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最新权威高考高分复习资料高考数学考前冲刺复习资料总汇高考冲刺：分类讨论思想分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是中学数学中经常使用的数学思想方法之一.突出考查学生思维的严谨性和周密性，以及认识问题的全面性和深刻性，提高学生分析问题，解决问题的能力，能体现“着重考查数学能力”的要求.因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点.而且也是高考的一个难点.数学中的分类讨论贯穿教材的各个部分，它不仅形式多样，而且具有很强的综合性和逻辑性.知识升华1.分类讨论的常见情形（1）由数学概念引起的分类讨论：主要是指有的概念本身是分类的，在不同条件下有不同结论，则必 须进行分类讨论求解，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.（2）由性质、定理、公式引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同条件下 结论不一致，如二次函数y=ax2+bx+c(a0)，由a的正负而导致开口方向不确定，等比数列前n项 和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等.（3）由某些数学式子变形引起的分类讨论：有的数学式子本身是分类给出的，如ax2+bx+c0，a=0， a0，a0解法是不同的.（4）由图形引起的分类讨论：有的图形的类型、位置也要分类，如角的终边所在象限，点、线、面的 位置关系等.（5）由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中常见.（6）由参数变化引起的讨论：所解问题含有参数时，必须对参数的不同取值进行分类讨论；含有参数 的数学问题中，参变量的不同取值，使得变形受限导致不同的结果.2.分类的原则（1）每次分类的对象是确定的，标准是同一的；分类讨论问题的难点在于什么时候开始讨论，即认识为什么要分类讨论，又从几方面开始讨论，只有明确了讨论原因，才能准确、恰当地进行分类与讨论.这就要求我们准确掌握所用的概念、定理、定义，考虑问题要全面.函数问题中的定义域，方程问题中根之间的大小，直线与二次曲线位置关系中的判别式等等，常常是分类讨论划分的依据.（2）每次分类的对象不遗漏、不重复、分层次、不越级讨论.当问题中出现多个不确定因素时，要以起主导作用的因素进行划分，做到不重不漏，然后对划分的每一类分别求解，再整合后得到一个完整的答案.数形结合是简化分类讨论的重要方法.3.分类讨论的一般步骤第一，明确讨论对象，确定对象的范围；第二，确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；第三，逐类讨论，获得阶段性结果；第四，归纳总结，得出结论.4.分类讨论应注意的问题第一，按主元分类的结果应求并集.第二，按参数分类的结果要分类给出.第三，分类讨论是一种重要的解题策略，但这种分类讨论的方法有时比较繁杂，若有可能，应尽量避免分类.经典例题透析类型一：不等式中的字母讨论1、解关于的不等式：.思路点拨：依据式子的特点，此题应先按对最高次项的系数是否为0来分类，然后对式子分解因式，并按两个根之间的大小关系来分类讨论.而对于与时，先写简单好作的.解析：（1）当时，原不等式化为一次不等式：，；（2）当时，原不等式变为：， 若，则原不等式化为 ，不等式解为或， 若，则原不等式化为， （）当时，不等式解为， （）当时，不等式解为； （）当时，不等式解为， 综上所述，原不等式的解集为： 当时，解集为； 当时，解集为x|x1； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为.总结升华：1. 对于分类讨论的解题程序可大致分为以下几个步骤:（1）明确讨论的对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确分类，不重不漏；（2）逐步进行讨论，获得结段性结论；（3）归纳总结，综合结论.2一般分类讨论问题的原则为: 按谁碍事就分谁.不等式中的字母讨论标准有：最高次项的系数能否为0，不等式对应的根的大小关系，有没有根（判别式）等.3字母讨论一般按从易到难，从等到不等的顺序进行.举一反三：【变式1】解关于的不等式:（）.解析：原不等式可分解因式为: ，（下面按两个根与的大小关系分类）（1）当，即或时，不等式为或，不等式的解集为：；（2）当，即时，不等式的解集为：；（3）当，即或时，不等式的解集为：；综上所述，原不等式的解集为：当或时，；当时，；当或时，.【变式2】解关于的不等式:.解析：（1）当时，不等式为, 解集为；（2）当时，需要对方程的根的情况进行讨论： 即时，方程有两根 . 