高中数学题库高一部分-B函数-函数的性质.doc

定义在R上的函数同时满足条件：对定义域内任意实数，都有；时，.那么，（1）试举出满足上述条件的一个具体函数；（2）求的值；（3）比较和的大小并说明理由.答案：（1）；（2）令，则，而，；（3），4分来源：09年浙江杭州市月考二题型：解答题，难度：中档已知：f(x)是定义在R上的奇函数，对于常数ab0，f(x)在区间a，b上是减函数，且f(b)0，试确定函数y=f(x)2在区间b，a上的单调性，并证明你的结论答案：证明：任取x1、x2b，a，且x2x1，则x1、x2a，b，且x2x1 f(x)在a，b上是减函数， f(x2)f(x1)又f(x)是奇函数，f(x2)=f(x2)f(x1)=f(x1)，即f(x2)f(x1)f(x2)f(x1) f(b)0，且f(x)在a，b上是减函数，f(x)在a，b 上为正值由f(x)是奇函数，f(x)在b，a上为负值，f(x1)0，f(x2)0，而f(x2)f(x1)，f(x2)f(x1)，f(x2)2 f(x1)2 即f2(x2)f2(x1)y=f2(x)在b，a上是单调增函数来源：1题型：证明题，难度：较难已知函数和的图象关于原点对称，且.(1)求函数的解析式；(2)解关于x的不等式；(3)若在（1，）时恒成立，求a的取值范围.答案：(1) 设图象上任意一点为P（x，y），它关于原点的对称点为P（ x， y）易知P（ x， y）在函数的图象上 ，即： (2) 由得，即：等价于当a 0时，化为 当a 0时，不等式的解集为 当a 0 时，不等式的解集为 (3) 由，得： 由已知得：上恒成立 解之得：a 0或 来源：09年西南师大附中月考一题型：解答题，难度：中档已知函数（是自然数）是奇函数，有最大值，且.（1）试求函数的解析式；（2）是否存在直线与的图象只交于P、Q两点，并且使得P、Q两点的中点为（1，0）点，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.答案：由为奇函数易知：.又因为是自然数，所以，当时，；当时，.所以，的最大值必在时取得.当时，等号当且仅当时取得.所以，.又，所以，.结合是自然数，可得：.所以，. 对于“是否存在型”的问题，一般探索的方法为：假设存在，导出矛盾，或者从部分结论出发，导出其存在的必要条件，再验证是否充分.根据上述思路，我们可以假设存在满足条件的直线，则、Q的坐标可为P，.且这两点都在函数的图像上.即：消去，得，解得：.所以，或.所以，直线的方程为：.的存在性还须通过充分性的检验.把直线的方程与函数联立，不难求得，共有三组解：.因此，直线与的图象共有三个交点，与“只交于两点”矛盾.所以，满足条件的直线不存在. 在得到这样的解答之后，我们不妨回头再看一看，在上述过程中，函数的性质（如奇偶性）并没有得到充分的应用.若能充分运用这个已知条件，则可以得到其他不同的探索过程.法2：设，则由为奇函数可知：P关于原点的对称点也在的图像上，又，所以，且，故问题等价于：是否存在直线，使得与有两个距离为2的交点.将代入，解之得：，令，解得：，所以，此时直线的方程为充分性的检验过程同上.以上两种解法都是从求出直线的方程入手.如果我们将着眼点放在“只交于两点”，则可以得到下面简洁的解法.法3：当直线的斜率不存在时，此时与函数的图像只交于一点，不满足题设，所以，可设直线的方程为：，与联立，消去得： （*）由P、Q关于点（1，0）对称，可得：点（1，0）在直线上，所以，.对于上述方程（*），若，则方程只有一解，不符合题意.若，则方程（*）的实根个数可能为1个或3个.不可能有两个.即过点（1，0）的直线与的图象不可能只有两个交点，所以，这样的直线不存在.来源：09年浙江金华月考一题型：解答题，难度：较难定义在R上的偶函数满足：，时，（1）求时，的解析式；（2）求证：函数在区间上递减，上递增；（3）当时，函数的取值范围是，求实数的取值范围.答案：（1）时，；（2）任取且，而，即，在上递减；再任取且（略）（3）利用的图象，易知来源：09年浙江杭州市月考二题型：解答题，难度：中档根据函数单调性的定义，判断在上的单调性并给出证明。