成两个同阶次多项的相乘运算。 a=1 2 3 4; b=1 4 9 16; e = conv(a,b) e = 1 6 20 50 75 84 64 【例 3.3】 完成两个同阶次多项式： 的相减运算。 a=1 2 3 4; b=1 4 9 16; d=polyadd(a,-b) d = 0 -2 -6 -12 例3.7 求商多项式及余多项式。 p1=conv(1,0,1,conv(1,2,1,1); % 计算分子多项式 p2=1 0 1 1; % 注意缺项补零 q,r=deconv(p1,p2) q = 1 3 r = 0 0 2 -1 -1 即表示商多项式为s+3，余多项式为 。 3.1.3多项式求值和求根运算 多项式求值y = polyval(p,x) 利用 polyval 函数找出 在 s=3 处的值： p=1 2 -12 -1 7; z=polyval(p,3) z = 31 2. 多项式求根x=roots(P) 求多项式 的根并验证。 p=1 -3 2; roots(p) ans = 2 1 polyval(p,2), polyval(p,1) ans = 0 ans = 0 3.2 插 值 和 拟 合 插值和拟合 的概念。 插值：构造一个简单函数P(x)作为f(x)的近似， 然后通过处理P(x)获得关于f(x)的结果，要求近似函数 P(x)取给定的离散数据，则P(x)为f(x)的插值函数。 拟合：根据N个给定的点求一条近似曲线，所求 的近似曲线并不要求通过所有给定的点，只要求函数能 够反映数据的基本变化趋势。 1多项式插值函数： yi = interp1(x,y,xi,method) 其中x和y是原已知数据的x、y值，xi 是要内插的数据点，method是插值方法 。插值 方法有：nearest ，linear ，spline ，cubic 。其中nearest为寻找最近数据节点，由其得出函数值 ；linear为线性插值；spline为样条插值函数，在数据 节点处光滑，即左导等于右导；cubic为三次方程式插值 。 例3.16：取余弦曲线上11个点的自变量和函数值 点作为已知数据，再选取41个自变量点，分别用分段线 性插值、三次方程式插值和样条插值三种方法计算确定 插值函数的值。 x=0:10; y=cos(x); xi=0:.25:10; y0=cos(xi); %精确值 y1=interp1(x,y,xi); %线性插值结果 y2=interp1(x,y,xi,cubic); %三次方程式插值结果 y3=interp1(x,y,xi,spline); %样条插值结果 plot(xi,y0,o,xi,y1,xi,y2,-.,xi,y3) subplot(3,1,1);plot(xi,y1-y0);grid on subplot(3,1,2);plot(xi,y2-y0);grid on subplot(3,1,3);plot(xi,y3-y0);grid on 3 种插值方法比较如图3.1 所示，将3 种插值结果分别减去直接由函数计算 的值，得到其误差如图3.2 所示。从图3.2 可以看出，样条插值和三次方程 式插值效果较好，而分段线性插值则较差。 图3.1 3 种插值方法比较图 图3.2 3 种插值方法的误差 2多项式拟合函数： p=polyfit(x,y,n) p,s=polyfit(x,y,n) 其中x,y为已知的数据组，n为要拟合的多项 式的阶次，向量p为返回的要拟合的多项式的系数，向量 s为调用函数polyval获得的错误预估计值 。 一般来说，多项式拟合中阶数n越大，拟合 的精度就越高 。 例3.18：对向量X=-2.8 -1 0.2 2.1 5.2 6.8和Y=3.1 4.6 2.3 1.2 2.3 -1.1分别进行阶数 为3、4、5的多项式拟合，并画出图形进行比较 。 