高中数学圆锥曲线专题复习椭圆.docVIP

学 而 思 则 优 习惯成就未来 细节决定成败！ 高中数学 高中数学圆锥曲线专题复习（1）-椭圆一、知识要点回顾1. 椭圆的定义1. 第一定义：满足 的动点的轨迹是以为焦点，长轴长为 的椭圆2. 第二定义：到一个定点与到一定直线的距离之比等于小于1的正数的点的轨迹叫椭圆其中是椭圆的一个焦点，是相应于的准线，定义式： 2. 椭圆的标准方程 （1）焦点在轴上：焦点，且满足：（2） 焦点在轴上： 焦点，且满足： （3）统一形式： 【注】为椭圆的定型条件，对三个值中知道任意两个，可求第三个，其中3. 椭圆的参数方程焦点在轴上，中心在原点的椭圆的参数方程为： （为参数）（其中为椭圆的长轴长，为椭圆的短轴长）4 椭圆的简单几何性质以椭圆为例说明（1）范围：，（2）对称性：椭圆的对称轴:轴，轴；对称中心：原点（3）顶点：长轴顶点：，短轴顶点：，（4）离心率： 。 【注】；越大，椭圆越扁；（5）准线：椭圆有左，右两条准线关于轴对称。左准线： 右准线： （6）焦半径：椭圆上任一点到焦点的距离。左、右焦半径分别为 ， 焦半径范围： a-cPFa+c5 点与椭圆的位置关系已知椭圆，点，则：6 关于焦点三角形与焦点弦（1） 椭圆上一点与两个焦点所构成的称为焦点三角形。P设，则有： AB ，当（即为短轴顶点）时，最大，此时 的面积 （2） 经过焦点或的椭圆的弦，称为焦点弦。设， 的中点为，则弦长 （左焦点取“+”，右焦点取“-”） 当轴时，最短，且7、 关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法1 联立方程法：联立直线和椭圆方程，消去，得到关于的一元二次方程设交点坐标为，则有，以及，还可进一步求出。在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法2 点差法：设交点坐标为代入椭圆方程，并将两式相减，可得，在涉及斜率、中点、范围等问题时，常用此法二、考试热点分析考点1：考定义例1（1）如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点则_(2) 已 知P是椭圆上的一个动点，分别是左右.焦点，则的最小值为 （3）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点若，则（ ） （A）1 （B） （C） （D）2练习一：(1)“”是“方程”表示焦点在y轴上的椭圆”的 （ ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (2)椭圆内有一点P（1，-1）F是椭圆的右焦点，又椭圆上有一点M使MP+2MF的值最小，则M点的坐标为 （3）短轴长为，离心率的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则ABF2的周长为（ ）A.3 B.6 C.12 D.24（4）已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（ ） A 5 B 7 C 13 D 15 考点2：考标准方程或准线方程例2根据下列条件，写出椭圆方程 中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8； 和椭圆9x2+4y2=36有相同的焦点，且经过点(2，3)； 中心在原点，焦点在x轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的距离是(4)若椭圆的焦点在轴上，过点（1，）作圆的切线，切点分别为A,B，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 （5）（2013山东）椭圆的左、右焦点分别是,离心率为,过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.()求椭圆的方程; 练习二: (1)如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是_.(2)（2013新课标1（理）已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为（）A B CD (3)椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是则这个椭圆的方程为 (4) 从椭圆,(ab0)上一点M向x轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点F1，A、B分别是椭圆长、短轴的端点，ABOM设Q是椭圆上任意一点，当QF2AB时，延长QF2与椭圆交于另一点P，若F2PQ的面积为20，求此时椭圆的方程*高考真题1.【2012四川】椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积_。2.【2012高考真题全国卷理3】 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为（ ）A +=1 B +=1 C +=1 D +=13.【2012高考江苏19】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率求椭圆的方程；4.【2013上海】本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分9分)已知椭圆的两个焦点分别为、,短轴的两个端点分别为 (1)若为等边三角形,求椭圆的方程 ( 椭圆的方程为 )考点3：考几何性质例3.（1） 在中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 (2)（成都2012届二诊）已知A,B为椭圆的左、右顶点，C点的坐标为（0，b),直线与,则椭圆的离心率为( ) (A) (B) (C) (D)练习三（1）已知m,n,m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆的离心率为 (2)已知M是椭圆上一点，、为它的左、右焦点且有,则椭圆的离心率的范围是 （3）（2010四川理数）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是w_m( )（A） （B） （C） （D）(4)（2013福建（理）椭圆的左.右焦点分别为,焦距为2c,若直线与椭圆的一个交点M满足,则该椭圆的离心率等于_【答案】 考点4：中点弦问题例4:(1).已知椭圆x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为( )A.3 B.2 C. D.(2) 已知(4,2)是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则L的方程是_.高考真题1. 【2012高考真题江西理13】椭圆 的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2。若，成等比数列，则此椭圆的离心率为_.2.【2012高考江苏8】在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为 3.（2013四川卷（理）已知椭圆:的两个焦点分别为,且椭圆经过点.()求椭圆的离心率;考点5：考直线与椭圆位置关系例5:（1）若直线和O相离,则过点的直线与椭圆的交点个数为( )A. 