解三角形的实际应用举例(北师大必修.ppt

* * 1.能根据题意建立数学模型，画出示意图.（重点、难点） 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决与测量距离、高度 、角度有关的实际问题.(重点) * * * * 二、测量高度问题 测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、俯 角等数据计算物体的高度，这类问题一般用到立体几何的知识 ，先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解三角形加 以解决. DateDate 解三角形实际应用问题的思路 DateDate 三、测量角度问题 1.测量角度，首先应明确方向角的含义. 2.解决与角度有关的问题，可以转化为求角的函数值问题，如 果是用余弦定理求得角的余弦，则该角容易确定，如果用正弦 定理求得该角的正弦,就需要讨论解的情况. DateDate 在实际问题中,一般测量哪些角度？ 提示：一般情况下,若测量高度,则需测量仰角或俯角;若测量 距离或角度,则需测量方向角. * * 测量高度问题 1.测量高度问题的方法: （1）测量高度是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形，再依 条件结合正弦定理和余弦定理来解解决测量高度的问题时，常 出现仰角与俯角的问题，要搞清它们的区别及联系 （2）测量底部不能到达的建筑物的高度问题，一般是转化为直 角三角形模型，但在某些情况下，仍需根据正、余弦定理解决 * * 2.俯角和仰角的概念： 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目 标视线在水平视线上方叫仰角,目标视线在水平视线下方叫俯 角（如图）. * * 【例1】在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方 向前进30 m至点C处，测得顶端A的仰角为2，再继续前进 m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高 . * * 【审题指导】本题可利用三角形的外角与其两不相邻内角的关 系定理,寻找BC、AC及CD、AD之间的关系，再利用正弦定理和 直角三角形的知识求解;也可利用方程思想求解. * * 【规范解答】方法一：（用正弦定理求解）由已知可得， 在ABC中，AC=BC=30， 在ACD中，AD=DC= ， ADC =180-4， 由正弦定理得 因为sin4=2sin2cos2 cos2= ,得2=30， * * =15， 在RtADE中，AE=ADsin60=15. 答：所求角为15，建筑物高度为15 m. 方法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h 在RtACE中,( +x)2+h2=302 在RtADE中,x2+h2=( )2 两式相减，得x= ,h=15， 在RtACE中,tan2= 2=30,=15. 答：所求角为15，建筑物高度为15 m. * * 【变式训练】如图，在塔底B测得山顶C的仰角为60，在山顶 C测得塔顶A的俯角为45，已知塔高为AB=20 m，求山高DC. * * 【解析】在ABC中，AB=20，ABC=90-60=30， ACB=90-(4530)=15， 由正弦定理得BC= 在RtBCD中，CD=BCsinCBD =20( 1)sin6047.3(m)，山高约47.3 m. 答：山高DC约为47.3 m. * * 测量距离问题 1.求距离问题要注意以下两点: （1）选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的 三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放 在另一确定三角形中求解. （2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更 便于计算的定理. * * 2.方向角: 方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作 为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通 常表达成：正北或正南，北偏东度，北偏西度，南偏 东度，南偏西度. 解决有关测量、航海等问题时，一定要搞清题中 有关术语的准确含义. * * 【例2】如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3+ ）海 里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D 点有一艘轮船发出 求救信号，位于B点南偏西 60且与B点相距 海里 的C点的救援船立即前往营 救，其航行速度为30海里/小 时，该救援船到达D点需要多长时间？ * * 【审题指导】求解的目标是CD的长度，在DBC中， BD可以求 出，又已知BC和CBD，根据余弦定理即可求出CD. 【规范解答】由题意知AB=5（3+ ）,DBA=90-60 =30,DAB=45,ADB=105. 又sin105=sin45cos60+sin60cos45 = * * 在ABD中，由正弦定理得： BD= 在DBC中，BC= ，DBC=60， CD2=3001 200-2 =900 CD=30，t= =1（小时） 答：救援船到达D点需要1小时. * * 【变式训练】某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观 察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶.公路的走向是M站的北 偏东40.开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米 后，到A的距离缩短了10千米.问汽车还需行驶多远，才能到达 M汽车站？ * * 【解析】由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处. 在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得： * * cosC= 则sin2C=1-cos2C = ，则sinC= 所以sinMAC = sin（120-C）= sin120cosC - cos120sinC = 在MAC中，由正弦定理得 从而有MB=MC-BC=15（千米）. 答：汽车还需行驶15千米，才能到达M汽车站. * * 【误区警示】解题时不能正确的求出MAC的正弦值， 原因是没能利用AMC=60. * * 测量角度问题 测量角度问题：在利用正弦定理、余弦定理解 决航海问题中的综合应用题时.要根据实际，找出等量关系， 在画示意图时，要注意方向角的画法. * * 【例3】某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘 走私船，正沿南偏东75以 10海里/小时的速度向我海岸行驶 ，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡 逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？ 