x=-2.8 -1 0.2 2.1 5.2 6.8; y=3.1 4.6 2.3 1.2 2.3 -1.1; p3=polyfit(x, y, 3); % 用不同阶数的多项式拟合x 和y p4=polyfit(x, y, 4); p5=polyfit(x, y, 5); xcurve= -3.5:0.1:7.2; % 生成x 值 p3curve=polyval(p3, xcurve); % 计算在这些x 点的多 项式值 p4curve=polyval(p4, xcurve); p5curve=polyval(p5, xcurve); plot(xcurve,p3curve,-,xcurve,p4curve,- .,xcurve,p5curve,-,x,y,*); 3.3.2 牛顿-科茨系列数值积分公式 考虑一个积分式的数学式 ，其中 a，b 分别为这个积分式的上限及下限，f(x)为要积分的函数 。不论在实际问题中的意义如何，该积分在数值上都等于曲线y=f(x) ，直线x=a、x=b 与x 轴所围成的曲边梯形的面积。因此，不管f(x)以 什么形式给出，只要近似地计算出相应的曲边梯形的面积，就得到 了所给定积分的近似值。 求解定积分的数值方法基本思想：将整个积分区间 a,b分成n 个子 区间 其中 这样求 定积分问题就分解为求和问题。 MATLAB 提供了在有限区间内，数值计算某函数积分的函 数，它们分别是cumsum(矩形积分)，trapz(梯形积分)，quad( 辛普森积分)，quadl(科茨积分，也称高精度数值积分)。 3.4 线性方程组的数值解 3.4.1 直接法 1. 矩阵相除法 在MATLAB 中，线性方程组AX=B 的直接解法 是用矩阵除来完成的，即X=AB。若A 为m n的矩阵， 当m = n且 A可逆时，给出唯一解；当n m时，矩阵除 给出方程的最小二乘解；当n a=1/2 1/3 1;1 5/3 3;2 4/3 5; %A为33 矩阵，n=m b=1;3;2; c=ab %因为n=m，且A 可逆，给出唯一解 c = 4 3 -2 由此得知方程组的解为1 2 3 x = 4, x = 3, x = 2。注意： 矩阵B 为列向量。 习题讲解 教材 P102 3.8习题 2、3、5。 练习 1.多项式的四则运算 2.插值与拟合。 已知： x0=0,1,2,3,4,5,6; y0=0,2.24,2.83,3.00,2.83,2.24,0 求（1）在区间0,6上对已知点分别进行线性插 值，三次方程组插值。 （2）在区间0,6上对已知点分别进行二次拟合 ，三次拟合，并求出相应的拟合多项式。 第4章 MATLAB符号运算 4.1 符号对象及其表达方式 4.2 符号算术运算 4.3 独立变量与表达式化简 4.4 符号微积分运算 4.5 方程的解析解 4.1 符号对象及其表达方式 符号对象是对参与符号运算的各种形式量的一个 统称。包括符号常量、符号变量、符号表达式和符号矩 阵或数组. 定义符号变量可以有两种方法： （1）使用sym( )函数： sym(x) （2） 使用syms命令 syms arg1 arg2 . 例： sym(x) %定义符号变量x syms a b c syms m n real 4.1.2 符号表达式 【例4.4】构造符号表达式。 syms x y z r s t; x2+2*x+1 ans = x2+2*x+1 exp(y)+exp(z)2 ans = exp(y)+exp(z)2 例4.5构造符号矩阵 S=sym(l,x,y,z;n,u,v,w;a,b,c,d;g,h,j,p) H=sym(cos(t), -sin(t); sin(t), cos(t) 例4.6 用sym()函数将数值矩阵转换成符号矩阵 。 先建立一个数值矩阵，例如： M=1.1, 1.2, 1.3; 2.1, 2.2, 2.3; 3.1, 3.2, 3.3 再通过sym命令可直接将数值矩阵转换为符号矩 阵，例如： S=sym(M) 4.2 符号算术运算 4.2.1 符号对象的加减 A+B、A-B 例4.9 求两个符号表达式的和与差 syms x fx gx % 定义符号变量于符号表 达式 fx = 2*x2+3*x-5 gx= x2-x+7 fx+gx fx-gx 4.2.2 符号对象的乘除 A*B、A/B可分别用来求A和B两个符号矩阵 的乘法与除法。A.*B则用来实现两个符号数组的乘法。 其中矩阵除法也可用来求解符号线性方程组的解。 例4.10已知多项式 求两个多项式的积和商。 