向量法-求二面角的大小.ppt

空间向量法-求二面角的大小 空间向量法-求二面角的大小 “空间向量法”-求二面角的大小，这个方法 在这几年高考解题中经常被不少考生运用 运用“空间向量法”-求“二面角的大小”的解题基本步骤： 空间向量法-求二面角的大小 建立空间直角坐标系； 求出所需各点的坐标； 求出两个平面的法向量； 求出两个法向量的夹角； 写出所求二面角的大小。 空间向量法-求二面角的大小 建立空间直角坐标系； 求出所需各点的坐标； 求出两个平面的法向量； 求出两个法向量的夹角； 写出所求二面角的大小。 运用“空间向量法”-求“二面角的大小”的解题步骤： 空间向量法-求二面角的大小 建系； 求坐标； 求法向量； 求夹角； 得结论。 运用“空间向量法”-求“二面角的大小”的解题步骤： 设 a =(x,y,z)，则 x2+y2+z2|a|= 设 A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2 ), 则 = AB(x2-x1,y2-y1,z2-z1 ) 设 a =(a1, a2, a3)，b =(b1, b2, b3)， a1b1+a2b2+a3b3 a b a b =0 空间向量法的直角坐标运算的常用公式: 则 a b = (1) (2) (3) (4) (5) n1 n2 |n1|n2| cos= 【例1】如图，在五面体ABCDEF中, FA平面ABCD , ADBCFE , ABAD，AF=AB=BC=FE= AD. (1)求二面角A-CD-E的余弦值. B D C F E 2 1 A 【例1】如图，在五面体ABCDEF中, FA平面ABCD , ADBCFE , ABAD，AF=AB=BC=FE= AD. (1)求二面角A-CD-E的余弦值. A B D C F E 2 1 【例1】如图，在五面体ABCDEF中, FA平面ABCD , ADBCFE , ABAD，AF=AB=BC=FE= AD. (1)求二面角A-CD-E的余弦值. A 1 1 1 1 2 B D C F E 2 1 K A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1). 解：以点A为原点, 建立如图的空间直角坐标系, 设AD=2, 则 B A D C z y x F E 设 平面ACD的一个法向量为n1 =(x1,y1,z1), 平面CDE的一个法向量为n2 =(x2,y2,z2), 另外 AF =(0,0,1),(0,-1,1)CE =DE =(- 1,0, 1) 由 ,得 n2 CE = 0 n2 DE = 0 又 AF平面ABCD AF是平面ACD的一个法向量 , n1 =(0,0,1). -x2+z2 = 0 -y2+z2= 0 得 x2=z2 y2=z2 令z2= 1, 则 n2 =(1,1,1), 1 1 1 1 1 【例1】如图，在五面体ABCDEF中, FA平面ABCD , ADBCFE , ABAD，AF=AB=BC=FE= AD. (1)求二面角A-CD-E的余弦值. 2 1 n1 n2 |n1|n2| cos= 1 3 1 = 3 3 = 由条件知,二面角A-CD-E为锐角， 所求二面角的余弦值为 3 3 2 11 【练习1】 如下图, 在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中, ABC=90O , SA面ABCD，SA=AB=BC=1, AD= . (1) 求面SCD与面SBA所成二面角的正切值 . 2 1 A B C D S A B C D S 1 1 1 2 1 【练习1】 如下图, 在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中, ABC=90O , SA面ABCD，SA=AB=BC=1, AD= . (1) 求面SCD与面SBA所成二面角的正切值 . 2 1 【练习1】 如下图, 在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中, ABC=90O , SA面ABCD，SA=AB=BC=1, AD= . (1) 求面SCD与面SBA所成二面角的正切值 . 2 1 A B C D S 1 1 1 2 1 z x y A B C D S 1 1 1 2 1 z x y (1) 解:以点A为原点,建立如图的空间直角坐标系 A-xyz, 得: A(0,0,0), B(0,1,0),C(1,1,0), S(0,0,1), 设 平面SCD的一个法向量为n1 =(x1,y1,z1), 由 ,得 n1 SC = 0 n1 SD = 0 另外 SC =(1,1, -1) , SD =( ,0,-1), 2 1 得 y1=-z1 x1=2z1 令z1= 1, 则 n1 =(2,-1,1), x1+y1- z1=0 x1-z1 = 0 2 1 平面SBA的一个法向量为n2 =(x2,y2,z2), 又 BC平面SBA BC是平面SBA的一个法向量 . BC =(1,0, 0) , n2 =(1,0,0), D( ,0,0) 2 1 【练习1】 如下图, 在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中, ABC=90O , SA面ABCD，SA=AB=BC=1, AD= . (1) 求面SCD与面SBA所成二面角的正切值 . 