西南大学线性代数作业答案.doc

第一次行列式部分的填空题1在5阶行列式中，项a13a24a32a45a51前的符号应取 + 号。2排列45312的逆序数为 5 。3行列式中元素x的代数余子式是 8 4行列式中元素-2的代数余子式是 11 。5行列式中，的代数余子式是 5 。6计算= 0 行列式部分计算题1计算三阶行列式 解：原式=2（4）3+0（1）（1）+1181（1）（4）0132（1）8=42决定i和j，使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列.解：i=8，j=5。3(7分)已知，求的值解：原式=3x2x24x=2 x24x=2x(x2)=0解得：x1=0；x2=2所以 x=xx 0；x2 xR 4(8分)齐次线性方程组 有非零解，求。解：由D=0 得 =15用克莱姆法则求下列方程组：解：因为所以方程组有唯一解，再计算： 因此，根据克拉默法则，方程组的唯一解是：x=27，y=36，z=45第二次线性方程组部分填空题1设齐次线性方程组Ax=0的系数阵A的秩为r，当r= n 时，则Ax=0 只有零解；当Ax=0有无穷多解时，其基础解系含有解向量的个数为 n-r .2设1，2为方程组Ax=b的两个解，则 12或21 是其导出方程组的解。3设0是线性方程组Ax=b的一个固定解，设z是导出方程组的某个解，则线性方程组Ax=b的任意一个解可表示为= 0+z .4若n元线性方程组Ax=b有解，R（A）=r，则当 r=n 时，有惟一解；当 ,rn 时，有无穷多解。5A是mn矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是 R（A）n .6n元齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是 |A|不等于0 。7 线性方程组Ax=b有解的充要条件是r(Ab)=r(A) 。8设是线性方程组Ax=b的一个特解，是其导出组的基础解系，则线性方程组Ax=b的全部解可以表示为= 1求线性方程组 的通解. 答案：通解为：x=k1 2求齐次线性方程组 的一个基础解系.答案：基础解系为v1=3求非齐次线性方程组的通解 答案：同解方程组为，通解为4 求方程组的通解答案：化为同解方程组通解为5已知线性方程组（1）求增广矩阵（Ab）的秩r（Ab）与系数矩阵A的秩r（A）；（2）判断线性方程组解的情况，若有解，则求解。答案：（1）r（Ab）=r（A）=4（2）有唯一解。x1=-1;x2=-1;x3=0;x4=1第三次向量的线性关系填空题1向量=（1，3，5，7），=（a,b,5,7），若=，则a= 1 ,b= 3 .2已知向量=（1，2，3），=（3，2，1），则3+2= （9，10，11） ，-= （-2，0，2） 3设向量组线性无关，则向量组，+，+线性 无关 4设向量线性无关，则线性 无关 。5设向量线性无关，则向量线性 相关 6. 是3维向量组,则线性 相 关.7零向量是线性 相关 的，非零向量是线性 无关 的.线性关系部分证明题1 证明：如果向量组线性无关，则向量组亦线性无关证明：设有一组数，使成立，整理得由于线性无关，所以因为其系数行列式，所以方程组只有零解，即向量组线性无关得证2设向量可由向量1，2，r线性表示，但不能由1，2，r-1线性表示，问向量组1，2，r-1，r与向量组1，2，r-1，是否等价？为什么？答案：等价。因为可由1，2，r线性表示，所以有1，2，r，使=11+22+rr，r0 又1=1，r-1=r-1，故向量组1，2，r-1，可由向量1，2，r线性表示。由式有即1，2，r也可由向量组1，2，r-1，线性表示，故两向量组等价。3设1，2是某个齐次线性方程组的基础解系，问1+2，212是否也可构成该方程组的基础解系？答案：1+2，212显然是方程组的解。所以以下只证1+2，212线性无关。设有一组数1，2，使得1（1+2，）+2（212）=0，即 （1+22）1+（12）2=0，因1，2线性无关，故而 所以1=2=0，则1+2，212线性无关，仍是基础解系。4已知，判定此向量组是线性相关还是线性无关。