分许力学2、3章的教程.pptx

P M AB C aa a D 例4：已知三铰拱上作用有集中载荷P及力偶M，求B 支座的约束反力。 分析：三铰拱是受有完全约束的系统，必须解除部分约束，赋 予运动自由度，才能应用虚位移原理。 P M A B C a a aD 解： (1)求B铰水平约束力： 给虚位移， FBx C 则相应有 根据虚位移原理，有 (AC作定轴转动； BCD作平 面运动，瞬心为C。) 解除B支座的水平约束，代之以水平反力FBx 。 例4续 已知力P，力偶M，求B支座反 力。 a P M A B C a a D FBy 根据虚位移原理，有 （AC作定轴转动； BCD作 平面运动，瞬心为A。） (2)求B支座的垂直约束反力 ： 给虚位移， 则相应有 解除B铰的垂直约束，代之以垂 直反力Fby 解得 解毕毕 A B H ED Q K C 例5：图示机构中各杆之间均用铰连连接，杆长 AE=BD=2l，DH = EH = l。D、E间连着一刚度系数为K 、原长为l的弹簧，杆和弹簧的自重及各处摩擦均不 计。今在铰链H上加一力Q，使机构处于静止平衡状 态，试确定Q与的关系。 例5续 已知AE=BD=2l，DH=EH=l。弹簧K、原长l，求平衡时，Q 与的关系。 A B H ED Q C F F x y 解：这是单自由度机构。取为广义坐标。 由 WF = 0 ， 得 QyyH + FxxE + FxxD = 0 ， K K K K 求变分得 各主动力作用点的坐标为 解除弹簧约束，代之以弹性力F、F，并视为主动力。 弹簧的伸长量为 = 2lcosl = (2cos1) l 弹性力的大小为F = F = k = k l (2cos1) K A B H ED Q C F F x y 代入虚功方程得 各主动力在坐标轴上的投影为 2kl(2cos 1)sin 3Qcos = 0 于是得平衡时Q与应满足的关系为： Q3lcoskl(2cos 1)(2lsin )= 0 总结：建立虚位移之间的关系的方法 作图给出机构的微小运动，直接由几何关系来定； 选一广义坐标（自变量），给出各主动力作用点的 坐标方程，求变分，各变分间的比例即为虚位移间 的比例； “虚速度”法 （点的合成运动、平面运动基点 法、速度投影法、瞬心法等） 补补充知识识 ： 刚刚体的平面运动动 -平面图图形上各点的速度 1速度基点法 平面图图形的运动动可以看成是: 牵连牵连 运动动（随同基点A的平动动）与 相对对运动动（绕绕基点A 的转动转动 ）的合成 因此: 平面图图形上任意一点B的运动动可用合成运动动的概念进进行 分析，其速度可用速度合成定理求解。 2. 速度投影定理 定理: 同一瞬时时，平面图图形上任意两点的 速度在这这两点连线连线 上的投影相等。 反映了刚刚体不变变形的特性： 因刚刚体上任意两点间间的距离应应保持不变变，所以刚刚体上任意两点的速度在 这这两点连线连线 上的投影应该应该 相等，否则则，这这两点间间的距离不是伸长长，就要缩缩 短，这这将与刚刚体的性质质相矛盾。因此，速度投影定理不仅仅适用于刚刚体作平面 运动动，而且也适用于刚刚体的一般运动动。 3.速度瞬心法 定理: 一般情况下，每一瞬时时，平面图图形 上都唯一地存在一个速度为为零的点。 在某瞬时时，平面图图形上速度为为零的点称为为平面图图形在该该瞬时时 的瞬时时速度中心，简简称为为速度瞬心或瞬心。 AN上任意一点M ： 证明： 总有一点I满足： 则I点的（绝对）速度 ： 4.平面图图形上各点速度的分布 刚体上任意一点M的速度: 5.速度瞬心位置的确定（1） 若平面图图形沿一固定面滚动滚动 而无滑动动，则图则图 形与固定面的接 触点I就是该该瞬时图时图 形的速度瞬心。 5.速度瞬心位置的确定（2） 已知某瞬时时平面图图形上任意两点的速度方向，且两者不相平行 ，则则速度瞬心必在过过每一点且与该该点速度垂直的直线线上。 5.速度瞬心位置的确定（3） 已知某瞬时时平面图图形上两点的速度相互平行，并且速度的方向 垂直于这这两点的连线连线 ，但两速度的大小不等，则图则图 形的速度瞬 心必在这这两点的连线连线 与两速度矢端的连线连线 的交点。 6.