概率论与数理统计JA(48,29-30).ppt

第四章 随机变量的数字特征 1 数学期望 2 方差 3 几种重要随机变量的数学 期望和方差 4 协方差及相关系数 5 矩 (1) 去掉最高、低分的启示 算术平均数是最常用的技巧，平均数作为衡量标 准科学合理吗？ 班级有30个学生，其中两个学生数学考试只得2分 和10分。此外，有5个学生得90分，22个得80分，1 个得78分。此时该班数学成绩的平均分是： 确实，该结果不能反映多数人的真实状况(80分左 右合理）。去掉一个最低分，总平均约是79.2分， 去掉两个最低分，总平均则是81.7分。这似乎比较 符合实际了。 第四章 随机变量的数字特征 演员竞赛：演员表演完后，先由10个（或若干个） 评委亮分，裁判长总要去掉最高分和最低分，再用其 余的8个数据的平均值作为最后得分。 算术平均数有两个缺点：受异常值的影响；计算 比较复杂（不能一眼看出）。 去掉最高分或最低分，有“弄虚作假”之嫌，不见得 都合适。 平均数就是中等水平-是不合适的。 上述30个学生的数学成绩中，总平均是76.67分。 某同学得78分，超过平均数，似乎该是“中上”水平 了，其实他是倒数第三名！ 第四章 随机变量的数字特征 例:在体操比赛中，规定有四个裁判给一个运动员 打分。例如：9.30，9.35，9.45，9.90 (按顺序排列) 给分是当中两项的平均值：9.4 。 这样给分规定，避免了过高分数9.90的影响，同时 9.40分处于四个裁判分的中间位数，不偏不倚，十 分公正。 第四章 随机变量的数字特征 怎样刻划“中等水平”呢？-中位数。 例：上面的30个学生的数学成绩依大小排列后，第 15位和16位都是80分，所以中位数是80分。那么78 分低于此数，当然是中下水平无疑了。 众数也是常常使用的代表数，即数据中重复出现次 数最多的那个数据。 比如，美国某厂职工的月工资数统计如下： 月工资数（美元） 得此工资的人数 10000 1（总经理） 8000 2（副总经理） 5000 2（助理） 2000 5 1000 12 900 18 800 23 700 5 500 2 第四章 随机变量的数字特征 如何来选取该厂的月工资代表数呢？ 经计算，平均值为1387美元，中位数为900美元，众 数为800美元。 工厂主为了显示本厂职工的收入高，用少数人的高 工资来提高平均数，故采用1387美元。 工会领导人则不同意，主张用众数800美元（职 工中以拿每月800美元的人最多）。 而税务官则希望取中位数，以便知道目前的所得 税率会对该厂的多数职工有利还是不利，以便寻求 对策。 第四章 随机变量的数字特征 (2) “伟大的”期望值 例如，一个体户有一笔资金，如经营西瓜，风险 大但利润高（成功的概率为0.7，获利2000元）； 如经营工艺品，风险小但获利小（95会赚，但 利润为1000元）。 究竟该如何决策？于是计算期望值。若经营西 瓜，期望值E1=0.7*2000=1400元。而经营工艺品 为E2=0.95*l000=950元。 所以权衡下来，情愿“搏一记”，去经营西瓜， 因它的期望值高。 第四章 随机变量的数字特征 再举一个用期望值进行决策的例子。 某投资者有10万元，有两种投资方案：一是购买股 票，二是存入银行获取利息。 买股票的收益取决于经济形势：形势好(获利40000 元)、形势中等(获利10000元)、形势不好(损失20000 元)。 如果是存入银行 (年利率为8)，即可得利息8000元。 又设经济形势好、中、差的概率分别为30、50和 20。 试问应选择哪一种方案？ 第四章 随机变量的数字特征 下面给出采用期望标准的解法。 第四章 随机变量的数字特征 按最大收益原则，取期望收益高的方案，淘汰期 望收益低的方案，所以应采用购买股票的方案。 买股票和存银行的期望值分别为 第四章 随机变量的数字特征 设X 表示获利,它是离散型随机变量,分布律为 X 40000 10000 - 20000 0.3 0.5 0.2 则获利的期望值为 数学期望的定义 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质 1 数学期望 第四章 随机变量的数字特征 一、数学期望定义 1） 离散型 第四章 随机变量的数字特征 1 数学期望 设离散型随机变量X的分布律为： 若级数 绝对收敛，则称随机变量 X 的数 学期望存在，记作 EX， 且 数学期望也称为均值。 2）连续型 第四章 随机变量的数字特征 1 数学期望 设连续型随机变量X的概率密度为 ， 若积分 绝对收敛，则称积分 的值为X的数学期望。 记为 第四章 随机变量的数字特征 1 数学期望 说 明 变化的平均值的数学期望刻划了 XX)1( 的数学期望表示的是随机变量由于随机变量 X)2( 变化的平均值,X因此，只有当级数 的求和顺序无关的和与其级数 =1 n nn px 绝对收敛时，才能保证级数 = =11n nn n nn pxpx 第四章 随机变量的数字特征 1 数学期望 例2 ，其密度函数为分布服从设随机变量CauchyX ( )()+- + =x x xf 2 1 11 p 由于 ( ) + - dxxfx + + = 0 2 1 2 dx x x p + - + =dx x x 2 1 1 p () + += 0 2 1ln 1 x p ( ) 不绝对收敛，这表明积分 + - dxxxf不存在因而 EX 例 3 第四章 随机变量的数字特征 1 数学期望 此例说明了数学期望更完整地刻化了X 的均值状态。 