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比较大小典例分析【例1】 若，则在下列四个选项中，较大的是（ ）A B C D【例2】 将，按从大到小的顺序排列应该是 【例3】 若，则 满足（ ）AB C D 【例4】 若，则下列不等式中， 正确的不等式有_ （写出所有正确不等式的序号）【例5】 已知，那么“”是“”的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充分必要条件 D既非充分又非必要条件【例6】 若，则下列不等式中正确的是（ ）A B C D【例7】 比较下列代数式的大小： 与； 与；【例8】 比较下列代数式的大小： 与； 与（其中，且） 与（其中）【例9】 、均为正实数，且，将、与按从小到大的顺序进行排列【例10】 比较大小：、与（其中）【例11】 已知、均为实数，且，则下列各式恒成立的是（ ）ABCD【例12】 当时，下列不等式恒成立的是（ ）A B C D【例13】 已知三个不等式：，（其中、均为实数）用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ）A0B1C2D3【例14】 已知：，求证：若，求证：【例15】 设，则是的（ ）A充分但不必要条件 B必要但不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【例16】 如果，那么，下列不等式中正确的是（ ）A B C D【例17】 设，若，则下列不等式中正确的是（ ）ABCD【例18】 若，则下列结论不正确的是（ ）A B C D【例19】 若，则下列结论中正确的命题是（ ）A和均不能成立B和均不能成立C不等式和均不能成立D不等式和均不能成立【例20】 若，则下列结论中不正确的是（ ）ABCD【例21】 设，且，则（ ）AB C D【例22】 判断下列各命题的真假，并说明理由若，则 若，则若，则 若，则【例23】 已知，试将下列各数按大小顺序排列：，【例24】 实数满足条件：；，则有（ ）A BC D【例25】 已知实数、满足等式，下列五个关系式 其中不可能成立的关系式有（ ）A1个B2个C3个D4个【例26】 设，其中且试比较与的大小【例27】 若，则的大小关系是（ ）A B CD【例28】 若，则下列不等式中，正确的不等式有（ ）A1个B2个C3个D4个【例29】 设、均为正实数，那么（ ）ABCD、间大小关系不确定，而与、的大小有关【例30】 设、为非零实数，若，则下列各式成立的是（ ）ABCD【例31】 设是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（ ）A BC D【例32】 “且”是“”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【例33】 ，且，则（ ）A B C D【例34】 若直线通过点，则（ ）ABCD【例35】 设实数、满足，且，则下列四数中最大的是（ ）ABCD【例36】 正实数、满足，则（ ）ABCD与大小不定【例37】 已知，则与的大小关系是 【例38】 已知实数、满足条件，设，则（ ）ABCD以上都可能【例39】 若，以下不等式恒成立的是（ ）A BCD【例40】 若，且，则下列代数式中值最大的是（ ）A B C D求代数式的取值范围典例分析【例41】 已知函数，若，且，则的取值范围是( )A B C D【例42】 已知函数若，互不相等，且，则的取值范围是A B C D【例43】 若，则的取值范围是 【例44】 已知；，求：的取值范围【例45】 已知，求各自的取值范围【例46】 已知集合(其中为正常数). 设，求的取值范围； 求证：当时不等式对任意恒成立； 求使不等式对任意恒成立的的范围.均值不等式的应用典例分析【例47】 若，则的最小值是_【例48】 设，则的最小值是（ ）A2 B4 C D5【例49】 若为的三个内角，则的最小值为 【例50】 设，则（ ）A有最大值 B有最小值C有最大值 D有最小值【例51】 已知：（其中表示正实数），求证：【例52】 设，求证：，当且仅当时等号成立，进一步证明：，当且仅当时各等号成立【例53】 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到千辆/小时）若要求在该时段内车流量超过千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【例54】 某种汽车购车费用是万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费和约为万元，年维修费第一年是万元，以后逐年递增万元问这种汽车使用多少年报废最合算?(最佳报废时间也就是年平均费用最低的时间)【例55】 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：），能使矩形广告面积最小？【例56】 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为米的无盖长方体沉淀箱污水从孔流入，经沉淀后从孔流出设箱体长度为米，高度为米已知流出的水中，杂质的质量分数与的乘积成反比现有制箱材料平方米，问当各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(孔的面积忽略不计) 【例57】 设计一幅宣传画，要求画面面积为，画面的宽与高的比为，画面的上下各留的空白，左右各留的空白，问怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果，那么为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？【例58】 某单位用木料制作如图所示的框架， 框架的下部是边长分别为(单位：)的矩形上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积. 问分别为多少(精确到0.01m) 时用料最省?【例59】 某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室在温室内，沿左右两侧与后侧内墙各保留宽的通道，沿前侧内墙保留宽的空地当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大最大种植面积是多少？【例60】 对个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：为，要求清洗完后的清洁度为有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙： 分两次清洗该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是，用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中是该物体初次清洗后的清洁度分别求出方案甲以及时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；若采用方案乙，当时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小? 