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随机过程综合练习题一、填空题（每空3分）第一章1是独立同分布的随机变量，的特征函数为，则的特征函数是 。2 。3 的特征函数为，则的特征函数为 。4条件期望是 的函数， （是or不是）随机变量。5是独立同分布的随机变量，的特征函数为，则的特征函数是 。6n维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性 。第二章7宽平稳过程是指协方差函数只与 有关。8在独立重复试验中，若每次试验时事件A发生的概率为，以记进行到次试验为止A发生的次数， 则是 过程。9正交增量过程满足的条件是 。10正交增量过程的协方差函数 。第三章11 X(t), t0为具有参数的齐次泊松过程，其均值函数为 ；方差函数为 。12设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为，且均为泊松过程，它们相互独立，若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时)，相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度是 ，汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度是 。13X(t), t0为具有参数的齐次泊松过程， 。14设X(t), t0是具有参数的泊松过程，泊松过程第n次到达时间Wn的数学期望是 。15在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达保险公司若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，求一年中保险公司的平均赔付金额 。16到达某汽车总站的客车数是一泊松过程，每辆客车内乘客数是一随机变量设各客车内乘客数独立同分布，且各辆车乘客数与车辆数N(t)相互独立，则在0，t内到达汽车总站的乘客总数是 （复合or非齐次）泊松过程17设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2min内到达的顾客不超过3人的概率是 第四章18 无限制随机游动各状态的周期是 。19非周期正常返状态称为 。20设有独立重复试验序列。以记第n次试验时事件A发生，且，以记第n次试验时事件A不发生，且，若有，则是 链。答案一、填空题1； 2； 3 4是 5； 6等价7时间差； 8独立增量过程；9 1011； 12 13 14 15240000 16复合； 17182； 19遍历状态； 20齐次马尔科夫链； 二、判断题（每题2分）第一章1是特征函数，不是特征函数。（ ）2n维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性等价。（ ）3任意随机变量均存在特征函数。（ ）4是特征函数，是特征函数。（ ）5设是零均值的四维高斯分布随机变量，则有（ ）第二章6严平稳过程二阶矩不一定存在，因而不一定是宽平稳过程。（ ）7独立增量过程是马尔科夫过程。（ ）8维纳过程是平稳独立增量过程。（ ）第三章9非齐次泊松过程是平稳独立增量过程。（ ）第四章10有限状态空间不可约马氏链的状态均常返。（ ）11有限齐次马尔科夫链的所有非常返状态集不可能是闭集。（ ）12有限马尔科夫链，若有状态k使，则状态k即为正常返的。（ ）13设，若存在正整数n，使得则i非周期。（ ）14有限状态空间马氏链必存在常返状态。（ ）15i是正常返周期的充要条件是不存在。（ ）16平稳分布唯一存在的充要条件是：只有一个基本正常返闭集。（ ）17有限状态空间马氏链不一定存在常返状态。（ ）18i是正常返周期的充要条件是存在。（ ）19若，则有（ ）20不可约马氏链或者全为常返态，或者全为非常返态（ ）答案二、判断题1 2 3 4 56 7 8 910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20三、大题第一章1（10分）（易）设，求的特征函数，并利用其求。2（10分）（中）利用重复抛掷硬币的试验定义一个随机过程，出现正面和反面的概率相等，求的一维分布函数和，的二维分布函数。3（10分）（易）设有随机过程，其中A与B是相互独立的随机变量，均服从标准正态分布，求的一维和二维分布。第二章4（10分）（易）设随机过程X(t)=Vt+b，t(0,+), b为常数，V服从正态分布N(0，1)的随机变量，求X(t)的均值函数和相关函数。5（10分）（易）已知随机过程X(t)的均值函数mx(t)和协方差函数B x(t1, t2)，g(t)为普通函数，令Y(t)= X(t)+ g(t)，求随机过程Y(t)的均值函数和协方差函数。6（10分）（中）设是实正交增量过程，是一服从标准正态分布的随机变量，若对任一都与相互独立，求的协方差函数。7（10分）（中）设，若已知二维随机变量的协方差矩阵为，求的协方差函数。