初三数学总复习讲座四.doc

2011初三数学总复习讲座（四）“直线形”刘洪辉 隗淑芝一、考试说明对“直线形”的要求考试要求ABC线段、射线和直线会表示点、线段、射线、直线，知道它们之间的联系与区别；结合图形理解两点之间距离的概念；会比较两条线段的大小，并能进行与线段有关的简单计算会用尺规作图：作一条线段等于已知线段，作线段的垂直平分线；会用线段中点的知识解决简单问题；结合图形认识线段间的数量关系会运用两点之间的距离解决有关问题角与角平分线会识别角并会表示；认识度、分、秒，并会进行简单换算；会度量角的大小及进行简单的计算；会比较角的大小，能估计一个角的大小；了解角平分线的概念并会表示会用尺规作图：作一个角等于已知角，作已知角的平分线；会用角平分线的性质解决简单问题；结合图形认识角与角之间的数量关系相交线与平行线了解补角、余角、对顶角，知道等角（同角）的余角相等、等角（同角）的补角相等、对顶角相等；了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，理解点到直线的距离的意义；了解线段垂直平分线及其性质；知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线；知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线；理解两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线；会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线；会用线段垂直平分线的性质解决简单问题；掌握平行线的性质与判定三角形了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会按边或角对三角形进行分类；理解三角形的内角和、外角和及三边关系；会画三角形的主要线段；知道三角形的内心、外心和重心会用尺规作给定条件的三角形；掌握三角形内角和定理及推论；会按要求解决三角形的边、角的计算问题；能用三角形的内心、外心的知识解决简单问题；掌握会证明三角形的中位线定理，并会用三角形中位线性质解决有关问题等腰三角形与直角三角形了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题全等三角形了解全等三角形的概念，了解相似三角形与全等三角形之间的关系掌握两个三角形全等的条件和全等三角形的性质；会应用全等三角形的性质与判定解决有关问题会运用全等三角形的知识和方法解释或证明经过图形变换后得到的图形与原图形对应元素间的关系多边形了解多边形及正多边形的概念；了解多边形的内角和与外角和公式；知道用任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌；了解四边形的不稳定性；了解特殊四边形之间的关系会用多边形的内角和与外角和公式解决计算问题；能用正三角形、正方形、正六边形进行简单的镶嵌设计；能依据条件分解与拼接简单图形平行四边形会识别平行四边形掌握平行四边形的概念、判定和性质，会用平行四边形的性质和判定解决简单问题会运用平行四边形的知识解决有关问题特殊的平行四边形会识别矩形、菱形、正方形掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决简单问题会运用矩形、菱形、正方形的知识解决有关问题梯形会识别梯形、等腰梯形；了解等腰梯形的性质和判定掌握梯形的概念，会用等腰梯形的性质和判定解决简单问题 此部分共包括10个A级知识点，10个B级知识点，5个C级知识点二直线形在中考中的分值： 直线型部分知识选择题占4分，填空题占4分，利用全等三角形知识解决问题占5分，利用四边形的知识解决问题占5分，综合题中也运用了这部分知识，因此这部分是基础，要夯实，弄通、弄透。三. 统一复习理念 （一）新课程理念1基本出发点:促进学生全面、持续、和谐的发展；2认识到通过观察、实验、归纳、类比、推断可以获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性.（二）重视“四基”的训练：基础知识，基本技能，基本动手实践能力，基本数学思想方法（三）解读近几年考题，复习中做到强化细节落实，方向明确，重点突出 第一部分：线段、角、相交线和平行线 一.知识结构图：二.知识点及其考试要求、相应例题：（一）线段、射线和直线A层: 会表示点、线段、射线、直线，知道它们之间的联系与区别；结合图形理解两点之间距离的概念；会比较两条线段的大小，并能进行与线段有关的简单计算。B层: 会用尺规作图：作一条线段等于已知线段，作线段的垂直平分线；会用线段中点的知识解决简单问题；结合图形认识线段间的数量关系C层: 会运用两点之间的距离解决有关问题例题：C层: 例1已知直线a同侧两点A、B，在直线a上求一点P，使PA+PB的值最小先找点A对称点A，再联结AB, 与直线a交于点P例2已知两点D(1,-3)、E(-1,-4)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标例3如图点A是半圆上一个三等分点 ，点B是弧AN的中点，点P是直径MN上一动点，O的半径为1，求AP+BP的最小值例4.已知：如图，菱形ABCD的边长为4，ABC=60，E是BC的中点，P是对角线BD上的一个动点，求PE+PC的最小值。 菱形还可以改成正方形在综合题中也常出现求最小值问题（二）角与角平分线A层: 会识别角并会表示；认识度、分、秒，并会进行简单换算；会度量角的大小及进行简单的计算；会比较两个角的大小，能估计一个角的大小；了解角平分线的概念不并会表示。B层: 会用尺规作图：作一个角等于已知角，作已知角的平分线；会用角平分线的性质解决简单问题；结合图形认识角与角之间的 数量关系（三）相交线与平行线A层: 了解补角、余角、对顶角，知道等角（同角）的余角相等、等角（同角）的补角相等、对顶角相等；了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，理解点到直线的距离的意义；了解线段垂直平分线及其性质；知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线；知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线；理解两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。