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专题复习专题复习 人造卫星系列问题人造卫星系列问题 庞留根 吕叔湘中学 2007年7月 Email: 人造卫星系列问题人造卫星系列问题 （一）命题趋向与考点 （二）复习精要 一、第一宇宙速度 二、两种最常见的卫星 地球的卫星 例1 三、不同高度的卫星 例2 四、卫星的变轨 五、关于第二、第三宇宙速度 例4 六、航天器的动力 例5 采用“太阳帆” 例6 利用地球磁场 例7 利用万有引力“弹弓效应” 07年佛山市教学质量检测16 07年扬州市期末调研测试14 07届南京市第一次调研测试17 2006年江苏高考题14 练习1 练习2 万有引力定律与牛顿运动三定律，并称经典力学四大 定律；人造卫星问题综合运动定律与圆周运动的知识 ，与地球知识密切相关，与航天技术紧密联系，是理 论性、实用性、思维性均很强的知识难点。高考命题 主要是要求会用运动定律和圆周运动知识分析解决实 际问题，有时要结合地理知识确定情景后再讨论，还 易与其它知识综合。 卫星问题贴近科技前沿，且与物理知识（如万有引 力定律、匀速圆周运动、牛顿运动定律等）及地理知 识有十分密切的相关性，以此为背景的高考命题立意 高、情景新、综合性强，对考生的理解能力、综合分 析能力、信息提炼处理能力及空间想象能力提出了极 高的要求，是新高考突出学科内及跨学科间综合创新 能力考查的命题热点，亦是考生备考应试的难点. （一）命题趋向与考点 考生应试失误的原因主要表现在： （1）对卫星运行的过程及遵循的规律认识不清， 理解不透，难以建立清晰的物理情景. （2）对卫星运行中力与运动量间，能量转化间的 关系难以明晰，对诸多公式含义模糊不清. （二）复习精要 一般情况下运行的卫星，其所受万有引力不是刚好 提供向心力，此时，卫星的运行速率及轨道半径就 要发生变化，万有引力做功，我们将其称为不稳定 运行即变轨运动； 当卫星所受万有引力刚好提供向心力时，它的运行 速率就不再发生变化，轨道半径确定不变从而做匀 速圆周运动，我们称为稳定运行. 用M、m分别表示地球和卫星的质量，用R表示地 球半径，r表示人造卫星的轨道半径，可以得到： 由此得出三个重要的结论： 即卫星离地心越远，它运行的速度越小。 即卫星离地心越远，它运行的周期越长。 即卫星离地心越远，它运行的角速度越小。 即对于稳定运行状态的卫星: 运行速率不变；轨道半径不变； 其轨道半径r、线速度大小v和周期T是一一对应的， 其中一个量确定后，另外两个量也就唯一确定了。 而不稳定运行的卫星则不具备上述关系，其运行速率 和轨道半径都在发生着变化. 在地球表面上的物体所受的万有引力大小可以认为和 重力大小相等（万有引力的另一个分力是使物体随地 球自转所需的向心力，最多只占万有引力的0.3%，计 算中可以忽略）。因此有 一、第一宇宙速度 人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须 具有的最小发射速度，叫做第一宇宙速度。 前提是在地面附近绕地球做匀速圆周运动，对应的 速度是唯一的 当vv1时，成为卫星,轨道不再是圆。 二、两种最常见的卫星 近地卫星 轨道半径近似地可认为等于地球半径，速率v=7.9km/s， 周期T=85min。在所有绕地球做匀速圆周运动的人造卫 星中是线速度最大，周期最短。 神舟六号飞船的运行轨道离地面的高度为345 km，线速 度约7.6km/s，周期约90min。 同步卫星 地球同步卫星是相对地球表面静止的稳定运行卫星. (1)同步卫星一定位于赤道的正上方，非同步人造地球 卫星其轨道平面可与地轴有任意夹角. (2)同步卫星的运转周期与地球自转周期相同. 即 T=24h; (3)轨道半径为r=4.24104km.