syms x fx gx fx = 3*x5-x4+2*x3+x2+3 gx= 1/3*x3+x2-3*x-1 fx*gx expand(fx*gx) %展开积的符号表达式 fx/gx expand(fx/gx) %展开商的符号表达式 4.3 表达式化简 MATLAB提供了化简和美化符号表达式的各 种函数，具体有：合并同类项（collect）、多项式展开（ expand）、因式分解（factor）、一般化简（simplify） 、不定化简（simple）、通分（numden）和书写格式美 化（pretty）。 4.4 符号微积分运算 4.4.1 符号极限 求解极限limit( )函数 4.4.2 符号微分 diff( )函数可用来求解符号对象的微分 4.4.3 符号积分 MATLAB提供的符号函数积分int( )的函数，既可 以计算不定积分又可以 计算定积分、广义积分 习题讲解 教材P154 习题 1、4、7、12 练习 1.符号算术运算 2.符号表达式的化简 3.符号微积分运算 第5章 MALAB数据可视化 5.1 二维图形 创建图形窗口 figure 2. 关闭与清除图形窗口 以close命令关闭图形窗口，其调用方式有： （1）close：关闭当前图形窗口，等效于 close(gcf)； （2）close(h)：关闭图形句柄h指定的图形窗口 ； （3）close all：关闭除隐含图形句柄的所有图 形窗口； 清除当前图形窗口中使用如下命令： （1）clf：清除当前图形窗口所有可见的图形对 象。 5.1.2 基本二维图形绘制 在MATLAB中，主 要的二维绘图函数如下： （1）plot(x,y)：x轴 和y轴均为线性刻度； (2) plotyy: 绘制双 纵坐标图形。 例5.1 用plot函数画出sin(x2)在x0, 5之间的图形。 x=0:0.05:5; % x坐标从0到5 y=sin(x.2); % 对应的y坐标 plot(x,y); % 绘制图形 输出图形如图5.2所示。 函数plotyy 可以绘制两条具有不同纵坐标的曲线 ，调用格式为 plotyy(x1,y1,x2,y2) 例5.3 x=0:pi/180:2*pi; y1=exp(-0.3*x).*cos(2*x);y2=10*exp(-1.5*x); plotyy(x,y1,x,y2) 输出图形如图 所示。 具有不同纵坐标的图形 5.1.3 其他类型的二 维图 在MATLAB中，还有其他的绘图函数，可以绘制不同类型的二维图形，以 满足不同的要求.表5.1列出了这些绘图函数。 表5.1 其他绘图绘图 函数 函 数二维图维图 的形状备备 注 bar(x,y)条形图x是横坐标,y是纵坐标. errorbar(x,y,e)误差条形图x是横坐标,y是纵坐标,e是单位标准差. fplot(y,a b)精确绘图y代表某个函数,a b表示需要精确绘图的范围. polar(,r)极坐标图是角度,r代表以为变量的函数. hist(x,N)直方图x代表某个函数,N是长条的个数. rose(x)角度直方图x代表某个函数. stairs(x,y)阶梯图x是横坐标,y是纵坐标. stem(x,y)针状图x是横坐标,y是纵坐标. fill(x,y,b)实心图x是横坐标,y是纵坐标,b代表颜色 feather(z)羽毛图z是复变量 compass(z)罗盘图z是复变量 例5.4画极坐标图示例。 t=0:.01:2*pi; % 极坐标的角度. figure polar(t,abs(cos(2*t); 输出图形如图5.5所示。 5.1.4 色彩和线型 在MATLAB中为区别画在同一窗口中的多条曲线，可以改变曲线的颜色和 线型等图形属性，plot函数可以接受字符串输入变量，这些字符串输入变量用 来指定不同的颜色和线型。 颜颜色参数曲线颜线颜 色线线型参数曲线线线线 型 y黄-实线 b蓝:点线 g绿-.点划线 m洋红-虚线 w白.点 c青o圆 k黑+ r红* 表5.2 plot绘图函数的常用参数 例5.8 绘制两条不同颜色，不同线型的曲线。 x=0:0.05:20; y1=0.2+sin(-2*x); % 曲线y1 y2=sin(x.0.5); % 曲线y2 figure plot(x,y1,g+,x,y2,r-); %曲线y1用绿色加号线型表示，曲线y2用红色虚线表示 输出图形如图5.9所示。 