答案：在上任取x1,x2,且, 则 ,x1- x20时,即，是上的减函数； (2)当a0时,即，是上的增函数； 来源：09年湖北襄樊月考一题型：解答题，难度：中档对于函数（）探索函数的单调性；（）是否存在使函数为奇函数？答案：（） 在上单调递增.证明:在上任取且则4分,即在上单调递增. （）要想存在这样的使函数为奇函数,只须Oty12312即解得 来源：09年湖北宜昌月考一题型：解答题，难度：中档定义在R上的单调函数满足且对任意R都有,(1)求的函数值；()判断的奇偶性，并证明；(3)若对于任意R恒成立，求实数的取值范围.答案：(1)因为f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0，代入式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0.分（）令y=-x，代入式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有0=f(x)+f(-x).即f(-x)=-f(x)对任意xR成立，所以f(x)是奇函数.分(2)解：f(3)=log30，即f(3)f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数. f(k3)-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k3-3+9+2，分离系数由k3-3+9+2得.分来源：09年浙江金华市月考一题型：解答题，难度：较难如图，OAB是边长为2的正三角形，记OAB位于直线左侧的图形的面积为。试求函数的解析式，并画出函数的图象.OAxyx=tB答案： 图像为：Oty12312来源：09年湖北宜昌月考一题型：解答题，难度：中档已知函数，把函数的图象向左平移一个单位得到函数的图象，且是偶函数.() 求的值；() 设函数F(x)=f(x)*g(x)+1，求函数在区间上的最大值和最小值.答案：（）由题意得. 是偶函数，. （）由（）知，. F(x)=f(x)*g(x)+1=x4-2x3 . 令 得. 方法一： 当在上变化时，的变化情况如下表13-0+函数在区间上的最大值、最小值分别是、.方法二：函数在区间内只有一个极值点，因此函数在区间上的最小值是，最大值是中的较大者，即.来源：09年北京海淀月考一题型：解答题，难度：较难设函数，求的单调区间，并证明在其单调区间上的单调性答案：解：函数的定义域为在内是减函数，在内也是减函数 4分证明在内是减函数取，且，那么 6分即在内是减函数 9分同理可证在内是减函数 12分来源：01春季高考题型：解答题，难度：中档对于任意实数x，若成立，（1）证明f(x)是以2m 为周期的函数；（2）若f(x)在上的解析式是，写出f(x)在区间及R上的解析式(不必写过程)。答案：（1）证明：对任意实数x，因为f(x+2m)=f(x+m)+m=，所以，f(x)是以2m 为周期的函数。 （7分）（2）在区间上的解析式是；在R上的解析式是 （14分）来源：题型：解答题，难度：较难设f(x)=,对任意的aR，记V(a)=maxf(x)-ax|x1, 3-minf(x)-ax|x1, 3，试求V(a)的最小值。答案：首先记g(x)=f(x)-ax=，以下分五类讨论：1）若a=0，则V(0)=2-1=1；2）若0a，则V(a)=maxg(x)-ming(x)=3(1-a)-1-(1-2a)=1-a；3）若a1，则V(a)=maxg(x)-ming(x)=(1-a)-(2-3a)=2a-1；4）a1，则V(a)=maxg(x)-ming(x)=(1-a)-(2-3a)=2a-1；5）a0时，0f(x)1。(1)求f(0)的值；(2)求当x0,则有 又由已知， n0时，0f(n)1 f (0)=1 （2）设x0 则 又-x0 0f(-x)1 （3）f(x)在R上的单调递减 证明：设 又，由已知 16分 由（1）、（2）， f(x)在R上的单调递减 来源：1题型：解答题，难度：较难函数y=f(x)定义在整个实轴上，它的图象在围绕坐标原点旋转角后不变。