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第四讲 齐次线性方程组解的结构 一、齐次线性方程组解的性质 二、齐次线性方程组基础解系及其求法 第四章 向量组的线性相关性 1 一、齐次线性方程组解的性质 1.回忆：线性方程组解的理论 若 , 则方程组有无穷解 . 若 ,则方程组有唯一解, 其中， 充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)n. 元齐次线性方程组 Amn x=0 有非零解的 (2)n 充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)=n. 元齐次线性方程组 Amn x=0 只有零解的n 2 2.解向量的概念 设有齐次线性方程组 若记 （1） 3 则上述方程组可写成向量方程 若为方程 的解， 则 称为方程组（1）的解向量，它也就是向量方程（2） 的解 (2) 4 3齐次线性方程组解的性质 （1）若 为 的解，则 也是 的解. 证明 5 证明： 证毕. 分析：方程组(2)的全体解向量所组成的集合记为S， 如果能求得解集S的一个最大无关组 则方程（2）的任意解都可由 都是方程（2）的解。 因此上式就是方程（2）的通解。 最大无关组 线性表示； 的性质，最大无关组 的任何线性组合 （2）若 为 的解， 为实数，则 也是 的解 反过来，由解向量 6 基础解系的定义 二、基础解系及其求法 如果解系 ， 的解； 线性表出。 的基础称为齐次线性方程组（2） 的一组线性无关是方程（2）（1） 的任一解都可由 （2）方程（2） 也即：是方程（2）解集的最大无关组 7 结论： 0=Ax为齐次线性方程组如果 的通解可表示为那么的一组基础解系0,=Ax ., 21 是任意常数其中 r kkk L 8 2.基础解系的求法 求解 n元齐次线性方程组 Amn x=0的基础解系 及通解的步骤（设R(A)= rn）： 1. 用初等行变换把 A 化成行最简形矩阵B； 3. 令 n - r 个自由未知量分别取如下n-r组值： 2. 写出 A的行最简形矩阵B所对应的方程组 Bx=0； 1，0，0； 0，1，0； 0，0，1. 9 的基础解系. 所得到的n r个向量记为 就是方程组 ., 21 是任意常数其中 n-r ccc L 4. 写出通解: 10 例1 的基础解系与通解. 解 对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简形 矩阵，有 求齐次线性方程组 11 12 13 并由此得到通解 14 小结: 1
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