【审题指导】由题意可知ACB的大小，根据巡逻艇和走私船 的速度，可用时间表示出AB、BC,再利用正、余弦定理即可解 决. * * 【规范解答】如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追 上走私船，则CB=10x, AB=14x, AC=9,ACB=75+45=120， (14x)2=92+(10x)2-2910xcos120 化简得32x2-30x-27=0， 即x= 或x= (舍去)， * * 所以BC=10x=15,AB=14x=21, 又因为sinBAC BAC =3813或BAC =14147（钝角不合题意，舍 去）， 3813+45=8313. 答：巡逻艇应该沿着北偏东8313方向去追，经过1.5小时 可追上走私船. * * 【变式训练】如图，在海岸A处发现北偏东45方向，距A处( -1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75方向，距A处2海 里的C处的我方缉私 船，奉命以 海里/小时的速 度追截走私船，此时走私船正 以10海里/小时的速度，从B处 向北偏东30方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快 截获走私船？并求出所需时间（精确到0.01小时）. * * 【解析】设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD= 海里，BD=10t海里. BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC =( -1)2+22-2( -1)2cos120=6. BC= sinABC= * * ABC=45,B点在C点的正东方向上， CBD=90+30=120 sinBCD= BCD=30. 由CBD=120,BCD=30,得D=30, BD=BC,即10t= ,t= 0.24(小时) 答：缉私船研北偏东60方向行驶0.24小时最快截获走私船。 * * 【误区警示】在解决有关现实生活的应用题时，必须检 验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解. * * 【例】如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种 测量A、B两点间距离的方法. * * 【审题指导】问题研究的是两个不可到达的点之间的距离测量 问题.首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点.根据正弦 定理中已知三角形的任意两个内角与一边即可求出另两边的方 法分别求出AC和BC，再利用余弦定理计算出AB的长度. * * 【规范解答】测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD= a，并且在C、D两点分别测得BCA=，ACD=，CDB= ，BDA =，在ADC和BDC中，应用正弦定理得 AC= BC= 计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出A、B两点 间的距离 AB= * * 【互动探究】若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得 BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA=60，求AB. * * 【解析】AC= =20+ BC= =40， AB= = * * 【典例】（12分）甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20 海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而 甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60方向行驶， 问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？ * * 【审题指导】用时间x和速度分别表示甲、乙两船航行的距离 ，用余弦定理可得到关于两船之间距离的函数，再利用函数思 想求最值. 【规范解答】设经过x小时后，甲船和乙船分别到达C，D两点 2分 则AC=8x,AD=AB-BD=20-10x 4分 * * CD2=AC2+AD2-2ACADcos60 =（8x）2+（20-10x）2-28x（20-10x） =244x2-560x+400 = 当CD2取得最小值时，CD取得最小值. 当x= 1.1小时时，CD取得最小值， 10分 答：经过约1.1小时后，甲、乙两船相距最近. 12分 * * 【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下： 常见错误见错误错误错误 原因 不能正确的 用时间时间 x表 示出CD 对题对题 意理解不清，不能正确理解方向角 的含义义，不会利用余弦定理表示出两船 之间间的距离，对对于这类问题这类问题 要养成利 用数形结结合解题题的习惯习惯 . * * 【即时训练】一辆汽车从A点出发，沿海岸边一条直线公路以 100 km/h向东匀速行驶，汽车开动时，在点A南偏东距点A 500 km且距海岸300 km的海上B处有一快递需送给汽车的司机，若 快艇沿直线行驶且与汽车在岸边相遇，求：快艇的最小速度及 行驶方向与AB所成的角 * * 【解析】如图所示，设快艇在B处以v km/h的速度出发，沿BC 方向航行t小时与汽车相遇（在C点） 在ABC中，AB=500 km；BQ=300 km， AC=100t，BC=vt 则sinBAC= 在ABC中，由正弦定理得 即 则v= 60， 当且仅当ABC=90时等号成立 故快艇最小速度为60 km/h且行驶方向与AB成直角 * * 1.某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上 种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这 种草皮至少要( ) （A）450a元 （B）225a元 （C）150a元 （D）300a元 【解析】选C.S= 2030sin150=150，购买这种草皮至 少要150a元. 课堂训练： * * 2.某工程中要将一长为100 m倾斜角为75的斜坡，改造成倾 斜角为30的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加 长( ) (A) (B) (C) (D)200 m 【解析】选A.在ABD中，BAD45， BD 故选A. * * 3.飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前方地面目标C的俯角为 30，向前飞行10 000米，到达B处，此时测得目标C的俯角为 60，这时飞机与地面目标的水平距离为( ) * * （A）5 000米 （B） 米 （C）4 000米 （D） 米 【解析】选A.作出示意图如图，A=30,DBC=60,AB=10 000. BCD=30,BC=10 000,BD=5 000（米）. * * 4.如图，一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮 的北偏东15,与灯塔S相距20海里,随后货轮 按北偏西30的方向航行30分钟后,又测得灯 塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为( ) （A）20（ ）海里/小时 （B）20（ ）海里/小时 （C）20（ ）海里/小时 （D）20（ ）海里/小时 * * 【解析】选B.由题意知 SM=20,SNM=60+45=105,NMS=45, MSN=30, MN= v= 海里/小时. * * 5一船以每小时15 km的速度向东航行，船