【例61】 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品的单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为现假设甲生产、两种产品的单件成本分别为元和元，乙生产、两种产品的单件成本分别为元和元，设产品、的单价分别为元和元，甲买进与卖出的综合满意度为，乙卖出与买进的综合满意度为；求和关于、的表达式；当时，求证：=；设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？记中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由代数式的最值典例分析【例62】 若，则的最小值是_【例63】 设、，则，则的最小值是_【例64】 若、，且，则的最大值是 【例65】 已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（ ）ABCD【例66】 当时，函数有最 值，其值是 【例67】 正数、满足，则的最小值是 【例68】 若、且，则的最大值是_【例69】 设，则的最大值为 【例70】 已知，则的最小值为 【例71】 设，那么的最小值为（ ）A2B3C4D5【例72】 设，则的最大值是 最小值是 【例73】 已知，则的最小值是 【例74】 已知其中，且，求的最大值【例75】 求的最小值【例76】 设，为正实数，满足，则的最小值是 【例77】 已知、，且，当 ， 时，有最大值为 【例78】 若、，且，则的最大值是 ，此时 ， 【例79】 求函数的最小值【例80】 将边长为的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则的最小值是 【例81】 设实数，满足，则的最大值是 【例82】 求函数的最小值【例83】 求函数的最小值【例84】 已知，求的最小值【例85】 求函数的最小值【例86】 函数的最小值为（ ）A1B2CD【例87】 求函数的最小值，并求出取得最小值时的值求的最大值【例88】 求函数（且）的最小值求函数的取值范围【例89】 求函数的最大值求的最小值求函数的最值【例90】 已知，求函数的最小值求函数的取值范围求函数的最大值【例91】 已知是正常数，求证：，指出等号成立的条件；利用的结论求函数（）的最小值，指出取最小值时的值【例92】 分别求和的最小值【例93】 求函数的最小值【例94】 函数的最大值为（ ）ABC D【例95】 设函数，则（ ）A有最大值B有最小值C是增函数D是减函数【例96】 设，其中，满足，则的最小值为 【例97】 设，若是与的等比中项，则的最小值为（ ）A B C D【例98】 已知：，求的最小值【例99】 已知：，求的最小值【例100】 已知、且，求的最大值【例101】 求的最小值【例102】 若，且，求的最小值【例103】 已知，求证：【例104】 已知给定正数，和未知数，且，满足，的最小值为，求，的值【例105】 若，且，分别求和的最小值【例106】 若是与的等比中项，则的最大值为（ ）A B C D线性规划典例分析【例107】 设为坐标原点，若点满足，则的最小值为（ ）A B CD【例108】 已知变量满足，则的最小值为（ ）A B C D【例109】 不等式组所表示的平面区域的面积等于 【例110】 设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）A B C D【例111】 设变量满足，则该不等式组所表示的平面区域的面积等于 ，的最大值为 【例112】 目标函数在约束条件下取得的最大值是_【例113】 下面四个点中，在平面区域内的点是（ ）A B C D【例114】 已知平面区域，向区域内随机投一点，点落在区域内的概率为（ ）A B C D【例115】 若，满足约束条件，则的最大值为 【例116】 已知不等式组，表示的平面区域的面积为，点在所给平面区域内，则的最大值为_【例117】 设，且满足，则的最小值为 ；若又满足，则的取值范围是 【例118】 “关于的不等式的解集为”是“”的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充分必要条件 D既非充分又非必要条件【例119】 已知不等式组表示的平面区域为，若直线与平面区域有公共点，则的取值范围是（ ）ABCD【例120】 已知不等式组所表示的平面区域的面积为4，则的值为（ ）A1 B C1或 D0【例121】 已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（ ）A BCD【例122】 设为坐标原点，若点满足，则的最小值为（ ） A B CD【例123】 已知变量满足，则的最小值为（ ）A B C D【例124】 不等式组所表示的平面区域的面积等于 【例125】 设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）A B C D不等式的证明典例分析【例126】 ，是三角形的三边，.求证：； 【例127】 已知，求证.【例128】 已知，求证：【例129】 已知，且求证：【例130】 若，且，求证：【例131】 设，求证：【例132】 已知，求证：【例133】 已知，且，求证：【例134】 若半径为的圆内接的面积是，三边长分别为，求证：；【例135】 已知是互不相等的正数，求证：【例136】 已知是一个三角形的三边之长，求证：【例137】 若，且，求证：【例138】 已知，求证：若，且，求证：【例139】 设，均为正数，求证：.【例140】 已知，均为正数，求证：.【例141】 已知锐角的三边长分别为，且边上的高为，求证：【例142】 设、是正实数，且满足，证明：【例143】 证明下列不等式：若，（为正实数），则若，（为正实数），且，则【例144】 设，求证：【例145】 已知正数满足，证明：【例146】 设且，求证【例147】 证明柯西不等式： 等号当且仅当或时成立（为常数，）【例148】 设，若，试证明：对于任意，有恒成立与有解问题典例分析【例149】 关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是 _ 【例150】 若不等式对一切非零实数均成立，则实数的最大值是_【例151】 设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 【例152】 若不等式的解集为，则的范围是（ ）A B C D【例153】 已知不等式对于一切大于的自然数都成立，试求实数的取值范围.【例154】 若不等式对恒成立，则的取值范围是_【例155】 在上恒满足，则的取值范围是（ ）A B C D【例156】 若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围【例157】 不等式对一切成立，则的最小值为（ ）A B C D【例158】 不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD【例159】 对任意，函数的值恒大于零，则的取值范围为 【例160】 若不等式在时恒成立，试求的取值范围【例161】 若，恒成立，求实数的取值范围.【例162】 设，当时，都有恒成立，求的取值范围.【例163】 设对所有实数，不等式恒成立，求的取值范围.【例164】 已知不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围【例165】 已知关于的不等式对恒成立，则的取值范围是 【例166】 如果对任意实数恒成立，则的取值范围是（ ）A B C D【例167】 在上定义运算：若不等式对任意实数x成立，则（ ）A BC D