（1）求证：方程f(x)=x恰有一个解；（2）试给出一个具有上述性质的函数。答案：（1）设f(0)=y0, 则(0, y0)是函数y=f(x)图象上的点，把该点按同一方向绕原点旋转两次，每次旋转角度为，得到点（0，-y0）仍在y=f(x)的图象上，所以y0=f(0)=-y0，得y0=0，即f(0)=0，也就是说x=0是方程f(x)=x的一个解。另一方面，设x=x0是方程f(x)=x的一个解，即f(x0)=x0. 因此点（x0，x0）在函数y=f(x)的图象上，它绕原点旋转三个后得到点（x0，-x0），且此点也在y=f(x)的图象上，所以x0=f(x0）=-x0，得x0=0。综上所述，方程f(x)=x恰有一个解x=0.(2)构造函数如下：f(x)=.图象略。来源：08年数学竞赛专题三题型：解答题，难度：较难已知是定义在上的恒不为零的函数，且对于任意的、都满足：（1）求的值，并证明对任意的，都有；（2）设当时，都有，证明在上是减函数；答案：（1）（2）当时，都有6分当，即时，有，即 在上是减函数。来源：08年高考探索性专题题型：解答题，难度：中档已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线x1对称（）求f(0)的值；（）证明函数f(x)是周期函数；（）若f(x)x(0x1),求xR时，函数f(x)的解析式，并画出满足条件的函数f(x)至少一个周期的图象答案：（）解：函数f(x)是奇数，f(x)f(x)令x0,f(0)f(0),2f(0)0f(0)03分（）证：函数f(x)是奇函数，f(x)f(x)（1）又f(x)关于直线x1对称，f(1x)f(1x)在（1）中的x换成x1，即f(1x)f(1x),即f(1x)f(1x)（2）在（2）中，将1x换成x，即f(x)f(2x)（3）在（3）中，将x换成2x，即f(2x)f(x)（4）由（3）、（4）得：f(2x)f(2x)再将x2换成x,得：f(x)f(x4)f(x)是以4为周期的周期函数8分（）解：来源：题型：解答题，难度：较难设f(x)是定义在（-，+）上以2为周期的函数，对kZ, 用Ik表示区间(2k-1, 2k+1，已知当xI0时，f(x)=x2，求f(x)在Ik上的解析式。答案：设xIk，则2k-1x2k+1，所以f(x-2k)=(x-2k)2.又因为f(x)是以2为周期的函数，所以当xIk时，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.来源：08年数学竞赛专题三题型：解答题，难度：中档已知函数f(x)=(1)当f(x)的定义域为a+,a+时，求f(x)的值域；(2)求f(-3a)+f(-2a)+f(-a)+f(0)+f(2a)+f(3a)+f(4a)+f(5a)的值；(3)设函数g(x)=x2+|(x-a)f(x)|，求g(x)的最小值.答案：（1） f(x)=当a+xa+时，-a-x-a-a-x- -3-2于是-4-1+-3即：f(x)值域为-4，-3（2） f(x)+f(2a-x)=f(0)+f(2a)=f(-a)+f(3a)=f(-2a)+f(4a)=f(-3a)+f(5a)=-2故：f(-3a)+f(-2a)+f(-a)+f(0)+f(2a)+f(3a)+f(4a)+f(5a)=-8（3） g(x)=x3+|x+1-a| (xa)当xa-1且xa时，g(x)=x2+x+a-a=(x+)2+-a如果a-1-,即a,则函数在a-1,a)和(a,+)上递增如果a-1-,即a,即a时，g(x)min=g()=a-如果a-1,即a时，g(x)在(-，a-1)上为减函数，g(x)min=g(a-1)=(a-1)2当a时，(a-1)2-(a-)=(a-)20当a0综合得：当a且a时，g(x)最小值是-a当a时,g(x)最小值为(a-1)2当a=-时，g(x)最小值不存在.