答案：线性相关。5设=（1，1，2）T，=（1，2，3）T，=（1，3，t）T请问当t为何值时，线性相关？并将用，线性表示答案：当t=4时，线性相关。.6 , 设线性无关，而线性相关，则能由线性表示，且表示法惟一。答案：因线性相关，故有不全为零，使要证可由线性表示，只要证明，假设k=0，则不全为零，且有故线性相关，矛盾，所以。设有个表示式两式相减得因线性无关，所以，即所以表示法惟一。第四次特征值部分选择题1. 是阶正交矩阵，则A（）（）（）（）2. A与B是两个相似的n阶矩阵,则 A (A) 存在非奇异矩阵P,使 (B) |A|B| (C) 存在对角矩阵D,使A与B都相似于D (D) 3 下列结论中,错误的有( B)(A) 若向量与正交,则对任意实数a,b, 与也正交(B) 若向量与向量都正交,则与的任一线性组合也正交(C) 若向量与正交,则与中至少有一个是零向量(D) 若向量与任意同维向量正交,则 是零向量4 设矩阵,则A的特征值为 C (A) 1,0,1 (B) 1,1,2 (C) -1,1,2 (D) -1,1,15 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是B(A) A有n个特征值(B) A有n个线性无关的特征向量(C) A的行列式不等于零(D) A的特征多项式没有重根线性代数1.下列n阶(n2)行列式的值必为0的有：B:行列式非零元素的个数小于n个。2.有二阶行列式，其第一行元素是（1，3），第二行元素是（1，4），该行列式的值是:B:13有二阶行列式，其第一行元素是（2，3），第二行元素是（3，-1），则该行列式的值是：A:-114. 有三阶行列式，其第一行元素是（0，1，2），第二行元素是（-1，-1，0），第三行元素是（2，0，-5），则该行列式的值是：B:-15.有三阶行列式，其第一行元素是（1，1，1），第二行元素是（3，1，4），第三行元素是（8，9，5），则该行列式的值是：C:56. 行列式A的第一行元素是（k,3,4)，第二行元素是(-1,k,0)，第三行元素是(0,k,1)，如果行列式A的值等于0，则k的取值应是：C:k=3或k=17. 6.排列3721456的逆序数是：C:88. .行列式A的第一行元素是（-3，0，4），第二行元素是（2，a，1),第三行元素是（5，0，3），则其中元素a的代数余子式是：B:-299已知四阶行列式D中第三行元素为（-1，2，0，1），它们的余子式依次分别为5，3，-7，4，则D的值等于. C:-1510. 矩阵A适合下面哪个条件时，它的秩为r. B:A中线性无关的列向量最多有r个。11矩阵A的第一行元素是（1，0，5），第二行元素是（0，2，0），则矩阵A乘以A的转置是：C:第一行元素是（26，0），第二行元素是（0，4）。12. 若矩阵A的行数不等于矩阵B的列数，则矩阵A乘以B没有意义。正确答案：错误13. 齐次线性方程组AX=0是线性方程组AX=b的导出组，则C：u是AX=0的通解，X1是AX=b的特解时，X1+u是AX=b的通解。D：V1，V2是AX=b的解时，V1-V2是 AX=0的解。14. n阶矩阵可逆的充要条件是： A：r(A)=n B：A的列秩为n。15. 向量组a1,a2,.,as的秩不为零的充分必要条件是：A：a1,a2,as中至少有一个非零向量。D：a1,a2,as中有一个线性无关的部分组。16 向量组a1,a2,.,as线性相关的充分必要条件是：C：a1,a2,as中至少有一个向量可由其余向量线性表示。D：a1,a2,as中至少有一部分组线性相关17. 矩阵A为三阶矩阵，若已知|A|=m,则|-mA|的值为C:-m*m*m*m18. 若矩阵A可逆，则它一定是非奇异的。正确答案：正确19. 向量组a1,a2,.,as线性无关的必要条件是：A：a1,a2,as都不是零向量。C：a1,a2,as中任意两个向量都不成比例D：a1,a2,as中任一部分组线性无关20. 若矩阵A的列数等于矩阵B的行数，则矩阵A乘以B有意义正确答案：正确. 初等数论 作业1. 如果a|b，b|c，则（C：a|c）2. 360与200的最大公