浙教版九下数学第一章锐角三角函数测试卷.docxVIP

第一章 锐角三角函数满分：150分 考试时间：120分钟 班级：_ 姓名：_ 考号：_第卷 选择题（共30分）一、单选题（共10题，每题3分；共30分）1、sin60的值等于（ ） A、 B、 C、 D、2、已知A=30，下列判断正确的是（ ） A、sinA= B、cosA= C、tanA= D、cotA= 3、在RtABC中，C=90，B=35，AB=7，则BC的长为（ ） A、7sin35 B、 C、7cos35 D、7tan354、如图，某同学用圆规BOA画一个半径为4cm的圆，测得此时O=90，为了画一个半径更大的同心圆，固定A端不动，将B端向左移至B处，此时测得O=120，则BB的长为（ ） A、2-4 B、-2 C、2-2 D、2-5、如图，在RtABC中，B=90，A=30，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则EAD的余弦值是（ ） A、 B、 C、 D、6、RtABC中，C=90，CDAB于点D，sinDCB=,则sinA= （ ）A、 B、3 C、 D、7、在ABC中， ，则ABC为（ ） A、直角三角形 B、等边三角形 C、含60的任意三角形 D、是顶角为钝角的等腰三角形8、如图，在半径为1的O中，AOB=45，则sinC的值为 A、B、C、D、 第4题图 第5题图 第8题图9、如图所示是某公园为迎接“中国南亚博览会”设置的一休闲区AOB=90，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CDOB，则图中休闲区(阴影部分)的面积是()A、米2 B、米2 C、米2 D、米210、（2017深圳）如图，正方形 的边长是3， ，连接 交于点 ，并分别与边 交于点 ，连接 下列结论： ； ； ；当 时， 其中正确结论的个数是（ ）A、1 B、2 C、3 D、4 第9题图 第10题图第卷 非选择题（共120分）二、填空题（共10题，每题4分；共40分）11、在RtABC中，C=90，a，b分别是A、B的对边，如果sinA：sinB=2：3，那么a：b等于_ 12、在RtABC中，C=90，sinA= ，BC=20，则ABC的面积为_ 13、（2017宁波）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34的斜坡，从A滑行至B已知AB500米，这名滑雪运动员的高度下降了_米（参考数据： ， ， ） 第13题图 第14题图14、（2017黄石）如图所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB的高度，一测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角大小为45，随后沿直线BC向前走了100米后到达D处，在D处测得A处的仰角大小为30，则建筑物AB的高度约为_米 （注：不计测量人员的身高，结果按四舍五入保留整数，参考数据： 1.41， 1.73）15、若某人沿坡度=3：4的坡度前进10m，则他所在的位置比原来的位置升高_m 16、观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30 已知楼房高AB约是45m ， 根据以上观测数据可求观光塔的高CD是_m 第16题图 第17题图 第19题图 第20题图17、（2017宁波）如图，在菱形纸片ABCD中，AB2，A60，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上则cosEFG的值为_18、（2016潍坊）已知AOB=60，点P是AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM=4，则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是_19、（2017岳阳）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率的近似值，设半径为r的圆内接正n边形的周长为L，圆的直径为d，如图所示，当n=6时， = =3，那么当n=12时， =_（结果精确到0.01，参考数据：sin15=cos750.259） 20、如图，正方形ABCD的边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连结DQ，给出如下结论：DQ=1； = ；SPDQ= ；cosADQ= ，其中正确结论是_（填写序号） 三、解答题（共7题；共80分）21、计算题：（每小题3分，共9分）（1） （2）（2014桂林）计算： +（1）20142sin45+| |（3）（2017黄石）先化简，再求值：（ ） ，其中a=2sin60tan45 