来源：08年高考银川一中月考一题型：解答题，难度：较难某病毒研究所研制出一种疫苗并投入使用据监测，人体连续注射3支即可获得对某病毒的抗体，并且注射疫苗后每毫升血液中的含药量y（个单位）与时间t（天）之间的关系如图中曲线所示（1）写出服药后y与t的函数关系式；（2）按规定接种第二、三次疫苗时，人体每毫升血液中含药量不少于4个单位问第二次和第三次接种疫苗的时间应如何安排，才能使抗毒效果最佳（血液中含药时间长，则效果佳）答案：（1）依题意得（2）设第二次注射时在第一次注射后天，则（天），因而第一次与第二次应相隔3天设第三次在第一次后天，则此时血液中含药量应为两次注射后的含药量的和，即有（天），故第三次应在与第二次相隔4天来源：题型：解答题，难度：较难求下列函数的值域：（1）y=; (2)y=; (3)y=x+2; (4) y=答案：(1)首先x2，又y=, 1，所以0a,xR,且A，求实数a的取值范围.答案：解：f(x+2)=-f(x), xR，f(x)= f(x2).（2分）当x1，3时，x21,1,f(x)= f(x2)= (x2)3=(2x)3.（4分）又f(x)= f(x+2)=f(x+4), f(x)是以4为周期的函数.（6分）当x3，5时，x41,1, f(x)=f(x4)= (x4)3. （7分）（8分） （2）当 当x3,5时，y= f(x)=(x4)3, y1,1, f(x)在1，5上的值域为1,1.（10分）又f(x)是以4为周期的函数，当xR时，f(x) 1,1（12分）当aa，故a的取值范围为a1.（14分）来源：题型：解答题，难度：较难奇函数f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又f(1-a)+f(1-a2)0，求a的取值范围。答案：因为f(x)是奇函数，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由题设f(1-a)f(a2-1)。又f(x)在定义域（-1，1）上递减，所以-11-aa2-11，解得0a0，函数f(x)定义域为R，且f(x+a)=，求证：f(x)为周期函数。答案：证明：由题设f(x+2a)=f(x+a)+1=+f(x+a)-f(x+a)=+ =+因为f(x)=+，所以f(x+2a)=f(x). 因为a0，所以f(x)是周期为2a周期函数。来源：08年数学竞赛专题三题型：解答题，难度：中档已知f（x）=x2-2tx+1，其定义域为x|0x1或7x8（1）f（x）在定义域内是否一定有反函数？（2）当f（x）在定义域内有反函数时，求t的范围。答案：解：（1）取t=有 f（0）=f（1）=1 f（x）在定义域内不一定有反函数（4分）（2）f（x）在xR时 其对称轴为x=t当t0时，f（x）在其定义域内为增函数 此时f（x）有反函数（6分）同理为t8时，f（x）在其定义域内也有反函数（8分）当1t4时，f（x）的图象在x0,1的一段此在x7,8的一段更靠近对称轴，那么要使f（x）有反函数，应有f（0）f（7）则此时1t（10分）当4t7时，同理有f（8）f（1），此时t7由以上知，f（x）在其定义域内有反函数的范围为：t0或1t或t7或t8 （12分）来源：题型：解答题，难度：中档对于定义的区间D上的函数f（x），若实数x0D，满足f（x0）=x0则称x0为函数f（x）在D上的一个不动点。（1）求函数f（x）=2x+-2 在（0，+）上的不动点。（2）若函数f（x）=2x+a 在（0，+）上没有不动点，求a的取值范围（3）设f（x）的不动点数目是有限多个，且f（x）定义域为R，下述命题是否正确？若正确请给予证明；若不正确，请举例说明若f（x）是奇函数，则f（x）的不动点数目是奇数。若f（x）是偶函数，则f（x）的不动点数目是偶数。答案：解：（1）设x0是f（x）在（0，+）上的不动点，则f（x0）=x0 即2x0+-2=x0解得x0=1（2分）（2）f（x）在（0，+）上没有不动点，亦即2x+a=x在x（0，+）上无解。