其离地面高度 h=5.6R=3.6104km一定的. (4)线速度大小为v=0r=3.08103m/s为定值，绕行方 向与地球自转方向相同即由西向东. 离地高度h轨轨道半径r运行速度v周期T 近地卫卫星 06.4106m7.9km/s84.6min =5000s 同步卫卫星 3.6107m4.2107m3.1km/s1d 月球 3.8108m3.8108m1km/s27.5d 地球的卫星 近地卫星和同步卫星 例1 、 用m表示地球同步通信卫星的质量、h表示卫星离 地面的高度、M表示地球的质量、R0表示地球的半径 、g0表示地球表面处的重力加速度、T0表示地球自转 的周期、0表示地球自转的角速度，则： （1）地球同步通信卫星的环绕速度v为 ( ) ABCD 2页题目3页末页 解： (1)设地球同步卫星离地心的高度为r,则r=R0+h, 则 环绕速度v=0r=0(R0+h ) 同步卫星圆周运动由万有引力提供向心力：即 得 又有 则 2页题目3页末页 （ 2）地球同步通信卫星所受的地球对它的万有引力 F的大小为 ( ) 解：（2）地球同步卫星的重力加速度为 地球对它的万有引力大小可认为等于同步卫星的重 力来提供向心力,即 ABCD 2页题目3页末页 （3）地球同步通信卫星离地面的高度h为 ( ) A.因地球同步通信卫星和地球自转同步，则卫星离地 面的高度就被确定 D.地球同步通信卫星的角速度虽已确定，但卫星离地 面的高度可以选择.高度增加，环绕速度增大，高度降 低，环绕速度减小，仍能同步 B. C. 解：（3）因为 式中R0、g0、0都是确定的，故h被确定 ABC 2页题目3页末页 三、不同高度的卫星 由式 可知,在所有绕地球做匀速圆周运动的人造卫星中,离地面 越高的卫星,轨道半径越大、线速度越小、周期越大。 卫星由低轨道运行变到高轨道运行:速度减小,动能减 小，卫星的动能可计算得到 重力加速度g随高度增大而减小,重力势能不能再用 Ep=mgh计算,而用公式 计算,重力势能增大. 总机械能为 所以,同样质量的卫星,轨道半径越大,即离地面越高,卫星 具有的机械能越大,发射需要的总能量越多,就越困难。 例2、 “神舟六号”顺利发射升空后，在离地面345km的 圆轨道上运行了108圈。运行中需要进行多次“轨道维 持”。所谓“轨道维持”就是通过控制飞船上发动机的 点火时间和推力的大小方向，使飞船能保持在预定轨 道上稳定运行。如果不进行轨道维持，由于飞船受轨 道上稀薄空气的摩擦阻力，轨道高度会逐渐降低，在 这种情况下飞船的动能、重力势能和机械能变化情况 将会是 ( ) A.动能、重力势能和机械能都逐渐减小 B.重力势能逐渐减小,动能逐渐增大,机械能不变 C.重力势能逐渐增大,动能逐渐减小,机械能不变 D.重力势能逐渐减小,动能逐渐增大,机械能逐渐减小 D 解答: 由于阻力很小，轨道高度的变化很慢，卫星运行的每 一圈仍可认为是匀速圆周运动。由于摩擦阻力做负功 所以卫星的机械能减小；由于重力做正功所以重力势 能减小；由上述规律可知卫星动能将增大(说明重力做 的功大于克服阻力做的功，外力做的总功为正)。 四、卫星的变轨 由于技术上的原因，卫星的发射往往要分几个阶段， 经过多次变轨后才能定点于预定的位置。 例3、如图所示，某次发射同步卫星时，先进入一个 近地的圆轨道，然后在P点点火加速，进入椭圆形转 移轨道（该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P， 远地点为同步轨道上的Q），到达远地点时再次自动 点火加速，进入同步轨道。设卫星在近地圆轨道上运 行的速率为v1，在P点短时间 加速后的速率为v2，沿转移轨道 刚到达远地点Q时的速率为v3， 在Q点短时间加速后进入同步 轨道后的速率为v4。试比较v1、 v2、v3、v4的大小，并用大于号 将它们排列起来 。 