B层: 会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线；会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线；会用线段垂直平分线的性质解决简单问题；掌握平行线的性质与判定。ABCDE例题：例1已知：如图，ADBC，点E在BD的延长线上，若ADE=155，则DBC的度数为（ ）A155 B50 C45 D25C例2如图，中，过点且平行于，若，则的度数为（ ）ABCD例3如图，把矩形沿对折后使两部分重合，若，则=（ ）A110 B115 C120 D130说明：突出平行线移角的作用例3.已知一个角是它的补角的4倍，这个角的度数是 EBDAO例4.如图，直线AB、CD相交于点O，若1:2=1:4，则1=_，3=_ 例5.如图，已知相交于点，则_例6如图，ABCD，直线PQ分别交AB、CD于点E、F，EG是FED的平分线，交AB于点G .若QED=40，那么EGB等于（ ）A. 80B. 100C. 110D.120说明：本题考查了角平分线、平行线、两角互补、三角形外角等性质 第二部分三角形一.框架结构图二、知识点及其考试要求、相应例题：（一）三角形：A层: 了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会按边和角对三角形进行分类；理解三角形的内角和、外角和及三边关系；会画三角形的主要线段；知道三角形的内心、外心和重心B层: 会用尺规作给定条件的三角形；掌握三角形内角和定理及推论；会按要求解决三角形的边、角的计算问题；能用三角形的内心、外心的知识解决简单问题；会证明三角形的中位线定理，并会应用三角形中位线性质解决有关问题例题：A层：例1、（2008，福州）已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ）（ A） 13cm （B）6 cm （C） 5 cm （D） 4cmB层：例2.若一个三角形的三边长满足方程，则此三角形的周长为（ ）说明：考查三角形三边的关系、一元二次方程的解法以及分类讨论的思想例3.已知点I为ABC的内心，BIC=130，则BAC的度数是（ ） A.60 B.75 C.80D.100说明：考查了角平分线的定义、三角形内心的概念、三角形内角和定理CAEDB突出中线与中位线的解题元素作用B层：例4.如图，在中，分别是的中点， 若，则 cmAMNBDEC例5.如图，在ABC中，AB=AC，M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连结DN、EM若AB=13cm，BC=10cm，DE=5cm，则图中阴影部分的面积为 cm2例6.已知：如图，ABC中,D是BC的中点，若AB=，AC=，AD=，求：BC的长.应用三角形的角平分线进行解题，关注图形生成过程例7.如图，四边形ABCD中，A+C=180，BD平分ABC求证：（1）DC=AD (2 )若BC=21，AB=9，求AC的长。变式：若ABC=90，可得到哪些结论？例8.如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形请你参考这个作全等三角形的方 法，解答下列问题：（1）如图，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由OPAMNEBCDFACEFBD图图图（二）等腰三角形与直角三角形A层: 了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定 B层: 能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题C层: 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题例题：B层：例1.已知: 等腰三角形中，若（1）一边长为5，另一边长为7，求其周长. （2）一边长为2，另一边长为4，求其周长. （3）一角为50，则它的一个底角是多少度？ （4）一角为95，则它的一个底角是多少度？ 例2.在ABC中，AB=AC，周长为10 cm，AC边上的中线BD把ABC分成周长差为2 cm的两个三角形，求ABC各边的长.B D CEMA例3.如图，在RtABC中，ACB=90，BAC的平分线AD交BC于点D，DEAC，DE交AB于点E ，M为BE的中点，连结DM. 在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形是 .（写出一个即可）图2例4.已知：如图，ABC中，AB=AC，在AB上取点D，在AC延长线上取点E，连结DE交BC于点F，若F是DE中点.求证：BD=CEAGCFEBD图1C层：例4.已知等边三角形纸片的边长为，为边上的点，过点作交于点于点，过点作于点，把三角形纸片分别沿按图1所示方式折叠，点分别落在点，处若点，在矩形内或其边上，且互不重合，此时我们称（即图中阴影部分）为“重叠三角形”（1）若把三角形纸片放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点恰好落在网格图中的格点上如图2所示，请直接写出此时重叠三角形的面积；（2）实验探究：设的长为，若重叠三角形存在试用含的代数式表示重叠三角形的面积，并写出的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）解：（1）重叠三角形的面积为 ；（2）用含的代数式表示重叠三角形的面积为 ；的取值范围为 ACB备用图ACB备用图说明：综合考查三角形的有关知识例5如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ） A4B3C2D 例6已知：如图，等腰ABC中，AB=BC,AEBC于E,EFAB于F,若CE=2，cosAEF=,求EF的长 例7已知：如图10，在中，点是的角平分线上一点，于点，过点作交于点求证：点是过三点的圆的圆心（三）全等三角形A层：了解全等三角形的概念，了解相似三角形与全等三角形之间的关系B层：掌握两个三角形全等的条件和全等三角形的性质；会应用全等三角形的性质与判定解决有关问题C层：会运用全等三角形的知识和方法解释或证明经过图形变换后得到的图形与原图形对应元素间的关系。 1.