8（10分）（难）设有随机过程和常数，试以的相关函数表示随机过程的相关函数。第三章9（10分）（易）某商店每日8时开始营业，从8时到11时平均顾客到达率线性增加在8时顾客平均到达率为5人/时，11时到达率达到最高峰20人/时，从11时到13时，平均顾客到达率维持不变，为20人/时，从13时到17时，顾客到达率线性下降，到17时顾客到达率为12人/时。假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，问在8：309：30间无顾客到达商店的概率是多少？在这段时间内到达商店的顾客数学期望是多少? 10（15分）（难）设到达某商店的顾客组成强度为的泊松过程，每个顾客购买商品的概率为，且与其它顾客是否购买商品无关，求（0，t）内无人购买商品的概率。11（15分）（难）设X1(t) 和X2 (t) 是分别具有参数和的相互独立的泊松过程，证明：Y(t)是具有参数的泊松过程。12（10分）（中）设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有2户定居即。如果每户的人口数是随机变量，一户四人的概率为1/6，一户三人的概率为1/3，一户两人的概率为1/3，一户一人的概率为1/6，并且每户的人口数是相互独立的，求在五周内移民到该地区人口的数学期望与方差。13（10分）（难）在时间t内向电话总机呼叫k次的概率为，其中为常数如果任意两相邻的时间间隔内的呼叫次数是相互独立的，求在时间2t内呼叫n次的概率14（10分）（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有30人到达，求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔超过2 min15（15分）（中）设进入中国上空流星的个数是一泊松过程，平均每年为10000个每个流星能以陨石落于地面的概率为0.0001，求一个月内落于中国地面陨石数W的EW、varW和PW2 16（10分）（易）通过某十字路口的车流是一泊松过程设1min内没有车辆通过的概率为0.2，求2min内有多于一辆车通过的概率。17（10分）（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有30人到达，求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔短于4 min 18（15分）（中）某刊物邮购部的顾客数是平均速率为6的泊松过程，订阅1年、2年或3年的概率分别为12、l3和16，且相互独立设订一年时，可得1元手续费；订两年时，可得2元手续费；订三年时，可得3元手续费. 以X(t)记在0，t内得到的总手续费，求EX(t)与var X(t) 19（10分）（易）设顾客到达商场的速率为2个min，求 (1) 在5 min内到达顾客数的平均值；(2) 在5min内到达顾客数的方差；(3) 在5min内至少有一个顾客到达的概率 20（10分）（中）设某设备的使用期限为10年，在前5年内平均2.5年需要维修一次，后5年平均2年需维修一次，求在使用期限内只维修过1次的概率 21（15分）（难）设X(t)和Y(t) (t0)是强度分别为和的泊松过程，证明：在X(t)的任意两个相邻事件之间的时间间隔内，Y(t) 恰好有k个事件发生的概率为。第四章22（10分）（中）已知随机游动的转移概率矩阵为求三步转移概率矩阵P(3)及当初始分布为时，经三步转移后处于状态3的概率。23（15分）（难）将2个红球4个白球任意地分别放入甲、乙两个盒子中，每个盒子放3个，现从每个盒子中各任取一球，交换后放回盒中(甲盒内取出的球放入乙盒中，乙盒内取出的球放入甲盒中)，以X(n)表示经过n次交换后甲盒中红球数，则X(n)，n0为齐次马尔可夫链，求（1）一步转移概率矩阵；（2）证明：X(n)，n0是遍历链；（3）求。24（10分）（中）已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下： 求下一、二个月的销售状态分布。25（15分）（难）设马尔可夫链的状态空间I1，2，7，转移概率矩阵为求状态的分类及各常返闭集的平稳分布。26（15分）（难）设河流每天的BOD(生物耗氧量)浓度为齐次马尔可夫链，状态空间I=1，2，3，4是按BOD浓度为极低，低、中、高分别表示的，其一步转移概率矩阵(以一天为单位)为若BOD浓度为高，则称河流处于污染状态。(1)证明该链是遍历链；(2)求该链的平稳分布；(3)河流再次达到污染的平均时间。27（10分）（易）设马尔可夫链的状态空间I0，1，2，3，转移概率矩阵为求状态空间的分解。28（15分）（难）设马尔可夫链的状态空间为I1，2，3，4转移概率矩阵为讨论29（10分）（易）设马尔可夫链的转移概率矩阵为求其平稳分布。30（15分）（难）甲乙两人进行一种比赛，设每局比赛甲胜的概率是p，乙胜的概率是q，和局的概率为r，且p+q+r=1设每局比赛胜者记1分，负者记一1分和局记零分。