则原不等式的解为. 即时，方程没有实根， 此时为开口向上的抛物线，故原不等式的解为. 即时，方程有两相等实根为， 则原不等式的解为.（3）当时，恒成立， 即时，方程有两根 . 此时，为开口向下的抛物线， 故原不等式的解集为.综上所述，原不等式的解集为：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 ；当时，解集为. 类型二：函数中的分类讨论2、设为实数，记函数的最大值为，（）设，求的取值范围，并把表示为的函数；（）求；（）试求满足的所有实数.解析：（I）， 要使有意义，必须且，即 ，且 的取值范围是 ， 由得：， ，（II）由题意知即为函数，的最大值，时，直线是抛物线的对称轴，可分以下几种情况进行讨论：（1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段， 由知在上单调递增，故；（2）当时，有=2；（3）当时，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段， 若即时， 若即时， 若即时，综上所述，有=（III）当时，； 当时， ， 故当时，； 当时，由知：，故； 当时，故或，从而有或， 要使，必须有，即， 此时，综上所述，满足的所有实数为：或.举一反三：【变式1】函数的图象经过点(-1，3)，且f(x)在(-1，+)上恒有f(x)3，求函数f(x).解析：f(x)图象经过点(-1，3)，则，整理得：，解得或(1)当时，则，此时x(-1，+)时，f(x)3，不满足题意；(2)当，则，此时，x(-1，+)时，即f(x)3，满足题意为所求.综上，.【变式2】已知函数有最大值2，求实数的取值.解析：令，则().(1)当即时， 解得:或（舍）；(2)当即时，, 解得:或（舍）；(3)当即时，解得（全都舍去）.综上，当或时，能使函数的最大值为2.3、已知函数（）.（1）讨论的单调性；（2）求在区间上的最小值.解析：（1）函数的定义域为（0，+） 对求导数，得 解不等式，得0xe 解不等式，得xe 故在（0，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减（2）当2ae时，即时，由（1）知在（0，e）上单调递增， 所以 当ae时，由（1）知在（e，+）上单调递减， 所以 当时，需比较与的大小 因为 所以，若，则，此时 若2ae，则，此时 综上，当0a2时，；当a2时总结升华：对于函数问题，定义域要首先考虑，而（）中比较大小时，作差应该是非常有效的方法.举一反三：【变式1】设，（1）利用函数单调性的意义，判断f(x)在（0，+）上的单调性；（2）记f(x)在0x1上的最小值为g(a)，求y=g(a)的解析式.解析：（1）设0x1x2+ 则f(x2)-f(x1)= 由题设x2-x10，ax1x20 当0x1x2时，f(x2)-f(x1)0， 即f(x2)f(x1)，则f(x)在区间0，单调递减， 当x1x2+时，f(x2)-f(x1)0， 即f(x2)f(x1)，则f(x)在区间（，+）单调递增.（2）因为0x1，由（1）的结论， 当01即a1时，g(a)=f()=2-; 当1，即0a1时，g(a)=f(1)=a 综上，所求的函数y=g(a).【变式2】求函数在上的值域.解析： 令，则 (1)当0a1时， 0xa，f(x)0(只有a=1且x=1时f(x)=0) f(x)在0,a上单增，从而，值域为； (2)当a1时， 0xa，f(x)在单增，在上单减， 并且，值域为； (3)当-1a0时， 0x|a|，f(x)在0,|a|上递减 从而即，值域为 (4)当a-1时， 0x|a|，f(x)在单减，在上单增， ，又， ，值域为.类型三：数列4、数列an的前n项和为Sn，已知Sn是各项均为正数的等比数列，试比较与的大小，并证明你的结论.解析：设等比数列Sn的公比为q，则q0q=1时，Sn=S1=a1当n=1时，a2=0，即当n2时，an=Sn-Sn-1=a1-a1=0，即q1时，Sn=S1qn-1=a1qn-1当n=1时，即.当n2时，an=Sn-Sn-1=a1qn-1-a1qn-2=a1qn-2(q-1)此时q1时，0q1时，.总结升华：等比数列前n项和公式分q=1或q1两种情况进行讨论.举一反三：【变式1】求数列：1，a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,（其中a0）的前n项和Sn.解析：数列的通项 an=an-1+an+a2n-2讨论：（1）当a=1时，an=n，Sn=1+2+n=（2）当a=-1时，（3）当a1且a0时， .【变式2】设an是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，证明:.解析：（1）当q=1时，Sn=na1，从而，（2）当q1时， 从而 由（1）（2）得:. 