判定两个三角形全等的公理或定理： 一般三角形有SAS、ASA、AAS、SSS；直角三角形还有HL2.全等三角形常见图形例题：C层：例1.已知：如图，B、C、E三点在同一直线上，ACDE，ACCE，ACDB求证：ABCCDE第14题图例2.如图，已知于点，请增加一个条件，使 (不能添加辅助线)，你增加的条件是 （缺图）或或或或例3. 已知：如图，在ABC中，ACB=，于点D,点E 在 AC上，CE=BC,过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F .求证：AB=FC例4.如图，ADBC，BAD=90，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过C点作CFBE，垂足为F. 线段BF与图中现有的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明.结论：BF=. 例5.如图5，D是AB边上的中点，将沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若，则 _度例6. 如图1，一副直角三角板满足ABBC，ACDE，ABCDEF90,EDF30【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q【探究一】在旋转过程中，（1） 如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明.（2） 如图3，当时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由.（3） 根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系式为_,其中的取值范围是_(直接写出结论，不必证明)【探究二】若AC30cm，连续PQ，设EPQ的面积为S(cm2)，在旋转过程中：（1） S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由.（2） 随着S取不同的值，对应EPQ的个数有哪些变化？不出相应S值的取值范围.例7.已知：正方形ABCD中，MAN=45, MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M,N,当MAN绕点A旋转到BM=DN时，如图1，易证BM+DN=MN（1）当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图2），线段BM,DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明（2）当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM,DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想。 图1 图2 图3说明：当遇到三条线段关系的问题时，一般都是将其中的两条线段放到一条直线上，利用“截长、补短”的方法，借助 全等三角形的知识解决问题 第三部分 四边形一.框架结构图二.知识点及其考试要求、相应例题（一）多边形A层:了解多边形及正多边形的概念；了解多边形的内角和与外角和公式；知道用任意一个三角形、四边形或正六边形可以进行镶嵌；了解四边形的不稳定性；了解特殊四边形之间的关系B层:会用多边形的内角和与外角和公式解决计算问题；能用正三角形、正方形、正六边形进行简单的镶嵌设计；能依据图形条件分解与拼接简单图形例题：A层：例1.若一个正多边形的一个外角是40，则这个正多边形的边数是（ ） A.10B.9C.8D.6例2.若一个多边形的内角和等于720 ，则这个多边形的边数是（ ） A5 B6 C7 D8B层：例3.如图是对称中心为点的正六边形如果用一个含角的直角三角板的角，借助点（使角的顶点落在点处），把这个正六边形的面积等分，那么的所有可能的值是 （二）平行四边形和特殊平行四边形A层:会识别平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；了解等腰梯形的性质和判定B层: 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念、判定和性质，会用平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的性质和判定解决简单问题； C层: 会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识解决有关问题。1.特殊的平行四边形的之间的关系例题：B层：例1.已知：如图，已知在ABCD中，E、F是对角线DB上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG. 求证：四边形GEHF是平行四边形例2.如图，已知长方形ABCD中，AB=8cm，BC=10cm，在边CD上取一点E，将ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长 例3.已知，如图（4）在梯形ABCD中，ABDC，中位线EF=7cm，对角线ACBD，BDC=30求梯形的高。说明：梯形中常用的辅助线：(1)当对角线互相垂直时常“平移 对角线” 构造 直角三角形。(2)当等腰梯形的底角是0（或直角梯形）时常“平移一腰”构造等边三角形（或直角三角形和矩形）(3)作高线(4)用图形表示梯形的辅助线的作法C层：例4.如图，矩形ABCD的对角线相交于O，M是边AD上任意一点，MPAC于P，MQBD于Q，AEBD于E（1）求证：AE=MP+MQ；（2）当M在AD的延长线上时，其他条件不变，AE、MP、MQ还有（1）中的关系吗？若没有，它们之间有什么关系？请证明例5. 如图：在ABC中，ACB90，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E、F在DE上，并且AFCE。（1）试说明四边形ACEF是平行四边形。（2）当B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请说明理由。 （3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？说明：对于综合性题型，我们要利用分析、综合的解题方法从“未知”看“需知”，