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曲线的凹凸与拐点 前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于 了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不 能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯 曲方向。 o y x L3 L2 L1 A B 如右图所示L1 ，L2 ，L3 虽然都是从A点单调上升到 B点，但它们的弯曲方向却 不一样。 L1 是“凸”弧，L2是“凹”弧 ，L3既有凸弧，也有凹弧 ， 这和我们日常习惯对凹凸的称呼是一致的。 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 一、曲线凹凸的定义 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 定义 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 二、曲线凹凸的判定 定理1 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 证明 分别应用L定理，得 两式相减，得 由假设 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 这就证明了 同理可证（1） 注 定理的结论可推广到任意区间上 例1 解 注意到, 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 三、曲线的拐点及其求法 1.定义 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2.拐点的求法 证 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 方法1: 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 例2 解 凹的凸的凹的 拐点拐点 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 方法2: 例3 解 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 注意: 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 例4 假定f(x)在x=x0处具有直到n阶的连续导数，且 这里n为奇数3， 证 由高阶导数判定极值的方法知 不妨设为极小值 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 二阶导数变号， 例5 解 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 例6求曲线的拐点 解 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 是拐点 例7 Jensen不等式 证 由Taylor公式，得 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 各式乘以再相加，得 =1=1 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 四、小结 曲线的弯曲方向凹凸性; 改变弯曲方向的点拐点; 凹凸性的判定. 拐点的求法1, 2. 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 思考题 营
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