22、（每小题4分，共8分）如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，CAB=25，CBA=37，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路（1）求改直的公路AB的长；（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin250.42，cos250.91，sin370.60，tan370.75）23、（6分）（2017常德）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座BC与支架AC所成的角ACB=75，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角FHE=60，求篮框D到地面的距离（精确到0.01米）（参考数据：cos750.2588，sin750.9659，tan753.732， 1.732， 1.414） 24、（每小题5分，共10分）如图，在水平地面上竖立着一面墙AB，墙外有一盏路灯D光线DC恰好通过墙的最高点B，且与地面形成37角墙在灯光下的影子为线段AC，并测得AC=5.5米(1)求墙AB的高度（结果精确到0.1米）；（参考数据：tan370.75，sin370.60，cos370.80） (2)如果要缩短影子AC的长度，同时不能改变墙的高度和位置，请你写出两种不同的方法。 25、（(1)-(2)每小题4分；(3)6分，共14分）（2015钦州）如图，船A、B在东西方向的海岸线MN上，均收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北偏东60方向上，在船B的北偏西37方向上，AP=30海里 (1)尺规作图：过点P作AB所在直线的垂线，垂足为E（要求：保留作图痕迹，不写作法）；(2)求船P到海岸线MN的距离（即PE的长）；(3)若船A、船B分别以20海里/时、15海里/时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P处（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75）26、（(1)2分；(2)4分；(3)4分；(3)6分；16分）（2017岳阳）问题背景：已知EDF的顶点D在ABC的边AB所在直线上（不与A，B重合），DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，记ADM的面积为S1 ， BND的面积为S2 （1）初步尝试：如图，当ABC是等边三角形，AB=6，EDF=A，且DEBC，AD=2时，则S1S2=_； （2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D沿AB平移，使AD=4，再将EDF绕点D旋转至如图所示位置，求S1S2的值； （3）延伸拓展：当ABC是等腰三角形时，设B=A=EDF=、如图，当点D在线段AB上运动时，设AD=a，BD=b，求S1S2的表达式（结果用a，b和的三角函数表示）、如图，当点D在BA的延长线上运动时，设AD=a，BD=b，直接写出S1S2的表达式，不必写出解答过程27、（(1)3分；(2)6分；(3)8分；共17分）（2016桂林）如图1，已知开口向下的抛物线y1=ax22ax+1过点A（m，1），与y轴交于点C，顶点为B，将抛物线y1绕点C旋转180后得到抛物线y2， 点A，B的对应点分别为点D，E(1)直接写出点A，C，D的坐标； (2)当四边形ABCD是矩形时，求a的值及抛物线y2的解析式； (3)在（2）的条件下，连接DC，线段DC上的动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，在点P运动的过程中，过点P作直线lx轴，将矩形ABDE沿直线l折叠，设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系 答案解析部分一、单选题1、【答案】C 【考点】特殊角的三角函数值 【解析】【解答】解： sin60= = ， 故选：C【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案 2、【答案】 A【考点】特殊角的三角函数值【解析】【解答】解：A=30， sinA= ，cosA= ，tanA= ，cotA= ，故选：A【分析】根据特殊角的三角函数值进行判断即可3、【答案】 C【考点】锐角三角函数的定义【解析】【分析】在直角三角形中，根据角的余弦值与三角形边的关系，可求出BC边的长【解答】在RtABC中，cosB=，BC=ABcosB=7cos35故选C4、【答案】A 【考点】锐角三角函数的定义，解直角三角形的应用 【解析】【分析】ABO是等腰直角三角形，利用三角函数即可求得OA的长，过O作ODAB于点D，在直角AOD中利用三角函数求得AD的长，则AB=2AD，然后根据BB=AB-AB即可求解【解答】【解答】在等腰直角OAB中，AB=4，则OA=AB=2cm，AOD=120=60，过O作ODAB于点D则AD=AOsin60=2=则AB=2AD=2，故BB=AB-AB=2-4故选A【点评】此题考查了三角函数的基本概念，主要是三角函数的概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算 5、【答案】 B【考点】解直角三角形【解析】【解答】解：如图所示：设BC=x， 