5.1.5 坐标轴及标注 MATLAB在绘图时会根据数据的分布范围自动选择坐标轴的刻度范围， ATLAB同时提供了函数axis指定坐标轴的刻度范围其调用格式为： axis(xmin,xmax,ymin,ymax) 函数中 xmin,xmax,ymin,ymax分别表示x轴的起点、终点， y轴的起点、终点 。 MATLAB还提供了一些图形的标注命令（见表5.3），可以对每个坐标轴 单独进行标注，在图形的任意位置上放置文本以注解图形，还可以加上网格线 以确定曲线上某一点的坐标值，还可以用hold on/off 实现保持原有图形或刷新 原有图形。 表5.3 常用图图形标标注命令 命 令功 能 xlabel(optio n) x轴加标注， option表示任意选 项 ylabel(optio n) y轴加标注 title(option) 图形加标题 legend(opti on) 图形加标注 grid on/off显示/取消网格线 gtext(option ) 在鼠标指定的位置加标注. axis on /off显示/取消坐标轴 例5.9 图形标注示例。 x=0:0.05:5 ; figure y1=exp(0.4.x)-1.5;y2=sin(x*4); plot(x,y1,x,y2,r-.) % 曲线y2用红色点划线表示. line(0,5,0,0) % 在(0,0)和(5,0)之间画直线,代替横坐标. xlabel(Input);ylabel(Output); % x轴标注Input, y轴标注Output title(Two Function); % 图形标题Two Function legend(y1=exp(0.4.x)-1.5,y2=sin(x*4) % 注解图形. grid on % 显示网格线 输出图形如图5.11所示。 例5.10子图绘制示例。 x=linspace(0,2*pi,100); %x轴从02取100点 subplot(2,2,1);plot(x,sin(x); %视窗的第一行第一列画sin(x), xlabel(x);ylabel(y); title(sin(x) %x轴加注解x,y轴加注解y,加标题sin(x) subplot(2,2,2);plot(x,cos(x); xlabel(x);ylabel(y); title(cos(x); subplot(2,2,3);plot(x,exp(x); xlabel(x);ylabel(y); title(exp(x); subplot(2,2,4);plot(x,exp(-x); xlabel(x);ylabel(y); title(exp(-x); 输出图形如图5.13所示。 5.2 三维图形 5.2.1 三维曲线图 用函数plot3可以绘制三维图形，其调用格式有： （1）plot3(X1,Y1,Z1,.)：X1、Y1、Z1为向量或矩阵，表示图形的三维 坐标。该函数可以在同一图形窗口一次画出多条三维曲线，X1,Y1,Z1,. Xn,Yn,Zn指定各条曲线的三维坐标； （2）plot3(X1,Y1,Z1,LineSpec,.)：以LineSpec指定的属性绘制三维图 形； 例5.11绘制三维曲线示例。 t=0:0.05:20; figure subplot(2,2,1); plot3(sin(t),cos(t),t); % 画三维曲线 grid, text(0,0,0,0); % 在x=0,y=0,z=0处标记”0” title(Three Dimension); xlabel(sin(t),ylabel(cos(t),zlabel(t); subplot(2,2,2);plot(sin(t),t); % 三维曲线在x-z平面的投影 grid title(x-z plane); xlabel(sin(t),ylabel(t); subplot(2,2,3);plot(cos(t),t); % 三维曲线在y-z平面的投影 grid title(y-z plane); xlabel(cos(t),ylabel(t); subplot(2,2,4);plot(sin(t),cos(t); % 三维曲线在x-y平面的投影 title(x-y plane); xlabel(sin(t),ylabel(cos(t); grid 输出图形如图5.14所示。 