当有一人获得2分时比赛结束以表示比赛至n局时甲获得的分数，则是齐次马尔可夫链 （1）写出状态空间I；（2）求出二步转移概率矩阵； （3） 求甲已获1分时，再赛两局可以结束比赛的概率 31（10分）（中）(天气预报问题) 设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关又设今天下雨而明天也下雨的概率为，而今天无雨明天有雨的概率为，规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态l。因此问题是两个状态的马尔可夫链设，求今天有雨且第四天仍有雨的概率 32（10分）（中）设是一个马尔可夫链，其状态空间I=a，b，c，转移概率矩阵为求（1）（2）33（15分）（难）设马尔可夫链的状态空间I1，2，6，转移概率矩阵为试分解此马尔可夫链并求出各状态的周期。答案三、大题1 解：引入随机变量 （1分） （3分） （4分） （6分） （8分） （10分）2解：依题意知硬币出现正反面的概率均为1/2（1） 当t=1/2时，X（1/2）的分布列为 其分布函数为 （3分）同理，当t=1时(1)的分布列为 其分布函数为 （5分）（2） 由于在不同时刻投币是相互独立的，故在t=1/2，t=1时的联合分布列为故联合分布函数为（10分）3解：对于任意固定的tT，X(t)是正态随机变量，故 所以X（t）服从正态分布 （3分）其次任意固定的则依n维正态随机向量的性质，服从二维正态分布，且 （8分） 所以二维分布是数学期望向量为（0，0），协方差为的二维正态分布。（10分）4解：，故服从正态分布， 均值函数为 （4分）相关函数为 （10分）5 解： （4分） （10分）6解：因为是实正交增量过程，故 服从标准正态分布，所以（2分） （4分）又因为都与相互独立 （6分） （8分） （10分）7解：利用数学期望的性质可得，（2分） （8分） （10分）8解： （2分） （10分）9 解：根据题意知顾客的到达率为 （3分） （6分） （10分）10解：设表示到达商店的顾客数，表示第i个顾客购物与否，即则由题意知独立同分布且与独立因此，是复合泊松过程，表示（0，t）内购买商品的顾客数，（5分）由题意求 （10分） （15分）11证明： （5分） （10分） 故Y(t)是具有参数的泊松过程 （15分）12. 解：设为在时间0，t内的移民户数，其是强度为2的泊松过程，表示每户的人数，则在0，t内的移民人数是一个复合泊松过程。 （2分）是独立同分布的随机变量，其分布为1234 （4分） （7分） （10分）13解：以A记时间2t内呼叫n次的事件，记第一时间间隔内呼叫为，则，第二时间间隔内成立，于是 （4分） （8分） （10分）14解：由题意，顾客到达数N(t)是强度为的泊松过程，则顾客到达的时间间隔服从参数为的指数分布， （4分） （10分）15解：设是t年进入中国上空的流星数，为参数的齐次泊松过程设 即由题意知，是一个复合泊松过程 （5分） 是参数为的泊松过程 （10分） （15分）16解： 以表示在内通过的车辆数，设是泊松过程，则 （2分） （5分） （10分）17解：由题意，顾客到达数N(t)是强度为的泊松过程，则顾客到达的时间间隔服从参数为的指数分布， （4分） （10分）18解：设Z(t)为在0，t内来到的顾客数，为参数的齐次泊松过程，是每个顾客订阅年限的概率分布，且独立同分布，由题意知，为0，t内得到的总手续费，是一个复合泊松过程 （5分） （8分） （15分）19解：N (t)表示在0，t)内到达的顾客数，显然 N (t), t0是泊松过程，则当t=2时，N（5）服从泊松过程 （5分）故 （10分）20解：因为维修次数与使用时间有关，所以该过程是非齐次泊松过程，强度函数则 （6分） （10分）21证明：设X（t）的两个相邻事件的时间间隔为，依独立性有 （2分） 而X（t）的不同到达时刻的概率密度函数为 （4分） 由于X（t）是泊松过程，故Y（t）恰好有k个事件发生的概率为 （8分）（10分）22 解： （6分） （10分）23 解：由题意知，甲盒中的球共有3种状态，表示甲盒中的红球数甲盒乙盒22红、1白3白11红、2白1红、2白03白2红、1白甲乙互换一球后甲盒仍有3个白球|甲盒有3个白球=P从乙盒放入甲盒的一球是白球=1/3甲乙互换一球后甲盒有2个白球1个红球|甲盒有3个白球=P从乙盒放入甲盒的一球是红球=2/3甲乙互换一球后甲盒有1个白球2个红球|甲盒有3个白球=0以此类推，一步转移概率矩阵为 （8分）（2）因为各状态互通，所以为不可约有限马氏链，且状态0无周期，故马氏链为遍历链。（10分）（3）解方程组 即（13分）解得 （15分）24解： （5分） （10分）25解：是非常返集，是正常返闭集。 （5分）常返闭集上的转移矩阵为解方程组，其中，解得上的平稳分布为 （10分）同理解得上的平稳分布为 （15分）26. 解：（1）因为，故马氏链不可约，又因为状态1非周期，故马氏链是遍历链 （5分）（2）解方程组 其中解得（10分）（3） （15分）27解：状态传递图如下