在RtABC中，B=90，A=30，AC=2BC=2x，AB= BC= x，根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB= x，作EMAD于M，则AM= AD= x，在RtAEM中，cosEAD= = = ；故选：B【分析】设BC=x，由含30角的直角三角形的性质得出AC=2BC=2x，求出AB= BC= x，根据题意得出AD=BC=x，AE=DE=AB= x，作EMAD于M，由等腰三角形的性质得出AM= AD= x，在RtAEM中，由三角函数的定义即可得出结果6、【答案】 A【考点】锐角三角函数的定义【解析】【分析】由CDAB，得到CDB=90，再根据等角的余角相等得到DCB=A，则【解答】如图CDAB，CDB=90，而C=90，DCB=A，又，故选A【点评】本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比叫这个角的正弦也考查了直角三角形的性质7、【答案】A 【考点】特殊角的三角函数值 【解析】【解答】解：（ tanA3）2+|2cosB |=0， tanA3=0，2cosB =0，tanA= ，cosB= ，A=60，B=30，ABC为直角三角形故选：A【分析】首先结合绝对值以及偶次方的性质得出 tanA3=0，2cosB =0，进而利用特殊角的三角函数值得出答案 8、【答案】B 【考点】勾股定理的应用，圆周角定理，锐角三角函数的定义 【解析】【分析】过点A作ADOB于点D，在RtAOD中，AOB=45，OA=1，OD=AD=OAcos45=。AC是O的直径，ABC=90，AC=2。sinC=。故选B。 9、【答案】C 【考点】平行线的性质，勾股定理，扇形面积的计算，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值 【解析】【解答】如图：连接OD，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，AC=OC=OA=3米.AOB=90，CDOB，CDOA.在RtOCD中，OD=6，OC=3，米. DOC=60.S阴影=S扇形ACD-SOCD=（米2）.故选C.【分析】先根据半径OA长是6米，C是OA的中点可知OC=OA=3米，再在RtOCD中，利用勾股定理求出CD的长，根据锐角三角函数的定义求出DOC的度数，由S阴影=S扇形AOD-SDOC即可得出结论 10、【答案】C 【考点】全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：正方形 ABCD 的边长是3， BP=CQ.DAPABQ.P=Q.P+QAB=Q+QAB=90.AQDP.故正确.在RtDAP中，AODP.AODPOA=.OA2=PO.OD.ODOE.故错误.正方形 ABCD 的边长是3， BP=CQ.QCFPBE.CF=BE.BC=DC.DF=CE.ADFDEC.SADF-SDOF=SDEC-SDOF.SAOD=S四边形OECF.故正确.BP=1时，AP=4.AOPDAP.=.BE=QE=QOPPAD.=.解得QO=,OE=,AO=5-QO=tanOAE=.故正确.故答案为C.【分析】由正方形 ABCD 的边长是3， BP=CQ易证DAPABQ，可得P=Q，P+QAB=Q+QAB=90；AQDP.故正确.在RtDAP中，AODP可得AODPOA；根据相似三角形的性质可得OA2=PO.OD.ODOE;故错误.由正方形 ABCD 的边长是3， BP=CQ易证QCFPBE；ADFDEC；所以SADF-SDOF=SDEC-SDOF；即SAOD=S四边形OECF.故正确.由题可证AOPDAP，求出BE=， QE=， 从而得到QOPPAD，利用相似三角形的性质易得QO=,OE=,AO=5-QO=；所以tanOAE=；故正确. 二、填空题11、【答案】2：3 【考点】互余两角三角函数的关系 【解析】【解答】解：在RtABC中，C=90，a，b分别是A、B的对边，c为C对的边， sinA= ，sinB= ，sinA：sinB=2：3， ： =2：3，a：b=2：3故答案为2：3【分析】根据正弦的定义得到sinA= ，sinB= ，再由sinA：sinB=2：3得到 ： =2：3，然后利用比例性质化简即可 12、【答案】150 【考点】解直角三角形 【解析】【解答】解：在RtABC中，C=90，sinA= = ， AB= =20 =25，AC= = =15，则ABC的面积为： ACBC= =150故答案为：150【分析】根据正弦函数的定义即可求得AB的长，然后根据勾股定理即可求得AC的长，则三角形的面积可以求得 13、【答案】280 【考点】锐角三角函数的定义，解直角三角形 【解析】【解答】解：在RtACB中， sin34=.AB=500米，AC=5000.56=280（米）.故答案为280米.【分析】在RtACB中，根据正弦的定义即可求出答案. 