函数为单调递减函数. .【变式3】已知an是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列.()求q的值；()设bn是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.解析：()由题设2a3=a1+a2，即2a1q2=a1+a1q,a10，2q2-q-1=0，或，()若q=1，则当n2时，若当n2时， 故对于nN+，当2n9时，Snbn；当n=10时，Sn=bn；当n11时，Snbn.【变式4】对于数列，规定数列为数列的一阶差分数列，其中；一般地，规定为的k阶差分数列，其中且kN*，k2。（1）已知数列的通项公式。试证明是等差数列；（2）若数列的首项a1=13，且满足，求数列 及的通项公式；（3）在（2）的条件下，判断是否存在最小值；若存在，求出其最小值，若不存在，说明理由。解析：（1）依题意：， ， 数列是首项为1，公差为5的等差数列。（2），（3）令， 则当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增； 又因， 而， 所以当n=2时，数列an存在最小值，其最小值为18。类型四：解析几何5、已知椭圆C的方程为，点P（a,b）的坐标满足，过点P的直线l与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求：（1）点Q的轨迹方程.（2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数.思路点拨：本题求点的轨迹方程，点与椭圆的位置关系，直线与椭圆相交等知识.解析：（1）设点A，B的坐标为（x1，y1），（x2，y2），点Q的坐标为Q（x,y）. 当x1x2时，可设直线l：y=k(x-a)+b 由已知， y1=k(x1-a)+b,y2=k(x2-a)+b 由得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0 由得y1+y2=k(x1+x2)-2ak+2b 由、及，得 点Q的坐标满足方程2x2+y2-2ax-by=0 当x1=x2时，l平行于y轴， 因此AB的中点Q一定落在x轴上，即Q的坐标为（a,0）， 显然Q点的坐标满足方程. 综上所述，点Q的坐标满足方程：2x2+y2-2ax-by=0. 设方程所表示的曲线为L， 则由，得（2a2+b2）x2-4ax+2-b2=0 由于=8b2(a2+-1)，由已知a2+1 所以当a2+=1时，=0， 曲线L与椭圆C有且只有一个公共点P（a,b）. 当a2+1时0，曲线L与椭圆无交点， 而因为（0，0）在椭圆C内，又在曲线L上， 所以曲线L在椭圆C内. 故点Q的轨迹方程为2x2+y2-2ax-by=0.（2）由，解得或， 又由，解得或， 则当a=0,b=0,即点P(a,b)为原点. 曲线L与坐标轴只有一个交点(0,0) 当a=0且0|b|时, 即点P(a,b)不在椭圆C外且在除去原点的y轴上时, 点(a,0)与(0,0)重合，曲线L与坐标轴有两个交点(0,b)与(0,0) 当b=0且0|a|1时， 即点P(a,b)不在椭圆C外且在除去原点的x轴上时, 曲线L与坐标轴有两个交点(a,0)与(0,0). 当0|a|1且0|b|时, 即点P(a,b)在椭圆C内且不在坐标轴上时, 曲线L与坐标轴有三个交点(a,0),(0,b)与(0,0).总结升华：本题充分运用了分类讨论的思想方法,以及综合运用知识解题的能力,此题运算量大,涉及知识点较多,需要较高的运算能力和逻辑推理能力,做为考题区分度好,特别是分类讨论时易出错.举一反三：【变式1】讨论k的取值，说明方程表示的曲线.解析：方程中x、y的平方项系数是否为0，是否相等决定着方程表示的曲线，故需要对k值就以上情况分类讨论.当k2=0即k=0时，方程化为，表示顶点在原点，x轴为对称轴，开口向左的抛物线.当2k-1=0即时，方程化为x(x-8)=0x=0或x=8，表示y轴和过点(8，0) 斜率不存在的两平行直线.当k2=2k-1,即k=1时，方程化为，表示以(1，0)为圆心，半径为1的圆 当k0，k1时方程可化为当方程表示焦点在平行y轴直线上，中心在的椭圆当时，方程表示以为中心，焦点在x轴上的双曲线.【变式2】已知圆x2+y2=1和双曲线(x-1)2-y2=1，直线l与双曲线交于不同两点A、B，且线段AB的中点恰是l与圆相切的切点，求直线l的方程.解析：当l斜率不存在时，由对称性可知：l方程为x=-1当l斜率存在时设l方程为y=kx+b由l与圆相切l方程代入双曲线整理得(1-k2)x2-2(kb+1)x-b2=0 (1-k20)，0设A(x1，y1)，B(x2,y2)，AB中点为M，由ABOM，整理得k2+1+2kb=0将k2+1=b2代入b2+2bk=0,b(b+2k)=0b0，否则l过原点与圆不相切b=-2k，解方程组得经检验0l的方程为x=-1或.