2 1 n1 n2 |n1|n2| cos= 6 2 = 1 = 3 6 得 tanq = 2 2 所求面SCD与面SBA所成二面角的正切值是 2 2 设 所求面SCD与面SBA所成二面角的大小为q, 由图形知q是锐角, cosq = 3 6 【练习2】 已知点E、F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、 CC1上的点, 且 BE1=2EB, CF=2FC1 . (1) 求面AEF与面ABC所成二面角的正切值 . 【练习3】 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面是边长为2的菱形, ABC=60O , PA底面ABCD,PA=2, M,N分别为PC,BC的中点 . (2) 求二面角C-AM-N的大小 . (1) 证明: AN平面PAD . B D C P M A N 【练习3】 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面是边长为2的菱形, ABC=60O , PA底面ABCD,PA=2, M,N分别为PC,BC的中点 . (2) 求二面角C-AM-N的大小 . (1) 证明: AN平面PAD . A B D C P M (1) 证明: PA底面ABCD, N为BC的中点. PAAN 又 菱形ABCD, ABC=60O . ANAD AN平面PAD 又 PAAD=A , N 【练习3】 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面是边长为2的菱形, ABC=60O , PA底面ABCD,PA=2, M,N分别为PC,BC的中点 . (2) 求二面角C-AM-N的大小 . (1) 证明: AN平面PAD . A B D C P M (2) 分析: N 【练习3】 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面是边长为2的菱形, ABC=60O , PA底面ABCD,PA=2, M,N分别为PC,BC的中点 . (2) 求二面角C-AM-N的大小 . (1) 证明: AN平面PAD . A B D C P M (2) 分析: N 【练习3】 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面是边长为2的菱形, ABC=60O , PA底面ABCD,PA=2, M,N分别为PC,BC的中点 . (2) 求二面角C-AM-N的大小 . (1) 证明: AN平面PAD . A B D C P M (2) 分析: N? 平面AMC或 C? 平面AMN N? 平面APC或 C? 平面AMN 或 平面C? 平面AMN平面N?平面APC N F 【练习3】 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面是边长为2的菱形, ABC=60O , PA底面ABCD,PA=2, M,N分别为PC,BC的中点 . (2) 求二面角C-AM-N的大小 . (1) 证明: AN平面PAD . A B D C P M (2) 分析: N? 平面AMC 则 NE平面APC E 或 C? 平面AMN N? 平面APC或 C? 平面AMN 平面NAC平面APC 或 平面C? 平面AMN 平面NAC 平面APC = AC 作 NEAC于E , 则 NFAM 作 EFAM于F , NFE是二面角C-AM-N的一个平面角 N (2) 求二面角C-AM-N的大小 . (1) 证明: AN平面PAD . F A B D C P M E (2) 解: PA底面ABCD, N为BC的中点. PA底面ANC 又 M为PC的中点, PA平面AMC 底面ANC平面AMC 又 底面ANC平面AMC = AC 则 NE平面APC作 NEAC于E , 则 NFAM 作 EFAM于F , NFE是二面角C-AM-N的一个平面角. 【练习3】 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面是边长为2的菱形, ABC=60O , PA底面ABCD,PA=2, M,N分别为PC,BC的中点 . N (2) 求二面角C-AM-N的大小 . (1) 证明: AN平面PAD . F A B D C P M E (2) 解: NFE是二面角C-AM-N的一个平面角. 菱形ABCD的边长为2, ABC=60O , PA=2 ,M,N分别为PC,BC的中点. 在NFE中, 可得: tanNFE= AM AQ NE= 3 2 3 4 2 , EF= = 3 2 3 4 2 = 6 3 二面角C-AM-N的大小是 arctan 6 3 【练习3】 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面是边长为2的菱形, ABC=60O , PA底面ABCD,PA=2, M,N分别为PC,BC的中点 . N (2) 求二面角C-AM-N的大小 . (1) 证明: AN平面PAD . A B D C P M (2) 分析: 【练习3】 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面是边长为2的菱形, ABC=60O , PA底面ABCD,PA=2, M,N分别为PC,BC的中点 . 如何 运用”空间向量法”, 求二面角C-AM-N的大小? N (2) 求二面角C-AM-N的大小 . (1) 证明: AN平面PAD . A B D C P M N (2) 解: 【练习3】 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面是边长为2的菱形, ABC=60O , PA底面ABCD,PA=2, M,N分别为PC,BC的中点 . 以点A为原点,建立如图的空间直角坐标系 A-xyz , 空