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专题2 高等数学知识点解读 第六章 多元函数积分学-2 上的连续连续 函 是定义义在 设设某物体的密度函数 数当 是直线段时, 应用定积分就能计算得该物体 的质量. 现在研究当 是平面或空间中某一可求长度的曲线 段时物体的质量的计算问题. (2) 近似求和：在每一个 上任取一点 由于 (1) 分割：把 分成 个可求长长度的小曲线线段 第四节 曲线积分 一 第一类曲线积分 1.第一类曲线积分的定义 上的连续连续 函数, 故当 的弧长长都很小时时, 每一小段 的质质量可近似地等于 其中 为小曲线段 的长度. 于是在整个 上的质量就近似地等于和式 (3) 当对对的分割越来越细细密(即 ) 时, 上述和式的极限就应是该物体的质量. 由上面看到, 求物质曲线段的质量, 与求直线段的质 量一样, 也是通过“分割、近似求和、取极限”来得 到的. 下面给出这类积分的定义. 个可求长长度的小曲线线段 的弧长 ,它把 定义义在 上的函数. 对对曲线线 做分割 分成 记为记为 分割 的细细度为为 在 上任取 一点 若有极限 为为平面上可求长长度的曲线线段, 定义义1 设设 为 且 的值值与分割 的取法无关, 则则称此 极限为上的第一类曲线积分, 记作 为为空间间可求长长曲线线段 , 若 为为定义义在 上 的函数, 则则可类类似地定义义 在空间间曲线线 上 的第一类曲线积分, 并且记作 于是前面讲讲到的质质量分布在曲线线段 上的物体的质质 量可由第一类曲线积分 (1) 或 (2) 求得. 1. 若 在 为为 常数, 则也存在, 且 2. 若曲线线段 由曲线线 首尾相接而成, 都存在, 则 也存在, 且 3 都存在, 且在 则 4也存在, 且 5存在, 的弧长为长为则则存在常数 使得 6. 第一类曲线积分的几何意义 为为L若 为为坐标标平面 上的分段光滑曲线线, 上定义的连续非负函数. 由第一类曲线的定义, 易见 以 为为准线线, 母线线平行于 轴轴的柱面上截取 的部分的面积积就是 定理1 设有光滑曲线 为定义在 上的连续函数, 则 证 由弧长公式知道, 上由 的弧长 的连续性与积分中值定理, 有 2 第一类曲线积分的计算 所以 这里 则有 令 现在证明 因为为复合函数 连续连续 , 所以在闭闭区 间间 上有界, 即存在常数 使对对一切 都有 再由 上连续连续 , 所以它在 上一致连续, 即对任给的 使当 时, 从而 所以 因此当在(4)式两边取极限后, 即得所要证的(3)式. 上有连续的导函数时, (3)式成为 再由定积分定义 当曲线 由方程 表示, 且 在 上有连续导函数时, (3)式成为 例1 设 是半圆周 试计算第一型曲线积分 解 当曲线 L由方程表示, 且 在 例2 一段(图图20-2), 试计试计 算第一型曲线积线积 分 解 由参 仿照定理1, 对对于空间间曲线积线积 分(2), 当曲线线 量方程 表示时时, 其计算公式为: 例3 计计算 其中 为为球面 被平面 所截得的圆周. 解 由对称性知 所以 *例4 计算 其中 为内摆线 解 由对称性知 其中 *例5 求圆柱面 被圆柱面 所 而内摆线的参数方程为 因此 包围部分的面积 A. 解 图中直影线部分为被围柱面在第一卦限的部分, 它的面积为 把 平面上的 位于第一象限的四分之一圆周记为, 则被围柱面 在第一卦限部分正是以曲线 L 为准线母线平行于 z 积分的几何意义可知它的面积为 的那部分柱面. 由第一型曲面 轴的 L 的参数方程为: 因此, 定义义, 线线密度为为 的 曲线状物体对于 x , y 轴的转动惯量分别为 注 由第一类曲线积分的 例6 求线密度为 的曲线段 对于 y 轴的转动惯量. 解 和 在物理中还遇到过另一 种类型的曲线积分问题. 例如一质点受力 的作用沿平面曲线 从 点 A 移动到点 B, 求力 所作的功,见图 20-2. 二、 第二类曲线积分 1 第二类曲线积分的定义 为为此在曲线线AB 内插入 个分点 一起把有向曲线线 AB 分成 n 个有向小曲线线段Mi-1Mi (i=1,2, ,n), 若记记小曲线线 设力 在轴方向的投影分别为 那么 的弧长为 则分割 的细度为段Mi-1Mi 又设设小曲线线段Mi-1Mi 在 轴轴上的投影分别为别为 分别为点 的坐标. 记 于是力 在小曲线段Mi-1Mi 上所作的功 其中 为为小曲线线段 上任一点. 因而力 沿曲线 所作的功近似地等于 其中 当细细度 时时, 上式右边边和式的极限就应该应该 是 所求的功. 