即x+=-a在x（0，+）上无解 又当x（0，+）时，x+2 只要-a2 即a-2（4分）（3）正确 f（x）为奇函数 且xR f（0）=0 0是f（x）的一个动点，假设 x00是f（x）的一个不动点，则有f（x0）=x0又f（x0）=-f（-x0） f（-x0）=-x0 -x0也是一个不动点显然x0-x0这表明f（x）的解。不动点如果存在，则必成对，又根据题设f（x）只有有限个不动点，因此f（x）的不动点数目为奇数（6分）（4）不正确 例如函数f（x）=1 若x0为不动点 则f（x0）=x0又f（x0）=1 x=1 f（x）=1只有一个不动点（2分）来源：题型：解答题，难度：较难下列函数是否为奇函数：（1）f(x)=(x-1)；（2）g(x)=|2x+1|-|2x-1| ; (3) (x)=；（4）y=答案：（2）（3）为奇函数。首先（1），（4）定义域不关于原点对称，而（2），（3）满足奇函数定义。来源：08年数学竞赛专题三题型：解答题，难度：中档设m14是一个整数，函数f：NN定义如下：f(n)=,求出所有的m,使得f(1995)=1995.答案：证明：当m21995时, f(1995)=1995-m+14，所以f(1995)=1995时m=14，满足m2m2时，f(n)可直接取值，所以若f(1995)=1995，则必存在n0m2，使n0-m+14=1995. 即m2-m+141995m2-m-19810.解得m,因为1, f(n)=f(f(n-1)+f(f(n+1)都成立。答案：所求函数不存在。假设f: NN是满足题目要求的一个函数，当n2时，我们设函数最小值为f(n0)。因为f(n0)=f(f(n0-1)+f(f(n0+1)2，故f(n0-1) f(n0) 2, f(n0)=f(f(n0-1)+f(f(n0+1) 1+ f(n0+1)，矛盾，故所求f存在。来源：08年数学竞赛专题四题型：解答题，难度：较难设是定义在上偶函数，与图像关于直线对称，当时，（为常数）（1）求表达式；（2）当，求在上取最大值时，对应的值；（3）当时，是否存在，使图像最高点落在直线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。答案：（1）（2）当时，取最大值。（3）当时，取最大值存在，使图像最高点在直线上。命题意图与思路点拨：以多项式函数为载体研究函数的图象与性质，有利于考查学生对函数概念本质的理解与掌握，也是在知识交汇点上考查学生的能力。解决此类问题必须抓住概念进行思考，同时注重知识的综合应用。来源：1题型：解答题，难度：中档已知定义在R上，对任意xR, f(x)=f(x+2)，且f(x)是偶函数，又当x2,3时，f(x)=x，则当x-2,0时，求f(x)的解析式。答案：当x-2, -1时，x+42, 3，由题设此时f(x)=f(x+2)=f(x+4)=x+4.当x-1, 0时，-x0, 1，2-x2, 3，所以f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x.所以当x-2, 0时，f(x)=.也可以写成f(x)=3-|x+1|, x-2, 0.来源：08年数学竞赛专题三题型：解答题，难度：中档函数是定义域为的奇函数，且对任意的，都有成立，当时，.（1）当时，求函数的解析式;（2）求不等式的解集.答案：（1）当时，（1分） 当时，（2分）由，知又是周期为4的函数，所以当时（4分）当时（6分）故当时，函数的解析式为（7分）（2）当时，由，得或或解上述两个不等式组得（10分）故的解集为（12分）来源：08年高考荆州中学月考一题型：解答题，难度：中档某公司需将一批货物从甲地运到乙地，现有汽车、火车两种运输工具可供选择.若该货物在运输过程中(含装卸时间)的损耗为300元/小时，其他主要参考数据如下：运输工具途中速度(千米/小时)途中费用（元/千米）装卸时间（小时）装卸费用（元）汽车50821000火车100441800问：如果根据运输距离的远近选择运输工具，使运输过程中的费用与损耗之和最小.