5.2.2 三维曲面图 可用surf、surfc函数来绘制三维曲面图，调用格式如下： （1）surf(Z)：以矩阵Z指定的参数创建一渐变的三维曲面，坐标x = 1:n，y = 1:m，其中m,n = size(Z)，进一步在x-y平面上形成所谓“格点”矩阵 X,Y=meshgrid(x,y)，Z为函数z=f(x,y)在自变量采样“格点”上的函数值， Z=f(X,Y)。Z既指定了曲面的颜色，也指定了曲面的高度，所以渐变的颜色 可以和高度适配。所谓“格点”如图所示。 三维曲面与格点 （2）surf(X,Y,Z)：以Z确定的曲面高度和颜色，按照X、Y形成的“格点”矩阵， 创建一渐变的三维曲面。X、Y可以为向量或矩阵，若X、Y为向量，则必须满 足m= size(X)，n = size(Y)，m,n = size(Z)。 例5.12 绘制球体的三维图形。 figure X,Y,Z=sphere(30); %计算球体的三维坐标 surf (X,Y,Z); %绘制球体的三维图形 xlabel(x),ylabel(y),zlabel(z); title(SURF OF SPHERE) 输出图形如图5.16所示。 2标准三维曲面 (1) 用sphere 函数绘制三维球面，调用格式为 x,y,z=sphere(n) 产生(n+1)(n+1)矩阵x,y,z，采用这3 个矩阵绘制圆心位于 原点，半径为1 的球体。n决定球面的光滑程度，默认值为20。 (2) 用cylinder 函数绘制三维柱面，调用格式为 x,y,z=cylinder(R,n) R 是一个向量，存放柱面各等间隔高度上的半径，n 表示 圆柱圆周上有n 个等间隔点，默认值为20。 (3) 多峰函数peaks，常用于三维函数的演示。函数形式为 调用格式为 z=peaks(n) 生成一个nn 的矩阵z，n 的默认值为48；z=peaks(x,y)： 根据网格坐标矩阵x,y 计算函数值矩阵z。 【例5.15】 绘制三维标准曲面。 t=0:pi/20:2*pi; x,y,z=sphere; subplot(1,3,1); surf(x,y,z);xlabel(x),ylabel(y),zlabel(z); title(球面) x,y,z=cylinder(2+sin(2*t),30); subplot(1,3,2); surf(x,y,z);xlabel(x),ylabel(y),zlabel(z); title(柱面) x,y,z=peaks(20); subplot(1,3,3); surf(x,y,z);xlabel(x),ylabel(y),zlabel(z); title(多峰); 图5.20 三维标准曲面 输出图形如图5.20 所示。因柱面函数的R 选项2+sin(2*t)，所以绘制的柱面是 一个正弦型的。 5. 4函数绘图 5.4.1一元函数绘图 利用符号函数，我们可以通过ezplot函数绘制任意一元函数，其调用格式为： （1）ezplot(f)：按照x的缺省取值范围（-2*pix2*pi）在绘制f=f(x)的图形。 对于f=f(x,y)，x、y的缺省取值范围：-2*pi x 2*pi,、-2*pi y2*p，绘制f(x,y) = 0的图形； （2）ezplot(f,min,max)：按照x的指定取值范围（minxmax）绘制函数 f=f(x)的图形。对于f=f(x,y)，ezplot(f,xmin,xmax,ymin,ymax)，按照x、y的指 定取值范围（xminxxmax，yminyymax），绘制f(x,y) = 0的图形； （3）ezplot(x,y)：按照t的缺省取值范围（0t2*pi）绘制函数x=x(t)、y=y(t) 的图形； （4）ezplot(f,xmin,xmax,ymin,ymax)：按照指定的x、y取值范围（ xminxxmax，yminyymax）在图形窗口绘制函数f=f(x,y)的图形； （5）ezplot(x,y,tmin,tmax)：按照t的指定取值范围（tminttmax）在绘制函 数x=x(t)、y