设离散型随机变量 X 的分布律为： 设离散型随机变量X的分布律为： X 0 1 2 0.1 0.2 0.7 X 0 1 2 0.7 0.2 0.1 第四章 随机变量的数字特征 1 数学期望 例 4 甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出: ：甲击中的环数；X：乙击中的环数；Y 试问哪一个人的射击水平较高？ 第四章 随机变量的数字特征 1 数学期望 解： 甲、乙击中的的平均环数为 因此，从平均环数上看，甲的射击水平要比乙的好 例 5 第四章 随机变量的数字特征 按规定，火车站每天8:009:00, 9:0010:00都恰 有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且 两者到站的时间相互独立，其规律为： 到站时间 8:10,9:10 8:30,9:30 8:50,9:50 概率 1/6 3/6 2/6 (1) 旅客8:00到站，求他侯车时间的数学期望。 (2) 旅客8:20到站，求他侯车时间的数学期望。 1 数学期望 第四章 随机变量的数字特征 1 数学期望 解： X 10 30 50 1/6 3/6 2/6 (1) 旅客8：00到达 （2）旅客8：20到达 X 的分布率为 X 的分布率为 X 10 30 50 70 90 3/6 2/6 (1/6) (1/6) (3/6) (1/6) (2/6) (1/6) 设旅客的候车时间为X（以分记） 二、随机变量函数的数学期望 定理 1： 第四章 随机变量的数字特征 1 数学期望 设 Y =g( X ), g( x ) 是连续函数， (2)若X 的概率密度为 f ( x )， （1）若 X 的分布率为 定理 2： 第四章 随机变量的数字特征 若(X, Y)是二维随机变量， (1) 若 ( X, Y ) 的分布律为 (2) 若(X ,Y)的概率密度为 f ( x , y ) ，且 g ( x , y) 是二元连续函数， 1 数学期望 第四章 随机变量的数字特征 解： 例 6 设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴, y 轴和直线x+y+1=0所围成的区域。求EX， E(-3X+2Y)，EXY。 1 数学期望 第四章 随机变量的数字特征 例7 国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量 是随机变量 X（吨），X U2000,4000，每售出这 种商品一吨，可为国家挣得外汇3万元，但销售不出 而囤积在仓库，则每吨需浪费保养费1万元。问需要 组织多少货源，才能使国家平均收益最大。 设 y 为预备出口的该商品的数量，则 用 Z 表示国家的收益（万元） 解： 1 数学期望 第四章 随机变量的数字特征 下面求 EZ，并求 y 使 EZ 达到最大 值， 即，组织3500吨此种商品是最佳的决策。 例8(续） 1 数学期望 三、数学期望的性质 第四章 随机变量的数字特征 1 数学期望 .,)4EXEYEXYYX=独立，则若 例 8 第四章 随机变量的数字特征 对N个人进行验血，有两种方案： （2）将采集的每个人的血分成两份，然后取其 中的一份，按k个人一组混合后进行化验（设N是 k的倍数），若呈阴性反应，则认为k个人的血都 是阴性反应，这时k个人的血只要化验一次；如 果混合血液呈阳性反应，则需对k个人的另一份 血液逐一进行化验，这时k个人的血要化验k+1次; （1）对每人的血液逐个化验，共需 N 次化验； 假设所有人的血液呈阳性反应的概率都是p，且各 次化验结果是相互独立的。 试说明适当选取 k 可使第二个方案减少化验次数。 第四章 随机变量的数字特征 1 数学期望 解：设 X 表示第二个方案下的总化验次数， 表示第 i 个组的化验次数，则 例 8 （续） 第四章 随机变量的数字特征 1 数学期望 只要选 k 使 即 就可使第二个方案减少化验次数； 当q已知时， .1pq-= 第四章 随机变量的数字特征 例如：当p=0.1，q=0.9时，可证明k=4可使最小； 这时， 工作量将减少40%. 1 数学期望 就可使化验次数最少。 第四章 随机变量的数字特征 例9一民航送客载有20位旅客自机场开出，旅客 有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客 下车就不停车。以X表示停车的次数。求EX（设 每个旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅 客是否下车相互独立）。 解： 1 数学期望 第四章 随机变量的数字特征 例10 对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批产 品不合格，并结束抽样。若抽样到第 n 件仍未发现 废品则认为这批产品合格。假设产品数量很大，抽 查到废品的概率是 p，试求平均需抽查的件数。 解： 设X为停止检查时，抽样的件数， 则 X 的可能取值为1, 2, , n，且 1 数学期望 第四章 随机变量的数字特征 1 数学期望 第四章 随机变量的数字特征 例11 用某台机器生产某种产品，已知正品率随着 该机器所用次数的增加而指数下降，即 假设每次生产100件产品，试求这台机器前10次生 产中平均生产的正品总数。 解： 设X是前10次生产的产品中的正品数，并设 第四章 随机变量的数字特征