至多一个 B. 2个 C. 1个 D. 0个（2）椭圆上的点到直线2xy7距离最近的点的坐标为（ ）A（，） B（，） C（，） D（，）（3）如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD，设内层椭圆方程为 ，若直线AC与BD的斜率之积为 ，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 练习五（1）设集合A(x，y)| ，B(x，y)|y3x，则AB的子集的个数是()A4 B3C2 D1（2）已知对kR，直线ykx10与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）（3）过椭圆的左焦点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于四点，则四边形面积的最小值为（ ） （A） (B) (C) (D) (4) .已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是 ( ). A. B. C. D. (5)设椭圆的左焦点为，上顶点为，过点作的垂线分别交椭圆于，交轴于，且 （1）求椭圆的离心率。（2）若过三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程。练习四:已知椭圆的中心在原点，短轴长为，右准线交轴于点，右焦点为，且，过点的直线交椭圆于两点（1）求椭圆的方程（2）若，求直线的方程（3）若点关于轴的对称点为，证明：直线过定点（4）求的最大面积课后巩固1. 如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为( ) A B C D 2. 设F1、F2为椭圆+y2=1的两焦点，P在椭圆上，当F1PF2面积为1时，的值为( ) A、0B、1C、2D、33.椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是 ( ) A B C D4. 在中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 5. 已知为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若, 则此椭圆的离心率为 _6.在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= 7、已知椭圆与过点A(2，0)，B(0，1)的直线l有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率求椭圆方程8.已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点P）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。（1）求椭圆的标准方程；（2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于ABC，求的值。 9. 已知长方形ABCD, AB=2,BC=1.以AB的中点为原点建立如图8所示的平面直角坐标系.(1)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程; (2)过点P(0,2)的直线交()中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.OABCD图810.已知椭圆的离心率为，一条准线（1）求椭圆的方程；（2）设O为坐标原点，是上的点，为椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于两点 若，求圆的方程； 若是l上的动点，求证：点在定圆上，并求该定圆的方程QOxMyPF 高中数学圆锥曲线复习（1）-椭圆参考答案例1 （1)35 (2） （3） B 练习一：(1)C (2) (,-1) (3)B (4) B 例2解 焦点位置可在x轴上，也可在y轴上，因此有两解： 焦点位置确定，且为（0，），设原方程为,(ab0)，由已知条件有 ,故方程为 设椭圆方程为,(ab0)由题设条件有 及a2=b2+c2，解得b=,故所求椭圆的方程是 (4)或 （5)(6)练习二:(1)解析(0,1). 椭圆方程化为+=1. 焦点在y轴上，则2，即k0，0k1. (2)【答案】D (3) (4)解 可用待定系数法求解b=c,a=c，可设椭圆方程为PQAB,kPQ=-，则PQ的方程为y=(x-c)，代入椭圆方程整理得5x2-8cx+2c2=0，根据弦长公式，得,又点F1到PQ的距离d=c ,由故所求椭圆方程为*高考真题1.【答案】3【解析】当直线过右焦点时的周长最大，；将所以.2.【答案】C【解析】椭圆的焦距为4，所以因为准线为所以椭圆的方程为，选C.3.解：（1）由题设知，由点在椭圆上，得，。由点在椭圆上，得椭圆的方程为。考点3：考几何性质例3.（1） 【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率解析 ，, (2)D练习三（1）解析由，椭圆的离心率为(2) （3）D 高考真题1.【答案】【解析】椭圆的顶点,焦点坐标为，所以，,又因为，成等比数列，所以有，即，所以，离心率为.2.【答案】2。【解析】由得。 ，即，解得。考点4：中点玄问题 例4:(1)C (2)x-2y+8=0考点5：考直线与椭圆曲线位置关系例5、1B【解析】由题意可得，则，所以点在以原点为圆心，以2为半径的圆内的点，而椭圆的长半轴长为3，短半轴长为2，所以圆内切于椭圆，即点在椭圆内，所以过点的直线与椭圆一定相交，它们的公共点的个数为2，故选B2 B【解析】设和椭圆相切且和直线平行的直线为，联立椭圆方程得，因为直线和椭圆相切，所以，由图可知，直线为，解得切点坐标为，此点就是所求点，故选B.（3）C【解析】设外层椭圆方程为 ，则切线AC的方程为y=k1（x-ma），切线BD的方程为y=k2x+mb，则由 消去y得 ，因为=（）24（）=0，整理得.由消去y得+，因为=（-4（，整理得.所以，因为，所以， ，所以e=,故选C.练习5、（1）A【解析】由图知椭圆和指数函数的图象有两个不同交点，故子集个数是4个.（2） C【解析】椭圆，且，直线恒过定点， 欲使其与椭圆恒有公共点，只需让落在椭圆内或者椭圆上， 即：，选C.（3）D【解析】当两条直线斜率都存在时，设直线的方程为，与椭圆联立后得：，设，则，同理，所以，因为，所以，故选D (4)【解】（1）由已知可得： 由可得：，将点坐标代入椭圆方程可得：。 即 （2）由（1）得：，圆心为，半径于是有：， 所以 。故椭圆方程为：【解】（1） 椭圆方程为：（2）设直线的方程为：，且设 联立 消去，得：则 从而求得：由 得 ： ，求得 所以的方程为：（3）有已知及（2）知：。设直线与轴交于点则有由（2）可知：所以 又由（2）知： ， 所以 ，即故直线过定点，即为椭圆的右焦点（4）由（1）得：令 ， 则 当且仅当，即时，取“”所以的最大面积为家庭作业 1.解析 B . 2. 解析 A . ， P的纵坐标为，从而P的坐标为，0， 3. 解析 D. ,两式相减得：， 4、解析5. 、解析 三角形三边的比是 6、解析7、解析直线l的方程为：由已知由得：，即由得：故椭圆E方程为8.解析（1）点是线段的中点 是的中位线又 椭圆的标准方程为=1 （2）点C在椭圆上，A、B是椭圆的两个焦点