高考冲刺：数形结合编稿：林景飞 审稿：张扬 责编：严春梅热点分析高考动向数形结合应用广泛，不仅在解答选择题、填空题中显示出它的优越性，而且在解决一些抽象数学问题中常起到事半功倍的效果。高考中利用数形结合的思想在解决选、填题中十分方便，而在解答题中书写应以代数推理论证为主，几何方法可作为思考的方法。数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数解形”在近年高考试题中也得到了加强，其发展趋势不容忽视。历年的高考都有关于数形结合思想方法的考查，且占比例较大。知识升华数形结合是通过“以形助数”（将所研究的代数问题转化为研究其对应的几何图形）或“以数助形”（借助数的精确性来阐明形的某种属性），把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来，是解决问题的一种数学思想方法。它能使抽象问题具体化，复杂问题简单化，在数学解题中具有极为独特的策略指导与调节作用。具体地说，数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题；或将图形信息全部转化成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论。选择题，填空题等客观性题型，由于不要求解答过程，就某些题目而言，这给学生创造了灵活运用数形结合思想，寻找快速思路的空间。但在解答题中，运用数形结合思想时，要注意辅之以严格的逻辑推理，“形”上的直观是不够严密的。1高考试题对数形结合的考查主要涉及的几个方面：（1）集合问题中Venn图（韦恩图）的运用；（2）数轴及直角坐标系的广泛应用；（3）函数图象的应用；（4）数学概念及数学表达式几何意义的应用；（5）解析几何、立体几何中的数形结合。2运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：（1）等价性原则。要注意由于图象不能精确刻画数量关系所带来的负面效应；（2）双方性原则。既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分 析容易出错；（3）简单性原则。不要为了“数形结合”而数形结合，具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利； 二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变 量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线为佳。3进行数形结合的信息转换，主要有三个途径：（1）建立坐标系，引入参变数，化静为动，以动求解，如解析几何；（2）构造成转化为熟悉的函数模型，利用函数图象求解；（3）构造成转化为熟悉的几何模型，利用图形特征求解。4常见的“以形助数”的方法有：(1)借助于数轴、文氏图，树状图，单位圆；(2)借助于函数图象、区域(如线性规划)、向量本身的几何背景；(3)借助于方程的曲线，由方程代数式，联想其几何背景，并用几何知识解决问题，如点，直线，斜 率，距离，圆及其他曲线，直线和曲线的位置关系等，对解决代数问题都有重要作用，应充分予以 重视。5常见的把数作为手段的数形结合：主要体现在解析几何中，历年高考的解答题都有这方面的考查.经典例题透析类型一：利用数形结合思想解决函数问题1已知，若的最小值记为，写出的表达式。思路点拨：依据函数的对称轴与区间的位置关系，结合函数图象确定在上的增减情况，进而可以明确在何处取最小值。解析：由于，所以抛物线的对称轴为，开口向上，当，即时，在t，t+1上单调递增（如图所示），当x=t时，最小，即。当，即时，在上递减，在上递增（如图）。当时，最小，即。当，即时，在t，t+1上单调递减（如图）。当x=t+1时，最小，即， 图 图 图综合得。总结升华：通过二次函数的图象确定解题思路，直观、清晰，体现了数形结合的优越性。应特别注意，对于二次函数在闭区间上的最值问题，应抓住对称轴与所给区间的相对位置关系进行讨论解决。首先确定其对称轴与区间的位置关系，结合函数图象确定在闭区间上的增减情况，然后再确定在何处取最值。举一反三：【变式1】已知函数在0x1时有最大值2，求a的值。解析：，抛物线的开口向下，对称轴是，如图所示： （1） （2） （3）（1）当a0时，如图（1）所示， 当x=0时，y有最大值，即。 1a=2。即a=1，适合a0。（2）当0a1时，如图（2）所示， 当x=a时，y有最大值，即。 a2a+1=2，解得。 0a1，不合题意。（3）当a1时，如图（3）所示。 当x=1时，y有最大值，即。a=2。综合（1）（2）（3）可知，a的值是1或2【变式2】已知函数。（）写出的单调区间；（）设，求在0，a上的最大值。