山东建筑大学结构力学研究生专业课考试复习6位移计算.ppt

5-5 图乘法 位移计算举例 ki ds EI MM = ki CEI dxMM EI 1 =D P EI y dx EI MM 0 w =y EI 0 1 w =xtan EI 0 1 wa = B A kdx xMtan EI 1 a B A k dxxtanM EI 1 a M i是直线 ki dx EI MM 直杆 Mi Mi=xtan y x Mk dx x y0 x0 y0=x0tan d =D P EI y dx EI MM 0 w 注：表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。 图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆； c）两个弯矩图至少有一个是直线。 竖标y0取在直线图形中，对应另一（取面积） 图形的形心处。 面积与竖标y0在杆的同侧， y0 取正号， 否则取负号。 几种常见图形的面积和形心的位置： (a+l)/3(b+l)/3 =hl/2 l ab h l/2l/2 h 二次抛物线=2hl/3 h 3l/4l/4 5l/83l/8 二次抛物线=hl/3 二次抛物线=2hl/3 4l/5l/5 h h 三次抛物线=hl/4 (n+1)l/(n+2)l/(n+2) h n次抛物线=hl/(n+1) 顶点 顶点 顶点 顶点 顶点 1/32/3 P l/2l/2 EI AB m=1 1/2 Pl/4 ql2/2 MP MP P=1 l l q A B 例：求梁B点转角位移。例：求梁B点竖向线位移。 3l/4 PP aaa 例：求图示梁中点的挠度。 PaPa MP P=1 3a/4 a/2 a/2 P l/2l/2 C 例：求图示梁C点的挠度。 MP Pl C P=1 l/2 l/6 l 6EI Pl 12 3 = Pl EI C 2 1 2 =D EI Pl 48 5 3 = Pl 6 5 ll EI y C 222 1 0 =D w 5Pl/6 ？ ？ 非标准图形乘直线形 a）直线形乘直线形 a b d c l/3l/3l/3 1 2 y1 y2 () bcadbdac l +=22 6 dc + 3 2 3 bl + 2 dc + 33 2al = 2 yydxMM ki += 2211 ww Mi Mk a b + 梯形 Mi 分解 为三角形的和 各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同 侧乘积取正，否则取负。 =111 （1） 3 2 6 4 9 = 9 =15 = 33 2 3 6 4 （3） 9 （ 2） 3 2 6 4 9 （4） 2 3 6 9 l a b d c h + b a h 23 2dchl+ b)非标准抛物线乘直线形 E=3.3 1010 N/ m2 I=1/12 1002.53cm4=1.3 10-6 m4 折减抗弯刚度 0.85EI=0.85 1.3010-63.31010 = 3.6465 104 N m2 例： 预应力钢筋混凝土墙板单 点起吊过程中的计算简图。 已知：板宽1m，厚2.5cm，混凝土 容重为25000N/m3，求C点的挠度 。 q=625 N/m 2.2m0.8m AB C 解：q=2500010.025625 N/ m dc + 3 2 3 bl + 2 dc + 33 2al = 2 折减抗弯刚度 0.85EI=3.6465 104Nm2 200 378 P=1 0.8 MP q=625N/m 2.2m0.8m AB C 1 y1 3 y3 2 y2 P=1 1 1 l y1 y2 y3 2 3 = l y 3 2 21 =yly 1283 2 32 3 = ql l ql w 422 1 2 32 1 = ql l ql ww 8 3 2123 2 43 2 4 1 4222 = += EI qllqllqllql EI () 1 332211 +=D M yyy EI www q l l ql2/2 ql2/8 ql ql/2 ql/2 MP 1 2 2 B NP=ql/2 NP=0 900 1 93 4 3 4 8 3 2 10 1 2 2 2 12 2 42 3 = D D = l h bh M N l h bhlAl I EI ql EA ql 2 1 2 2 =D P N EA ql EA lql EA lNN 求AB两点的相对水平位移。 36 18 9 MPP=1 P=1 6 3 ) ()= EI -756 +3 3 2 2 318 -+ EI 6 4 3 636 3 11 + - 2 63 96 3 2 ( +-+-=D EI 61833631826362 6 61 6kN 2kN/m 2kN/m 6m 3m3m A B EI=常数 9 9 99 9 9 9 () bcadbdac l +=22 6 ql l EI B 1 ql2/8 3ql2/2 MP l 求B点竖向位移。 4kN4kN.m 2kN/m12kN.m 4m4m EI A B 求B 5kN 12 8 4 4 MP kN.m 1 kN.m 1 5m5m 5m5m5m 2kN/m 7kN 10kN A B G C D E F 15kN 50kN.m 35 10 20 1kN 2kN 10 10 10 20 m 求A点水平位移。 25 P=1 MP ql2/2 l l/2 A B 2EIEI l/2 求B点的竖向位移。 EI ql 256 17 4 = lllql EI2 5 . 0 2323 2 2 1 2 + - lql EI l B 4 3 283 112 2 =D EI qll l ql EI B 84 3 23 11 42 =D y lql EI B 28 3 3 1 2 1 0 2 +=D L q ？ ql2/8 l/2？ ql2/32 y0 ql2/8 MP ql2/2 l/2 A B 2EIEI l/2 q ql2/2 ql2/8 ql2/4 l l/2 -+ l l P l l P dx EI MM dx EI MM 11 11 += l l P l P dx EI MM dx EI MM 1 1 2 0 1 +=D l l P l P dx EI MM dx EI MM 1 1 2 0 1 () - l l P dxMMM EI 1 21 1 = l P dxMM EI 0 1 1 MP MP x q l l1 1 M1 M2 例：试求等截面简支梁C截面的转角。 q l/5 4l/5 2ql2/25 ql2/8 MP 1 1/5 4/5 1 = qllqll 1 25853 2 25 2 52 1 22 +- l ql EI C 2 1 83 21 2 =q EI ql 100 33 3 = c a b d c 1 2 y1 y2 Mi Mk dc + 3 2 3 bl + 2 dc + 33 2al = 2 yydxMM ki += 2211 ww c d y1 y2 l/3l/3l/3 1 2 a b 2-1、图示虚拟的广义单位力状态，可求什么位移。 （ ） A B P=1/lP=1/l P=1/l P=1/l llC A B P=1/ l P=1/l l A B P=1/ l P=1/ l l （ ） AB杆的转角 AB连线的转角 AB杆和AC杆的 相对转角 40kN 2m4m 4m 2m 40kN C 习题5-20：求C点挠度 EI=2108kNcm 2 120 80 4010 10 40 解：设单位载荷状态 1 作MP、M 图 120 80 4010 10 40 2 1 作业 5-22，5-23 5-6 温度作用时的位移计算 1）温度改变对静定结构不产生内力，变形和位移是材料自由膨胀、收缩的结果。 2）假设：温度沿截面高度为线性分布。 t1 t2 t0 hh1 h2 3）微段的变形 ds d t0ds =0 该公式仅适用于静定结构 t1ds t2ds 例 求图示刚架C点的竖向位移。各杆截面为矩形。 a a 0 +10 +10 C P=1 P=1 1 a N + D =D t h t NMc0w aw a =-= Dt 10010 ooo = + =t5 2 010 0 o o ()-+a5a +-= h a a 3 15a - = a h2 310 2 a 例： 求图示桁架温度改变引起的AB杆转角. 解：构造虚拟状态 Ni 静定结构由于支座移动而产生的位移计算 静定结构由于支座移动不会产生内力和变形，所以e=0，k=0，g=0。代入 得到：仅用于静定结构 a b l/2l/2 h 1 1 0= A Y 1 = B h X 0= B Y = 1 A h X 0= A Y 1 = B h X 0= B Y = 1 A h X 0= A Y 1 = B h X 0= B Y = 1 A h X 0= A Y 1 = B h X 0= B Y = 1 A h X 0= A Y 1 = B h X 0= B Y = 1 A h X 0= A Y 1 = B h X 0= B Y = 1 A h X 例： 求图示桁架制造误差引起的A竖向位移. 解：构造虚拟状态 Ni 最一般情况： 外力、温度变化、支座移动、 制造误差（视误差为已知变形） 应用条件：1)应力与应变成正比; 2)变形是微小的。 即:线性变形体系。 P1P2 F1F2 N1 M1 Q1 N2 M2 Q2 一、功的互等定理 +ds GA QkQ EI MM EA NN 121212 =D=FW 21 +=ds GA QkQ EI MM EA NN 212121 D=PW 12 功的互等定理：在任一线性变形体系中，状态的外力在状态的位移上作 的功W12等于状态的外力在状态的位移上作的功W21。即： W12= W21 5-9 互等定理 D D 二、位移互等定理 P1 P2 位移互等定理：在任一线性变形体系中，由荷载P1所引起的与荷载P2相应 的位移影响系数21 等于由荷载P2所引起的与荷载P1相应的位移影响系数12 。或者说,由单位荷载P1=1所引起的与荷载P2相应的位移21等于由单位荷载 P2=1所引起的与荷载P1相应的位移12 。 21 12 j ij ij P d D = PP D = D 1 21 2 12 PPD=D 212121 称为位移影响系数，等于Pj=1所引起的与Pi相应的位移。 注意：1）这里荷载可以是广义荷载，位移是相应的广义位移。 2）12与21不仅数值相等，量纲也相同。 三、反力互等定理 c1 c2 R11 R21 R22 R12 j ij ij c R r = c R c R = 2 12 1 21 RcR + = 22112 0 cRR + 22111 0 称为反力影响系数，等于cj=1所引起的与ci相应的反力。 反力互等定理：在任一线性变形体系中，由位移c1所引起的与位移c2相 应的反力影响系数r21 等于由位移c2所引起的与位移c1相应的反力影响系数 r12 。或者说,由单位位移c1=1所引起的与位移c2相应的反力r21等于由单位位 移c2=1所引起的与位移c1相应的反力r12 。 注意：1）这里支座位移可以是广义位移，反力是相应的广义力。 2）反力互等定理仅用于超静定结构。 4. 反力位移互等定理: 单位广义力引起的结构中某支座的反力等于该支座发单位广义力引起的结构中某支座的反力等于该支座发 生单位广义位移所引起的单位广义力作用点沿其方向生单位广义位移所引起的单位广义力作用点沿其方向 的位移，但符号相反。的位移，但符号相反。-反力位移互等定理反力位移互等定理 P l/2l/2 3Pl/16 C A C 例：已知图结构的弯矩图 求同一结构由于支座A的转动 引起C点的挠度。 解：W12=W21 W21=0 W12=PC3Pl/16 0 C=3l /16 例：图示同一结构的两种状态， 求=？ P=1 m=1 m=1 AB =A+ B B A 已知图a梁支座C上升0.02m引起的D=0.03m/16，试绘图b的M图. P Rc (b) aa/2a/2 AB C D D 0.02m (a) Wab=0=Wba=PD+RC C RC=3P/32 3Pa/32 小结 一、虚功原理We=Wi 力：满足平衡 位移：变形连续 虚设位移 虚位移原理（求未知力） 虚功方程等