v1 P v2 Q v3 v4 解： v1 P v2 Q v3 v4 根据题意在P、Q 两点点火加速过程中，卫星速 度将增大，所以有v2v1 、v4 v3， 而v1、v4是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的线速度 ，由于它们对应的轨道半径 r1r4，所以 v1 v4。 卫星沿椭圆轨道由PQ 运行时，由于只有重力做负功 ，卫星机械能守恒，其重力势能 逐渐增大，动能逐渐减小，因此 有 v2v3 把以上不等式连接起来， 可得到结论： v2 v1 v4 v3 五.关于第二、第三宇宙速度 质量为m的物体在距离地心r处的万有引力势能 (以无 穷远处势能为零)， 将物体从地球表面向上提高h，相当于式中的r由R增大 到R+h，因此其势能的增加量为 (在地面附近时，可认为R+h=R，因此有EP=mgh， 若取地面为重力势能的参考平面，则有Ep=mgh) 物体为了脱离地球的引力而飞离地球，必须具有足 够大的动能： 这就是第二宇宙速度。 当物体的速度大于或等于11.2km/s时，卫星就会脱离 地球的吸引，不再绕地球运行。把这个速度叫第二宇 宙速度。达到第二宇宙速度的还受到太阳的引力。 任何星球都有这样的“第二宇宙速度”,若某星球的 第二宇宙速度超过光速c，则任何物体都无法摆脱该 星球的引力，从宇宙的其他部分看来，它就象是消 失了一样，这就是所谓的“黑洞”。 如果物体的速度等于或大于16.7km/s，物体就摆 脱了太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间 去。这个速度叫第三宇宙速度。 已知质量为m的物体在质量为M的星球上的万有 引力势能 (以无穷远处势能为零，G为引力常量， ，r表示物体到该星球中心的距离)只要物体在星球 表面具有足够大的速度，就可以脱离该星球的万有引 力而飞离星球(即到达势能为零的地方)这个速度叫 做第二宇宙速度一旦第二宇宙速度的大小超过了光 速，则该星球上的任何物体(包括光子)都无法摆脱该 星球的引力于是它就将与外界断绝了一切物质和信 息的交流从宇宙的其他部分看来，它就像是消失了 一样，这就是所谓的“黑洞”试分析一颗质量为M 2.01031kg的恒星，当它的半径坍塌为多大时就会成 为一个“黑洞”?(计算时取引力常量G=71011Nm kg，(答案保留一位有效数字) 例4、 解析： 本题给出了物体在星球上的重力势能公式从 公式可以看出物体在无穷远点的势能为零，而在星球 表面时重力势能为负当物体离开星球表面向上运动 时，由于只有重力做功, 所以其机械能守恒设物体 刚好能离开星球，就是说它到达势能为零点时的速度 刚好也是零由动能的减少 1/2mv2 等于势能的增加 GMm/R 就可以求出第二宇宙速度当第二宇宙速度v 恰好等于光速c时，该星球就成为一个“黑洞” 六、航天器的动力 航天器的发射一般都由化学燃料火箭完成。航天器的 姿态控制、轨道维持以及远程探测器的运行动力，就 不能完全靠化学燃料了。已经实验成功的和正在开展 研究的一些方法和途径是： 采用离子发动机 原理是利用电场加速离子，将离子高速向 后喷出，利用反冲使航天器得到加速。 a 根据类似的思路，还有人 设计出“微波炉发动机”， 即使微波的频率和所用 “燃料”分子的固有频率相等，使其发生 共振，分子动能迅速增大，再将它定向 喷出，利用反冲使航天器得到加速。 美国1998年发射的“深空一号”探测器使用了“离子 发动机”技术。其原理是设法使探测器内携带的惰性气 体氙( )的中性原子变为一价离子，然后用电场加 速这些氙离子使其高速从探测器尾部喷出，利用反冲 使探测器得到推动力。已知深空一号离子发动机向外 喷射氙离子的等效电流大小为I=0.64A，氙离子被喷出 时的速度是v=2.9104m/s。求： 探测器得到的推动力F是多大？ 探测器的目的地是博雷利彗星，计划飞行3年才能到 达，试估算深空一号所需携带的氙的质量。 