解析：如图：（1）的单调增区间：，；单调减区间：（1，2）（2）当a1时， 当时， 当，。【变式3】已知()(1)若，在上的最大值为，最小值为，求证：；(2)当，时，对于给定的负数，有一个最大的正数，使得x0, 时，都有 |f(x)|5，问a为何值时，M(a)最大？并求出这个最大值。解析：(1)若a=0，则c=0，f(x)=2bx 当-2x2时，f(x)的最大值与最小值一定互为相反数，与题意不符合，a0； 若a0，假设， 区间-2,2在对称轴的左外侧或右外侧， f(x)在-2，2上是单调函数， （这是不可能的） (2)当，时， ，所以， （图1） （图2） (1)当即，时（如图1），则所以是方程的较小根，即 (2)当即，时（如图2），则所以是方程的较大根，即（当且仅当时,等号成立），由于，因此当且仅当时，取最大值类型二：利用数形结合思想解决方程中的参数问题2若关于x的方程有两个不同的实数根，求实数m的取值范围。思路点拨：将方程的左右两边分别看作两个函数，画出函数的图象，借助图象间的关系后求解，可简化运算。解析：画出和的图象，当直线过点，即时，两图象有两个交点。又由当曲线与曲线相切时，二者只有一个交点，设切点，则，即，解得切点，又直线过切点，得，当时，两函数图象有两个交点，即方程有两个不等实根。误区警示：作图时，图形的相对位置关系不准确，易造成结果错误。总结升华：1解决这类问题时要准确画出函数图象，注意函数的定义域。2用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把 方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两 个函数的图象，由图求解。3在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点： 要准确理解一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征； 要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化； 要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏； 精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化,便于问题求解。举一反三：【变式1】若关于x的方程在（1，1）内有1个实根，则k的取值范围是 。解析：把方程左、右两侧看作两个函数，利用函数图象公共点的个数来确定方程根的个数。设（x1，1）如图：当或时，关于x的方程在（1，1）内有1个实根。【变式2】若02，且方程有两个不同的实数根，求实数m的取值范围及这两个实根的和。解析：将原方程转化为三角函数的图象与直线有两个不同的交点时，求a的范围及+的值。设，在同一坐标中作出这两个函数的图象由图可知，当或时，y1与y2的图象有两个不同交点，即对应方程有两个不同的实数根，若，设原方程的一个根为，则另一个根为.若，设原方程的一个根为，则另一个根为，. 所以这两个实根的和为或.且由对称性可知，这两个实根的和为或。类型三：依据式子的结构，赋予式子恰当的几何意义，数形结合解答3求函数的最大值和最小值思路点拨：可变形为，故可看作是两点和的连线斜率的倍，只需求出范围即可；也可以利用三角函数的有界性，反解求解。方法一：数形结合可看作是单位圆上的动点，为圆外一点，如图，由图可知：，显然，设直线的方程：，解得，方法二：令，总结升华：一些代数式所表示的几何意义往往是解题的关键，故要熟练掌握一些代数式的几何意义：（1）表示动点（x，y）与定点（a，b）两点间的距离；（2）表示动点（x，y）与定点（a，b）两点连线的斜率；（3）求ax+by的最值，就是求直线ax+by=t在y轴上的截距的最值。举一反三：【变式1】已知圆C：(x+2)2+y2=1，P（x，y）为圆C上任一点。（1）求的最大、最小值；（2）求的最大、最小值；（3）求x2y的最大、最小值。解析：联想所求代数式的几何意义，再画出草图，结合图象求解。（1）表示点（x，y）与原点的距离， 由题意知P（x，y）在圆C上，又C（2，0），半径r=1。 |OC|=2。 的最大值为2+r=2+1=3， 的最小值为2r=21=1。（2）表示点（x，y）与定点（1，2）两点连线的斜率， 设Q（1，2），过Q点作圆C的两条切线，如图： 将整理得kxy+2k=0。 ，解得， 所以的最大值为，最小值为。（3）令x2y=u，则可视为一组平行线系， 当直线与圆C有公共点时，可求得u的范围， 最值必在直线与圆C相切时取得。这时， 。 x2y的最大值为，最小值为。【变式2】求函数的最小值。