高数D11函数极限连续.ppt

二、典型例题分析与解答 第一章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数极限连续 (31) 一、知识点与考点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、知识点与考点 (一)函数 (1).函数概念的两个要素:定义域 D 与对应法则 f . (2).求函数的定义域 D. 1.函数概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.基本初等函数 幂函数: 指数函数: 对数函数: 三角函数: 反三角函数: 由基本初等函数和常数经过有限次的四 则运算及有限次的函数复合步骤构成的用一个解析 式表示的函数称为初等函数. 3.初等函数: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.数列极限 2.数列极限的性质及判别法 (1)收敛数列极限的性质 若收敛, 则其极限唯一. 若收敛,则有界,但其逆不真. (二)极限 (2)数列收敛的判别法 单调有界准则:单调有界数列 夹逼准则:若 当 时,有 则 必收敛. 4.函数极限. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 5.单侧极限. (1)左极限: (2)右极限: 6.函数极限的运算法则 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有: 7.函数极限的性质: 定理1.(函数极限存在的充分必要条件) 定理4. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (函数极限的保号性) 定理3. 若 则当 时, 定理2. (函数极限保号性定理的逆定理) 若且当时, 则 定理5 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (函数极限的夹逼准则) 设在内恒有 且则存在, 且 8.无穷小与无穷大 无穷小:以0为极限的变量称为无穷小量. (1)概念: 若函数 f (x)的无穷大:在自变量的某一变化过程中, 的绝对值无限增大, 则称函数 f (x) 为无穷大量. (2)无穷小与无穷大的关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理7. 在自变量的同一变化过程中, 无穷大的倒数 为无穷小, 非零无穷小的倒数为无穷大. (3)无穷小的运算性质 有限个无穷小的代数和仍为无穷小. 有限个无穷小的乘积仍为无穷小. 有界变量与无穷小的乘积仍为无穷小. (4)无穷小的比较(无穷小的阶) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 则称 (x)是比 (x)高阶的无穷小量.若 记为 (x)=o( (x). 若则称 (x)是比 (x)低阶的无穷小量. 若 则称 (x)是与 (x)同阶的无穷小量. 若 则称 (x)是与 (x)等价的无穷小量. 记为 (x) (x). 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 则称 (x)为 (x)的k阶 无穷小量. (5)常用的等价无穷小量x0时, 9.求未定式极限的洛必达法则 设函数 f (x) , g (x)满足条件: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有 只有 内可导, 存在,(或为); 注释:改变条件可得x时,型未定式的洛必达 法则, 以及型的未定式的洛必达法则.时 型的未定式才可用洛必达法则, 每用一次洛必达法则都应将式子化简. 只要是 型的未定式洛必达法则就可用一直用下去. 为简化运算 经常将洛必达法则与等价无穷小代换 结合使用. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 10.等价无穷小的代换定理 设则有 11.求极限的重要公式 (1)两个重要极限 (2)“抓大头”公式 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 (3)趋近 快慢 x+时,函数趋于+的速度 (4)常用极限 不存在. 不存在. 不存在. 不存在. 的快慢比较.+ 相应地函数有增量 (三) 连续 1.函数连续性的定义 设函数 f (x)在内有定义,处给 x 以 如果 定义1. 则称函数 f (x) 在 刘徽 目录 上页 下页 返回 结束 增量x , 处连续. 定义2. 若函数 f (x)同时满足条件: f (x)在的某邻域内有定义; 存在; 则称函数 f (x) 在处连续. 注释:判断分段函数在分界点处的连续性用定义2方便 . 定义3 若函数 f (x) 在(a , b)每一点都连续, 在左端点a 处右连续, 则称函数f (x) 在a , b上连续. (即 定义4 则称函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 f (x) 在(a , b)内连续. 若函数 f (x) 在(a ,b)内连续, 在右端点b处左连续 , (即 2.连续函数的运算 连续的函数的和、差、积、商(分母不为零) 仍为连续函数. 定理1: 定理2.