你认为为什么要选用氙？请说出一个理由。 例5、 已知量:等效电流I,喷出速度v,离子电量q,离子荷质比q/m. 解答: 设时间t内喷出的氙离子质量为m，由动量定理有 喷出的氙离子的荷质比 由电流的定义： 而 可得 这个推力相当小,产生的加速度也非常小(约10-4m/s2), 但经过长时间连续加速，探测器得到的速度将是很大 的（每年增加3km/s）。 利用电流和荷质比可求得每秒消耗的氙的质量， m=mIt/q =I/k=8.710-8 kg 3年需要的总质量为 M=mT=8.710-8 kg 3365243600=82kg。 氙是惰性气体，性质稳定，没有天然放射性，比较 安全；氙的原子量较大，在同样电压加速下得到的离 子的动量较大； 还可由 求出加速电压和发动机的功率 题目 采用“太阳帆” 根据量子理论，光子有动量： p=h/，因此光照到物体表面， 光子被物体吸收或反射都会对 物体产生“光压”。 由此，有人设想在遥远的宇宙 探测中用光压为动力推动航天 器加速。只要给探测器安上面 积足够大的薄膜，并让它正对 太阳，就能从太阳得到源源不 断的动力。 例6、 已知在地球绕日轨道上，每平方米面积上得到的 太阳辐射功率为P0=1.35kW，若利用太阳帆为处于该位 置的质量为M=50kg的某探测器加速，设计所用薄膜的 面积为S=4104m2，设照到薄膜上的光子全部被吸收， 那么探测器得到的加速度将是多大？ 解答:已知量为P0、M、S 由光子能量E=h和动量p=h/可得到关系式E=pc 设在时间t内单位面积内薄膜上接收到的光子数为n，则 接收到的太阳能的功率为P0=nE/t=npc/t； 由于光子全部被吸收，每个光子的动量变化为p，对这 些光子用动量定理可得：f=np/t， 因此整个薄膜上受到的压力大小为 利用F=Ma，可求探测器的加速度 利用地球磁场 地球人造卫星在地球磁场中运行.地磁场的水平分量总 是由南向北的(两极地区除外),卫星的运行方向一般都 是由西向东的(这样在发射时可以利用地球自转而使卫 星具有的速度,约4102m/s).在卫星下方悬挂一根足够 长的导线,让它随卫星一起运动而切割地磁场的磁感线, 就能产生感应电动势,方向自下而上.又由于从 地面往上60km到1000km范围 内的大气层是电离层,由于太阳 的辐射作用,其中部分气体分子 被电离,使该层大气成为导体,能 够和悬绳一起组成闭合回路.这 就是利用地磁场进行“悬绳发电” 的原理。 F F 这种方法为卫星提供电能并不真正可取.因为感应电 流总是阻碍相对运动的,(用右手定则可以判定在悬绳 中的感应电流方向向上,所受的安培力向西)在发电的 同时,卫星必受到安培力的阻碍作用,一定有机械能转 化为电能.不过在卫星需要降低运行轨道时,可以采用 这种方法. 若利用太阳能电池提供一个高于悬绳切割磁感线产生 的感应电动势的电压，使悬绳上产生向下的电流，使 悬绳受到向东的安培力，则可以使航天飞机得到推动 力,对卫星做正功，提升其运行轨道的高度。 例7、 美国科学家曾在航天飞机上做过“卫星悬绳发电” 实验当时航天飞机在赤道上空以7.5km/s的速度从西 向东做匀速圆周运动，所在处地磁场的磁感应强度为 B=5.010-5T。从航天飞机货舱里向下释放出一颗卫星 ，卫星带着一根长L=20km的绝缘电缆绳,其电阻为 r=800.电缆线随航天飞机运动，方向始终指向地心 ，因切割地磁场的磁感线而产生感应电动势。电缆线 通过周围电离层中的离子形成回路，给航天飞机中的 电器供电。实验中得到的电流为I=3.0A。电缆线中产 生的感应电动势E=_V航天飞机中获得的电功率 为P=_W。 解:由E=BLv得E=7.5103V， 当电流为I=3.0A时，作为电源其输出功率为 P=UI=(E-Ir)I=1.53104W。 