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第十三讲 多元函数偏导数与全微分 多元函数极限与连续性 偏导数与全微分 抽象符合函数的偏导数与全微分 高阶偏导数，求偏导次序无关性 （1）邻域 一、多元函数的概念 （2）区域 例如， 即为开集 （5）二元函数的定义 类似地可定义三元及三元以上函数 例1 求 的定义域 解 所求定义域为 （6） 二元函数 的图形 （如下页图） 二元函数的图形通常是一张曲面. 二、多元函数的极限 说明： （1）定义中 的方式是任意的； （2）二元函数的极限也叫二重极限 （3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似 例2 求证 证 当 时， 原结论成立 例3 求极限 解 其中 例4 证明 不存在 证取 其值随k的不同而变化， 故极限不存在 确定极限不存在的方法： 三、多元函数的连续性 定义3 例5 讨论函数 在(0,0)的连续性 解取 其值随k的不同而变化， 极限不存在 故函数在(0,0)处不连续 例 解 多元函数极限的概念 多元函数连续的概念 （注意趋近方式的任意性） 四、小结 多元函数的定义 2、偏导数的定义及其计算法 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如 在 处 习惯上，记全微分为 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个 偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加叠加 原理原理 叠加原理也适用于二元以上函数的情况 多元函数连续、可导、可微的关系 函数可微 函数连续 偏导数连续 函数可导 解 证 原结论成立 有关偏导数的几点说明： 、 、 求分界点、不连续点处的偏导数要用 定义求； 解 、偏导数存在与连续的关系 但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续. 一元函数中在某点可导 连续， 多元函数中在某点偏导数存在 连续， 纯偏导 混合偏导 定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶 偏导数. 4、高阶偏导数 解 解 问题 ： 混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才 相等？ 解 偏导数的定义 偏导数的计算、偏导数的几何意义 高阶偏导数 （偏增量比的极限） 纯偏导 混合偏导（相等的条件） 三、小结 思考题 思考题解答 不能. 例如, 3、复合函数链式法则 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如 以上公式中的导数 称为全导数全导数. . 上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况： 链式法则如图示 解 解 1、链式法则（分三种情况
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