这种类型的和式极限就是下面所要讨论 的第二型曲线积分. 定义义1 设设函数 定义义在平面有向可 求长长度曲线线 L:AB 上. 对对 的任一分割 它把 分 成n个小曲线段 Mi-1Mi (i=1,2, ,n), 其中 记记个小曲线线段 的弧长长 为为 分割 的细度 又设设 的分点 在每个小曲线段 上任取一点 若极限 存在且与分割 T 与点 的取法无关, 则则称此极 限为为函数 沿有向曲线线 L 上的第二型 的坐标为 并记 曲线积分, 记为 或 上述积分(1)也可写作 或 为书写简洁起见, (1)式常简写成 或 式可写成向量形式 若L为封闭的有向曲线, 则记为 若记记 则则(1) 或 于是, 力沿有向曲线线 对质点所作的功为 若L为为空间间有向可求长长曲线线, 为为定义义在L上的函数, 则则可按上述办办法类类 似地定义沿空间有向曲线L上的第二类曲线积分, 并记为 或简写成 当把 看作三维向量时, (4)式也可表示成(3)式的向量形式. 第二型曲线积分与曲线 L 的方向有关. 对同一曲线, 当方向由 A 到 B 改为由 B 到 A 时, 每一小曲线段的 方向改变变, 从而所得的 也随之改变变符号, 故 有 而第一型曲线积线积 分的被积积表达式只是函数 与 弧长的乘积, 它与曲线L的方向无关. 这是两种类型 曲线积分的一个重要区别. 类似与第一型曲线积分, 第二型曲线积分也有如下 一些主要性质: 1 也存在, 且 2. 若有向曲线线 由有向曲线线 首尾衔衔接而 成,都存在, 则 也存在, 且 第二类曲线积分也可化为定积分来计算. 设平面曲线 其中 上具有一阶连续导阶连续导 函数, 且 点 的坐标标分别为别为 又设设 上的连续连续 函数, 则则沿 L 2第二类曲线积分的计算 的第二类曲线积分 可分别证明 由此便可得公式(6). 对于沿封闭曲线L的第二类曲线积分(2)的计算, 可 在 L 上任意选取一点作为起点, 沿L所指定的方向前 进, 最后回到这一点. 例1 计算 其中 L 分别沿图 20-3中的路线: (i) 直线段 (ii) (iii)(三角形周界). 解 (i)直线 的参数方程为 故由公式(6)可得 (ii)曲线线 为为抛物线线 (iii)这里L是一条封闭曲线, 故可从 A开始, 应用上段 加即可得到所求之曲线积分. 由于沿直线的线积分为 所以 的性质2, 分别求沿 上的线积分然后相 沿直线 的线积分为 所以 沿直线 的线积分可由(i)及公式(5)得到: 例2 计算 这里 L 为: (i) 沿抛物线线 的一段(图图20-4); (ii) 沿直线线 (iii) 沿封闭曲线 解 (i) (ii) (iii)在OA一段上, 一段上, 一段上与(ii)一样样是 的一段. 所以 (见(ii) 沿空间有向曲线的第二类曲线积分的计算公式也与 (6) 式相仿. 设空间有向光滑曲线 L 的参量方程为 因此 起点为 终点为 则 这里要注意曲线方向与积分上下限的确定应该一致. L是螺旋线线: 例3 计算第二类曲线积分 上的一段(参见图 205). 解 由公式 (7), 例4 求在力作用下, (i)质质点由 沿螺旋线线所作的功(图图20-5), 其中 (ii)质点由A沿直线所作的功. 解 如本节开头所述, 在空间曲线 L上力F所作的功 为 (i) 由于 (ii) 的参量方程 由于所以 例5 设设L为为球面和平面 的交线, 若面对 x 轴正向看去, L是沿逆时针方向的, 求 (i) (ii) (i) 由对称性， 解 L的参数方程为 因此， (ii) 由对称性， *例6 设设G是 R2 中的有界闭闭域， 是 上的连续连续 可微函数, 是在G上的连续函数. 则对任意, 存在 对于任意分割 只要 必有 其中 为端点 的折线. 证 由的有界性,存在使得 令 由P,Q在 G 的一致连续性, 存在 使得 就有 由在上的一致连续性,存在 使得 就有 . 任意分割 ,满足 令 设 为连接与 的线段,其斜率为 设 的方程为则 于是 设设在 到的那段曲线为线为 则则 因此 注 例6 告诉我们曲线上的积分可用折线上的积分来 逼近. 在规定了曲线方向之后, 可以建立它们之间的联系. 的有向光滑曲线, 它以弧长s为参数, 虽然第一类曲线积分与第二类曲线积分来自不同的 物理原型, 且有着不同的特性, 但在一定条件下, 如 于是 其中l为为曲线线L的全长长, 且点 的坐标标分别为别为 三. 两类曲线积分的联系 曲线线L上每一点的切线线方 向指向弧长长增加的一方. 现现以分别别表示 切线线方向 轴轴正向的夹夹角, 则则在曲线线上的 每一点的切线方