14、【答案】137 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【解析】【解答】解：设AB=x米， 在RtABC中，ACB=45，BC=AB=x米，则BD=BC+CD=x+100（米），在RtABD中，ADB=30，tanADB= = ，即 = ，解得：x=50+50 137，即建筑物AB的高度约为137米故答案为：137【分析】设AB=x米，由ACB=45得BC=AB=x、BD=BC+CD=x+100，根据tanADB= 可得关于x的方程，解之可得答案 15、【答案】6 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【解析】【解答】解：坡度=3：4，此人行进的垂直距离：水平距离=3：4此人行进的垂直距离：坡长（此人沿坡行进的距离）=3：5坡长为10m，此人行进的垂直距离为6m他所在的位置比原来的位置升高6m【分析】利用垂直距离：水平宽度得到垂直距离与斜坡的比，把相应的数值代入计算即可 16、【答案】135 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【解析】【解答】爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30，ADB=30，在RtABD中，tan30= ，解得， ，AD=45 ，在一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60，在RtACD中，CD=ADtan60=45 =135米 故答案为135米 【分析】根据“爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30”可以求出AD的长，然后根据“在一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60”可以求出CD的长 17、【答案】【考点】等腰三角形的性质，勾股定理，菱形的性质，解直角三角形 【解析】【解答】解：连接BE、AE交FG于点O,菱形ABCD中，AB2，A60，E为CD中点，BECD,CE=1,BC=2,C60,ABC120,BE=,CBE30,FBE90,AE=.AGF翻折至EGF，AGFEGF,AF=EF,AFGEFG,在RtEBF中，设BF=x,则AF=EF=2-x,（2-x）2=x2+（）2x=,EF=,又AG=EG,AF=EF,GF垂直平分AE，EO=.FO=在RtEOF中.cosEFG=.故答案为：.【分析】连接BE、AE交GF于点O,在菱形ABCD中，AB2，A60，E为CD中点，以及图形的翻折，可以求出BE， BF，EF，AE，根据AG=EG,AF=EF,得出GF垂直平分AE，从而求出EO，FO，最后在RtEOF中，利用三角函数定义即可得出答案. 18、【答案】 【考点】轴对称-最短路线问题，解直角三角形【解析】【解答】解：过M作MNOB于N，交OC于P，则MN的长度等于PM+PN的最小值，即MN的长度等于点P到点M与到边OA的距离之和的最小值，ONM=90，OM=4，MN=OMsin60=2 ，点P到点M与到边OA的距离之和的最小值为2 【分析】过M作MNOB于N，交OC于P，即MN的长度等于点P到点M与到边OA的距离之和的最小值，解直角三角形即可得到结论本题考查了轴对称最短路线问题，解直角三角形，正确的作出图形是解题的关键19、【答案】3.10 【考点】正多边形和圆，解直角三角形 【解析】【解答】解：如图，圆的内接正十二边形被半径分成如图所示的十二个等腰三角形，其顶角为30，即O=30，ABO=A=75， 作BCAO于点C，则ABC=15，AO=BO=r，BC= r，OC= r，AC=（1 ）r，RtABC中，cosA= ，即0.259= ，AB0.517r，L=120.517r=6.207r，又d=2r， = 3.10，故答案为：3.10【分析】圆的内接正十二边形被半径分成顶角为30的十二个等腰三角形，作辅助线构造直角三角形，根据中心角的度数以及半径的大小，求得L=6.207r，d=2r，进而得到 = 3.10 20、【答案】 【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆的综合题，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：正确结论是 提示：连接OQ，OD，如图1易证四边形DOBP是平行四边形，从而可得DOBP结合OQ=OB，可证到AOD=QOD，从而证到AODQOD，则有DQ=DA=1故正确；连接AQ，如图2则有CP= ，BP= = 易证RtAQBRtBCP，运用相似三角形的性质可求得BQ= ，则PQ= = ， = 故正确；过点Q作QHDC于H，如图3易证PHQPCB，运用相似三角形的性质可求得QH= ，SDPQ= DPQH= = 故错误；过点Q作QNAD于N，如图4易得DPNQAB，根据平行线分线段成比例可得 = = ，则有 = ，解得：DN= 由DQ=1，得cosADQ= = 故正确综上所述：正确结论是故答案为：【分析】连接OQ，OD，如图1易证四边形DOBP是平行四边形，从而可得DOBP结合OQ=OB，可证到AOD=QOD，从而证到AODQOD，则有DQ=DA=1；连接AQ，如图2，根据勾股定理可求出BP易证RtAQBRtBCP，运用相似三角形的性质可求出BQ，从而求出PQ的值，就可得到 的值；过点Q作QHDC于H，如图3易证PHQPCB，运用相似三角形的性质可求出QH，从而可求出SDPQ的值；过点Q作QNAD于N，如图4易得DPNQAB，根据平行线分线段成比例可得 = = ，把AN=1DN代入，即可求出DN，然后在RtDNQ中运用三角函数的定义，就可求出cosADQ的值 三、解答题21、（1）【答案】 解：原式=-=-=【考点】特殊角的三角函数值【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可.