解析：则y看作点P（x，0）到点A（1，1）与B（3，2）距离之和如图，点A（1，1）关于x轴的对称点A（1，1），则即为P到A，B距离之和的最小值，【变式3】若方程x2+(1+a)x+1+a+b=0的两根分别为椭圆、双曲线的离心率，则的取值范围是（ ）A B或 C D或解析：如图由题知方程的根，一个在（0，1）之间，一个在（1，2）之间，则 ，即下面利用线性规划的知识，则可看作可行域内的点与原点O（0，0）连线的斜率则 ，选C。高考冲刺：转化与化归思想编稿：林景飞 审稿：张扬 责编：严春梅热点分析高考动向转化与化归思想在高考中占有相当重要的地位，可以说比比皆是，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中.知识升华转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题变换转化为已解决的问题.解题的过程就是“化归”的过程，不断地改变待解决的问题，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止.1转化与化归应遵循的原则（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和方法来解决.（2）简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的， 或获得某种解题的启示和依据.（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所呈现的和谐统一的形 式，或者转化命题，使其有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决.（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使 问题获解.2转化与化归的基本类型（1）正与反、一般与特殊的转化，即正难则反，特殊化原则.（2）常量与变量的变化，即在处理多元问题时，选取其中的变量（或参数）当“主元”，其他的变量 看作常量.（3）数与形的转化，即利用对数量关系的讨论来研究图形性质，也可利用图形直观提供思路，直观地 反映函数或方程中的变量之间的关系.（4）数学各分支之间的转化，如利用向量方法解立体几何问题，用解析几何方法处理平面几何、代 数、三角问题等.（5）相等与不等之间的转化，如利用均值不等式、判别式等.（6）实际问题与数学模型的转化.3常见的转化方法（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.（2）换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式 问题转化为易于解决的基本问题.（3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换、获得 转化途径.（4）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化.（5）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题.（6）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题.（7）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论.（8）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题.（9）一般化方法：当原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且又较难解决时，可将问题通过一般化 的途径进行转化.（10）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的.（11）加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即把命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，加强命题法是非等价转化方法.（12）补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集获得原问题的解决.以上所列的一些方法是互相交叉的，不能截然分割.经典例题透析类型一：常量与变量的转化问题1已知二次方程ax2+2(2a1)x+4a7=0中的a为正整数，问a取何值时此方程至少有一个整数根.思路点拨：本题可以将原方程变为关于a的式子,根据a为正整数，得出x的取值，再代回去，求出a的值.解析：原方程即是(x2+4x+4)a=2x+7，x=2不是原方程的解，又a为正整数，解得3x1，又x是整数且x2，x=3，1，0，1，把它们分别代入原方程得，故当a=1或a=5时，原方程至少有一个整数根.知识升华：解决本题易按求根公式，讨论方程至少有一个整数根的条件，而无法进行下去.