答案：解：设甲乙两地距离为千米，采用汽车、火车运输时的总支出分别为和1分由题意得两种工具在运输过程中（含装卸）中的费用与时间如下表：运输工具途中及装卸费用途中时间汽车火车4分于是7分令得当(千米)时,此时应选用汽车; 当(千米)时,此时应选用汽车或火车;当(千米)时,此时应选用火车较好.11分（注：此处利用函数图像讨论也可得分）答：当距离小于200千米时，采用汽车较好；当距离等于200千米时，采用汽车或火车；当距离大于200千米时，采用火车较好.12分来源：题型：解答题，难度：中档设定义在R上的偶函数，其图像关于点（1，0）对称，并且时，.()证明：；() 证明：，并写出的最小正周期；()求在上的解析式，并写出在R上的单调递增区间（不必证明单调性）.答案：解：（）设 图像上任何一点）关于点（1，0）的对称点为2分代入得由的任意性知对恒成立.4分（）由（）知又为偶函数，代入得6分即为周期函数，且最小正周期为4.8分（）当时，2又当时，又综上得 13分由的图像可知，在上的单调递增区间为.又在上以4为最小正周期，所在以在上的递增区间为14分来源：题型：解答题，难度：较难记函数f(x)的定义域为D，若存在x0D，使f(x0)=x0成立，则称以(x0，y0)为坐标的点是函数f(x)的图象上的“稳定点”.(1)若函数f(x)=的图象上有且只有两个相异的“稳定点”，试求实数a的取值范围；(2)已知定义在实数集R上的奇函数f(x)存在有限个“稳定点”，求证：f(x)必有奇数个“稳定点”.答案：解：(1)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1x2)是函数f(x)=的图象上的两个“稳定点”，即有x12+ax1=3x11(x1a)，x22+ax2=3x21(x2a).4分有x12+(a3)x1+1=0(x1a)，x22+(a3)x2+1=0(x2a).x1、x2是方程x2+(a3)x+1=0两根，且x1， x2a，xa，方程x2+(a3)x+1=0有两个相异的实根且不等于a.a5或a1且a.a的范围是(，)(，1)(5，+).8分(2)f(x)是R上的奇函数，f(0)=f(0)，即f(0)=0.原点(0，0)是函数f(x)的“稳定点”，若f(x)还有稳定点(x0，y0)，则f(x)为奇函数，f(x0)=f(x0)，f(x0)=x0，f(x0)=x0，这说明：(x0，x0)也是f(x)的“稳定点”.综上所述可知，f(x)图象上的“稳定点”除原点外是成对出现的，而且原点也是其“稳定点”，它的个数为奇数.14分来源：题型：解答题，难度：较难已知定义域为0，1的函数同时满足以下三个条件：对任意，总有；若，则有成立. (1) 求的值；(2) 函数在区间0,1上是否同时适合并予以证明；(3) 假定存在,使得,且,求证:答案：（1）由知：；由知：，即； (2 ) 证明：由题设知：； 由知，得，有；设，则，；即 函数在区间0,1上同时适合. (3) 证明：若,则由题设知:,且由知, 由题设及知：矛盾;若,则则由题设知：,且由知, 同理得：,矛盾;故由上述知: 来源：09年江苏南通月考一题型：解答题，难度：较难已知偶函数f(x)在答案：由偶函数特性知原不等式等价于不等式即 所以，原不等式的解集为 来源：09年甘肃兰州月考一题型：解答题，难度：中档设a0，函数f（x）-ax在1，）上是单调函数（1）求实数a的取值范围；（2）设1，f（x）1，且f（f（），求证：f（）答案：解析：（1）任取、1，且，则，显然，不存在一个常数a，使得恒为负数f（x）有确定的单调性，必存在一个常数a，使恒为正数，即a3，这时有f（）f（）f（x）在1，上是增函数，故a的取值范围是（0，3（2）设f（）u，则f（u），于是则，即，又，即，故来源：题型：解答题，难度：中档二次函数(1)求f(x)的解析式；(2)在区间-1，1上，y= f(x)的图像恒在y=2x+m的图像上方，试确定实数m的取值范围。答案：（）令二次函数图像的对称轴为。可令二次函数的解析式为由二次函数的解析式为（）令来源：09年甘肃兰州月考一题型：解答题，难度：中档函数的定义域为_ _.答案：x| 来源：09年广东中山市月考二题型：填空题，难度：中档设定义在上的函数满足，若，则_. 答案： 来源：09年