瞬时时平动动 已知某瞬时时平面图图形上两点的速度相互平行，但速度方向与这这 两点的连线连线 不相垂直；或虽虽然速度方向与这这两点的连线连线 垂直 ，但两速度的大小相等，则该则该 瞬时图时图 形的速度瞬心在无限远远 处处，图图形的这这种运动动状态态称为为瞬时时平动动。 注意：瞬时时平动动只是刚刚体平面运动动的一个瞬态态，与刚刚体的平 动动是两个不同的概念，瞬时时平动时动时 ，虽虽然图图形的角速度为为零 ，图图形上各点的速度相等，但图图形的角加速度一般不等于零， 图图形上各点的加速度也不相同。 此时时，图图形的角速度等于零，图图形上各点的速度大小相等，方 向相同，速度分布与平动时动时 相似。 补补充内容结结束 ！ 6. 以广义力表示的质点系平衡条件 之前的虚位移原理的表达式中，虚 位移是用质质点的坐标标变变分表示的， 这这些虚位移并不一定是相互独立的 ，所以解题题是还还需找出它们们之间间 的关系。 如果虚位移直接用广义义坐标标 的变变分来表示，由于它们们之 间间是相互独立的，则则虚位移 原理的表达式将更加简简明！ 将式 虚功方程 ： 得 ： 带入上式 于是得 令 则 Qk对应于广义坐标qk的广义力. qk广义虚位移. 以广义义坐标标和广义义力表示的质质点系平衡条件为为 广义虚位移qk相互独立，若上式成立，则 质点系的平衡条件是： 对应广义坐标的所有的广义力都等于 零。 注：显然，质点系受到的约束越多，则广义坐标数越少，求解越方注：显然，质点系受到的约束越多，则广义坐标数越少，求解越方 便。便。 计算广义力的方法 1.解析法：用定义公式直接计算 2.几何法：令qk 0，其余各广义义坐标标均不给给虚位移 则 x y P W1 W2 o A C1 C2 B 1 2 例8：已知图示双摆中均质杆OA的长度、重量分别为 l1、W1，AB的长度、重量分别为l2、 W2，并在B端作 用一水平力P。试求此双摆在铅直面内的平衡位置。 P W1 W2 x y o 1 2 双摆是两个自由度系统，取固定坐 标系Oxy，取 1、 2为广义坐标 ， 则 求变分得： B A C1 C2 解一：解析法 解得 上式中 1 、 2彼此独立，所以1、2前的系数须分别为零 即 P 1 2 B A C1 C2 x y o W1 W2 解二：几何法 先给 10， 20， x y P W1 W2 o A C1 C2 B 1 2 1 系统在这组虚位移中的虚功方程为 ： 1 1 1 1 再给20， 10， x y P W1 W2 o A C1 C2 B 1 2 2 系统在这组虚位移中的虚功方程为： 2 解三：直接用定义求解（解析法） 例9：如图所示，重量分别为3P和P的A，B物体系在无重不伸 长的绳的两端，绳中间部分绕过滑轮C,D,E，滑轮D为动滑轮 ，其轴上挂有物体H，物体A放在粗糙的水平面上，求当系统 平衡时物体H的重量PH和物体A与水平面间的摩擦系数。 7.在势力场中质点系的平衡条件及平 衡的稳定性 1.作用在质质点系上的主动动力都是有势势力，若势势能是各质质点坐 标标的函数。即 有势势力在直角坐标标系上的投影与势势能的关系为为 一. 平衡条件 此种情况下，虚位移原理可以表示为为更简单简单 的形式 表明：当主动动力都是有势势力时时，具有理想约约束的质质点系平衡 的必要和充分条件为为，质质点系的势势能在平衡位置的一阶变阶变 分 为为零。 主动动力在虚位移上所作的元功之和为为 2.若势势能是广义义坐标标的函数，即 由广义义力平衡条件得 则 表明：当主动动力都是有势势力时时，具有理想约约束的质质点系平衡 的必要和充分条件为为，质质点系的势势能对对每个广义义坐标标的偏导导 数都等于零。 注： 求解在势力场中的质点系的平衡问题可归结为如何写出系统的势能函数的问 题。 二. 平衡稳稳定性 A 球为稳定平衡B 球为不稳定平衡C 球为随遇平衡 根据势势力场场的性质质，有势势力总总是指向势势能减少的方向。 系统势统势 能在稳稳定平衡的 平衡位置处处，有极小值值； 系统势统势 能在不稳稳定平衡的 平衡位置处处，有极大值值； 在随遇平衡时时，系统势统势 能是不变变的。 其势能函数为 已知，平衡时势能有极值，即 设由此式求出的平衡位置为 当 时， 为极小值，平衡是稳定的； 当 时， 为极大值，平衡