（2）【答案】 解：原式=2+12 + =3【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值【解析】【分析】原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用乘方的意义计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果（3）【答案】解：原式= （a1） = （a1）= 当a=2sin60tan45=2 1= 1时，原式= = 【考点】分式的化简求值，特殊角的三角函数值 【解析】【分析】将原式括号内通分、将除法转化为乘法，再计算减法，最后约分即可化简原式，根据特殊锐角三角函数值求得a的值，代入即可 22、【答案】 解：（1）作CHAB于H在RtACH中，CH=ACsinCAB=ACsin25100.42=4.2（千米），AH=ACcosCAB=ACcos25100.91=9.1（千米），在RtBCH中，BH=CHtanCBA=4.2tan374.20.75=5.6（千米），AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7（千米）故改直的公路AB的长14.7千米；（2）在RtBCH中，BC=CHsinCBA=4.2sin374.20.6=7（千米），则AC+BCAB=10+714.7=2.3（千米）答：公路改直后比原来缩短了2.3千米【考点】解直角三角形的应用【解析】【分析】（1）作CHAB于H在RtACH中，根据三角函数求得CH，AH，在RtBCH中，根据三角函数求得BH，再根据AB=AH+BH即可求解；（2）在RtBCH中，根据三角函数求得BC，再根据AC+BCAB列式计算即可求解23、【答案】解：延长FE交CB的延长线于M，过A作AGFM于G， 在RtABC中，tanACB= ，AB=BCtan75=0.603.732=2.0292，GM=AB=2.0292，在RtAGF中，FAG=FHD=60，sinFAG= ，sin60= = ，FG=4.33，DM=FG+GMDF5.01米，答：篮框D到地面的距离是5.01米 【考点】解直角三角形的应用 【解析】【分析】延长FE交CB的延长线于M，过A作AGFM于G，解直角三角形即可得到结论 24、【答案】（1）在RtABC中，AC=5.5，C=37，tanC=，AB=ACtanC=5.50.754.1；（2）要缩短影子AC的长度，增大C的度数即可，即第一种方法：增加路灯D的高度，第二种方法：使路灯D向墙靠近 【考点】解直角三角形的应用 【解析】【分析】（1）由AC=5.5，C=37根据正切的概念求出AB的长；（2）从边和角的角度进行分析即可 25、【答案】 （1）【解答】解：如图所示：（2）由题意得，PAE=30，AP=30海里，在RtAPE中，PE=APsinPAE=APsin30=15海里；（3）在RtPBE中，PE=15海里，PBE=53，则BP=海里，A船需要的时间为：=1.5小时，B船需要的时间为：=1.25小时，1.51.25，B船先到达【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】【分析】（1）利用直角三角板中90的直角直接过点P作AB所在直线的垂线即可；（2）解RtAPE求出PE即可；（3）在RtBPF中，求出BP，分别计算出两艘船需要的时间，即可作出判断26、【答案】（1）12（2）解：如图2中，设AM=x，BN=yMDB=MDN+NDB=A+AMD，MDN=A，AMD=NDB，A=B，AMDBDN， = ， = ，xy=8，S1= ADAMsin60= x，S2= DBsin60= y，S1S2= x y= xy=12（3）解：如图3中，设AM=x，BN=y，同法可证AMDBDN，可得xy=ab，S1= ADAMsin= axsin，S2= DBBNsin= bysin，S1S2= （ab）2sin2如图4中，设AM=x，BN=y，同法可证AMDBDN，可得xy=ab，S1= ADAMsin= axsin，S2= DBBNsin= bysin，S1S2= （ab）2sin2 【考点】等腰三角形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值 【解析】【解答】解：（1）如图1中，ABC是等边三角形，AB=CB=AC=6，A=B=60，DEBC，EDF=60，BND=EDF=60，BDN=ADM=60，ADM，BDN都是等边三角形，S1= 22= ，S2= （4）2=4 ，S1S2=12，故答案为12【分析】（1）首先证明ADM，BDN都是等边三角形，可得S1= 22= ，S2= （4）2=4 ，由此即可解决问题；（2）如图2中，设AM=x，BN