利用万有引力“弹弓效应” 当空间探测器从行星旁绕过时，由于行星对它的万 有引力的作用，可以使探测器的运动速率增大，这 种现象被称为“弹弓效应”。在现代航天技术中，“弹 弓效应”是用来增大探测器速率的一种经济而有效的 方法。 例8. 质量为m的探测器以相对于太阳的速率v0飞向太 阳系的一个质量为M的行星，此时该行星相对于太 阳的速率为u0；探测器绕过行星后相对于太阳的速 率变为v，这时该行星相对于太阳的速率为u；为了 研究方便，假设v0、u0、v、u的 方向都互相平行，只考虑该探测 器和该行星之间的万有引力。求 探测器绕过行星后的速率v （用v0、u0表示）。 u u0 0 v0 u v 解答: 在该过程中探测器和行星组成的系统动量守恒；探测 器接近行星和远离行星的初、末位置系统的势能相等 ，因此始、末状态的系统动能也相等。 由 Mu0mv0=Mu+mv 可以解得： 由于mM，可以认为v =v0+2u0， 即行星使探测器相对于太阳系的速度增大为v0+2u0 07年佛山市教学质量检测16 16随着现现代科学技术术的飞飞速发发展，广寒宫宫中的嫦娥 将不再寂寞，古老的月球即将留下中华华儿女的足迹。 航天飞飞机作为为能往返于地球与太空，可以重复使用的 太空飞飞行器，倍受人们们的喜爱爱。宇航员现员现 欲乘航天飞飞 机对对在距月球表面h高的圆轨圆轨 道上运行的月球卫卫星进进 行维维修。试试根据你所学的知识识回答下列问题问题 ： （1）试试求维维修卫卫星时时航天飞飞机的速度。 （2）已知地球自转转周期为为T0，则该卫则该卫 星每天可绕绕月 球转转几圈？已知月球半径R，月球表面重力加速度为为 gm，计计算过过程中可不计计地球引力的影响，计计算结结果用 h、R、gm、T0等表示。 解： （1）根据万有引力定律，在月球上的物体 卫星绕月球作圆周运动，设速度为v，则 式联立解得： 航天飞机与卫星在同一轨道，速度与卫星速度相同 （2）设卫设卫 星运动动周期为为T，则则 解得： 则每天绕月球运转的圈数为 题目 07年扬州市期末调研测试14 142005年，我国自行研制的“神州六号”载人飞船顺利 升空，飞行总时间115小时32分，共绕地球73圈飞船 升空后，首先沿椭圆轨道运行，其近地点离开地面约 200公里，远地点离开地面约347公里在绕地球飞行四 圈后，地面发出指令，使飞船上的发动机在飞船到达远 地点时自动点火，提高了飞船的速度，实施变轨，使得 飞船在距地面h=340公里的圆轨道上飞行已知地球半 径R 、地球表面重力加速度g （1）为求飞船在距地面h=340公里的圆轨道上飞行的速 度v，某同学的解题思路如下： 已知飞船飞行总时间t，飞船绕地球圈数n，可求出飞船 在圆轨道上的运行周期 ，再根据 ,由、两式可求出v 请判断该同学的解答过程是否正确，若正确，求出结果 ；若不正确，请写出正确的解题过程并写出飞行速度v的 数学表达式（用已知物理量字母表示） 解： （1）不正确 （2）如图所示，飞船在圆轨道1上稳定运行时，如 果不进行轨道维持，由于微小阻力的影响，飞船的 轨道高度就会逐渐降低，当飞船进入较低的圆轨道2 时，通过控制飞船上的发动机的点火时间和推力， 能使飞船在轨道2上稳定运行请分别比较飞船在1 、2这两个圆轨道上稳定运行时，其动能的大小、重 力势能的大小和机械能的大小（填“大于”、“等于” 或“小于”）： 飞船在轨道1的动能 轨道2的动能； 飞船在轨道1的重力势能 轨道2的重力势能； 飞船在轨道1的机械能 轨道2的机械能 1 2 地球 小于 大于 大于 题目 07届南京市第一次调研测试17 17物理学中库仑定律和万有引力定律有相似的表达 形式。对带异种电荷的两粒子组成的系统而言，若定义 相距无穷远处电势能为零，则相距为r时系统的电势能 可以表示为 （1）若地球质量为m1，某人造地球卫星质量为m2， 也定义相距无穷远处引力势能为零，写出当地心与卫星 相距R时该系统引力势能表