连续函数的复合函数仍为连续函数. 若 一切初等函数在其定义区间内均为连续函数.定理4. 定理 3. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一切基本初等函数在其定义域内均为连续函数 . 是初等函数 f (x)定义区间内的一点,则有: 3.函数的间断点 定义5 处出现下列三种情形之一: (1) f (x)在处无定义; (2) 不存在; (3)则称为 f (x)的间断点. 若 f (x) 在 4.间断点的类型 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1)第一类间断点 : 若则称为可去间断点. 若 均存在的间断点. 则称为跳跃间断点. (2)第二类间断点: 第一类间断点以外的其它间断点. 若 之中有一个为 , 则称 为无穷间断点. 5.闭区间上连续函数的性质 性质1(最值定理) 设函数 f (x) 在a , b 上连续,则 f (x) 在a , b上必取得 其最大值 M 和最小值 m . 性质2.(有界定理) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 是介于 M 和 m 之间的 设函数 f (x) 在a , b 上连续,则 f (x) 在a , b上有界. 性质3 (介值定理) 设函数 f (x) 在a , b 上连续, 任一实数, 则在(a , b)内至少存在一点 , 使 f ( ) = . 零点定理(根的存在性定理) 且f (a) f (b)0,设函数 f (x) 在a , b 上连续,则在(a , b) 使 f ( ) = 0 . (a b ) 推论: 内至少存在一点 , 二、典型例题分析与解答: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1 解 注释 本题考查函数的定义域. 的定义区间为 . 应满足 当时,即此时, 当时,即 此时, 无解. 应填 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 且 求 解: 由 又 则 及其定义域. 设 定域为: x (,0. 注释: 本题考查函数的复合及复合函数的定义域. 例3. 当 x1时,函数的极限( ). (B) 等于0;(A) 等于2;(C)为;(D) 不存在但不为. 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以当 x1时,函数的极限不存在但不为. 故应选(D). D 用直接法解此题. 由于 而 注释:本题考查函数在一点处极限存在的充分必要条件. 例4. 解: 分子分母同除以 x 原式= 机动 目录 上页 下页 返回 结束 应填 注释:本题考查函数极限的求法.解题的关键点在于分 子分母同除以 x , 若用洛必达法则解本题, 并运用了重要极限和等价无穷小的 概念.将会得出极限不存在的 错误结论. 填空题 原式 例5. 求极限 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注释: 本题考查求型极限的方法. 解题中利用了变 量代换和等价无穷小代换. 原式 已知当x0时,为等价无穷小, 则常数a=_. 解: 所以 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由于x0时, 注释:本题考查无穷小的比较. 常用等价无穷小要熟记 : 例6. x0时, 例7. 设a是非零常数, 则 解法1解: 应填 当a = 0 时, 则对一切a 有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注释: 又 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法2 本题考查重要极限 解法1与解法2是处理型极限时常用的两种方法, 当然洛必达法则也是一种常用方法.解法1本质上就 是将所求极限凑成重要极限的形式再 求极限. 且 则结论可直接使用. . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法2是利用以下结论:若 例8. 求 解: 由于 原式 所以 事实上, 例9. 求极限 解: 由于 机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以 例 10. 设函数 解:由于 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其余点都连续. 则 有（ ）. (A) 1个可去间断点,1个跳跃间断点; 在x = 1和 x = 0 处无定义, A (B) 1个可去间断点,1个无穷间断点; (C) 2个可去间断点;(D) 2个无穷间断点. 所以x = 1和 x = 0 为间断点, 从而 注释: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 x = 1 为 f (x) 的跳跃间断点. 则 x =1 为 f (x) 的可去间断点. 本题考查求函数的间断点以及间断点类型的判断. 而 例11. 设 解: 在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续, 则a = _. 要使 f (x) 在连续, 只