将变量与参数变更关系，视a为主元，转换思考的角度，使解法变得简易.举一反三：【变式1】已知a0且a1，若关于x的方程loga(x-3)-loga(x+2)-loga(x-1)=1有实根，求实数a的取值范围.解析：要使原方程有意义，需，解得x3.原方程化为：.x-3=a(x-1)(x+2)在区间(3, +)上有解，.问题转化为求右端在(3, +)上的值域，即将a看作x的函数a(x).由，x3, x-30，.当且仅当，即时取等号.又x3时，a0, , 故a的取值范围是.【变式2】设，若t2，2时，y0恒成立，求x的取值范围.答案：类型二：等价转化2已知函数的值域为1，4，求实数a、b的值.思路点拨：设，将所给函数看作关于x的方程.则由题意可知当y1，4时，关于x的方程有实数解.解析：的定义域为R，故可等价转化为yx2ax+yb=0.令=a24y(yb)0，即4y24bya20，则由题意可知，不等式4y24bya20的解集为1，4.也就是1，4是关于y的方程4y24bya2=0的两根.，a=4，b=3.所以所求实数a=4，b=3.总结升华：本题是利用函数、不等式与方程的关系一步一步地等价转化使问题得以解决，常见的转化类型有高次向低次的转化，多元向一元的转化，分式向整式的转化，无理向有理的转化，空间向平面的转化等.举一反三：【变式1】已知奇函数在定义域（1，1）上是减函数，且，求实数的取值范围.答案：【变式2】若的图象在（0，1）内与x轴恰好有一个交点，则a的取值范围为_.解析：的图象是直线，在（0，1）内与x轴恰有一个交点，则，则a3（当a=0时不合题意）.【变式3】已知函数，满足，求的最大值、最小值及取得最大值和最小值时对应a，c的值.答案：，此时；，此时类型三：正面与反面的转化问题3已知非空集合A=x|x2Amx+2m+6=0，xR，若AR，求实数m的取值范围（R表示负实数集，R+表示正实数集）.思路点拨：本题可以根据AR的反面AR=时的取值范围进行求解.解析：设全集U=m|=16m28m240=m|m1或.方程x24mx+2m+6=0的两根均非负的充要条件是，可得.AR=时，实数m的取值范围为；AR时，实数m的取值范围为m|m1.知识升华：正面难以解决的问题，可采用补集的思想，转化为反面问题来解决.一个题目若出现多种成立的情况，则不成立的情况一般较少，易从反而考虑，比如题目中出现“至多”，“至少”等字眼时.举一反三：【变式1】试求常数m的范围，使曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=m(x-3)垂直平分.解析：问题可以转化为：为使曲线y=x2有两个对称于直线y=m(x-3)的点，求m的取值范围.易得，因此原问题的解是.【变式2】已知二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1，若区间-1，1内至少存在一个实数c，使f(c)0, 则实数p的取值范围是（ ）.A、 B、 C、 D、解析：问题转化为先求在-1，1内没有一个实数C使f(c)0，即对任意x-1,1，f(x)0的P的取值范围.由二次函数f(x)在-1，1的图形易知：f(1)0且f(-1)0, 解得：或P3.满足已知条件的P的取值范围为.【变式3】已知三条抛物线：，中至少有一条与x轴相交，求实a的取值范围.答案：或.类型四：换元转化问题4求函数的最大值.思路点拨：令t=sin x，将函数转化为关于t的二次函数，再求二次函数在区间1，1上的最大值.解析： .设sin x=t，则1t1，令.如图所示，当a0时，有.同理，当a0时，有.所以，当a0时函数的最大值为34a.当a0时函数的最大值为3+4a.总结升华：通过换元将三角问题转化为较熟悉的一元二次函数在闭区间上的最值问题，特别注意：换元后所得t的函数的定义域为1，1；应该讨论二次函数对应的抛物线的对称轴相对于区间1，1的位置，才能确定其最值.举一反三：【变式1】已知x2+y2=1，则z=x2y的取值范围是_.解析：令x=cos，y=sin，则，.【变式2】已知aR，求函数y=(asin x)(acos x)的最小值.解析：设t=sin x+cos x，则，故.而，于是，.原问题化归为求二次函数在上的最值问题.当时，若t=a，；当时，在上单调递减，；当时，在上单调递增，.【变式3】已知，tR.（1）当t=1时，解不等式；（2）如果x0，1时，恒成立，求参数t的取值范围.答案：（1） （2）t1类型五：命题的转化5关于x的方程x33x2a=0只有一个实数根，求a的取值范围.思路点拨：本题是一个高次方程的问题，无法用判别式去判定根的个数，故可以转化命题，转化为曲线y=x33x2与直线y=a有一个交点，求实数a的取值范围.解析：由x33x2a=0得a=x33x2，令，令，得x=0或x=2.当x（，0）时，；当x（0，2）时，；当x（2，+）时，.所以在（，0）和（2，+）上是增函数，在（0，2）上为减函数.又，.如图