2011高考二轮复习文科数学专题八1第一讲函数与方程思想.ppt

高考二轮数学（文科） 专题八 思想方法 第一讲 函数与方程思想 高考二轮数学（文科） 考点整合 高考二轮数学（文科） 函数思想 考纲点击 对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽 象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过对 数学的考查，反应考生对数学思想的掌握程度 高考二轮数学（文科） 基础梳理 一般地，函数思想就是构造函数从而利用函数的图象与性 质解题，经常利用的性质是：单调性、奇偶性、周期性、最大 值和最小值、图象变换等在解题中，善于挖掘题目的隐含条 件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的 关键，它广泛地应用于方程、不等式、数列等问题 高考二轮数学（文科） 整合训练 1(1)(2009年广州模拟)方程m x有解，则m的 最大值为( ) A1 B0 C1 D2 (2)方程ax22x10至少有一个负根的充要条件是( ) A0a1 Ba1 Ca1 Da0或0a1 答案：(1)A (2)C 高考二轮数学（文科） 考纲点击 方程思想 1方程的思想就是将所求的量(或与所求的量相关的量 )设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中的已 知条件，列出方程(组)，通过解方程或对方程进行研究，使 问题得到解决 2方程的思想与函数的思想密切相关：方程f(x)0的 解就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标；函数y f(x)也可以看作二元方程f(x)y0.通过方程进行研究， 方程f(x)a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域；函数与 方程的这种相互转化关系十分重要 高考二轮数学（文科） 整合训练 2(1)把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一 个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( ) (2)对于满足0p4的所有实数p，使不等式x2px 4xp3成立的x的取值范围是_ 解析：(1)设截成两段分别为x，y， 则xy12，即y12x(0x12)， 两个正三角形的边长分别为 高考二轮数学（文科） (2)设f(p)p(x1)x24x3，f(p)为关于p的一次函 数，要使f(p)0对p0,4恒成立，则 解得x3或x1. 答案：(1)D (2)x3或x1 高考二轮数学（文科） 考纲点击 函数与方程的思想在解题中的应用 对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学 知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的 数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是 综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境 中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度以 及进一步学习的潜能 高考二轮数学（文科） 基础梳理 1函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面： (1)借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等 式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题； (2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数， 把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化 繁为简的目的 2方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面： (1)解方程或解不等式； (2)带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方 程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知 识应用； (3)需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等； (4)构造方程或不等式求解问题 高考二轮数学（文科） 整合训练 答案：D 高考二轮数学（文科） 高分突破 高考二轮数学（文科） 运用函数与方程思想解决字母或 式子的求值或取值范围问题 已知a，b，cR，abc0，abc10，求a的取 值范围 思路点拨：本题可以根据题设条件将b，c的和与积用a 表示，构造一元二次方程，然后利用一元二次方程有解，其 判别式0，再构建a的不等式求解或根据题设条件将a 表示成c的函数转化为求函数的值域问题求解 解析：法一(方程思想)：因为bca， bc1a. 所以b，c是方程x2ax1a0的两根， 所以a24(1a)0，即a24a40， 高考二轮数学（文科） 得bcbc10， 如果c1，则b1b10，即20， 不成立，因此c1， 高考二轮数学（文科） 高考二轮数学（文科） 高考二轮数学（文科） 跟踪训练 1若a、b是正数，且满足abab3，求ab的取值 范围 高考二轮数学（文科） 高考二轮数学（文科） 运用函数与方程思想解决方程问题 如果方程cos2xsin xa0在 上有解，求a的取 值范围 思路点拨：可分离变量为acos2xsin x，转化为 确定的相关函数的值域 解析：法一：把方程变形为acos2xsin x. 高考二轮数学（文科） 易求得f(x)的值域为(1,1 故a的取值范围是(1,1 将方程变为：t2t1a0. 依题意，该方程在(0,1上有解 设f(t)t2t1a， 其图象是开口向上的抛物线，对称轴t ，如下图所示 高考二轮数学（文科） 高考二轮数学（文科） 跟踪训练 2如果方程lg(x1)lg(3x)lg(ax)(aR)有解 ，求实数a的取值范围 由得1x3， 原方程等价于(x1)(3x)ax(1x3)， 即ax25x3(1x3) 高考二轮数学（文科） 运用函数与方程思想解决不等式问题 (1)已知x，yR，且2x3y2y3x，那么( ) Axy0 Bxy0 CXy0 DXy0 (2)设不等式2x1m(x21)对满足m2,2的一切 实数m都成立，求x的取值范围 思路点拨：(1)先把它变成等价形式2x3x2y3y， 再构造辅助函数f(x)2x3x，利用函数单调性比较 (2)此问题由于是常见的思维定势，易把它看成关于x的 不等式讨论，若变换一个角度，以m为变量，使f(m)(x2 1)m(2x1)，则问题转化为求一次函数(或常函数)f(x)的 值在2,2内恒负时，参数x应满足的条件 高考二轮数学（文科） 解析：(1)设f(x)2x3x. 因为y2x，y3x均为R上的增函数， 所以f(x)2x3x是R上的增函数 又由2x3x2y3y2y3(y)， 即f(x)f(y)，xy，即xy0. (2)设f(m)(x21)m(2x1)， 则不等式2x1m(x21)恒成立f(m)0恒成立 在2m2时， 高考二轮数学（文科） 跟踪训练 3设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取 到极值 (1)求a，b的值； (2)若对于任意的x0,3都有f(x)c2成立，求c的范 围； (3)若方程f(x)c2有三个根，求c的取值范围 解析：(1)f(x)6x26ax3b3(2x22axb) 因为函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取 到极值，所以 ，解得 高考二轮数学（文科） f(x)3(2x26x4)6(x2)(x1) 当x0； 当12时，f(x)0，所以此时1与2都是极值点， 因此 ，f(x)2x39x212x8c. (2)由(1)知函数yf(x)在x1处取到极大值f(1)58c ，在x2处取到极小值f(2)48c. 因为f(0)8c，f(3)98c， 所以当x0,3时，函数yf(x)的最大值是f(3)98c ，所以要使对于于任意的x0,3都有f(x)c2成立，需要 f(3)98cc2，c28c90，解得c1或c9. 高考二轮数学（文科） (3)由(1)(2)知函数yf(x)在区间(，1)上是增函 数，在(1,2)上是减函数，在(2，)上是增函数， yf(x)在x1处取到极大值f(1)58c， 在x2处取到极小值f(2)48c， f(1)f(2) 所以要使方程f(x)c2有三个根， 需要f(2)c2f(1)， 即48cc258c，解得 高考二轮数学（文科） 运用函数与方程思想解决 不等式应用问题 平面内边长为a的正三角形ABC，直线 DEBC，交AB、AC于D、E，现将ABC沿ED 折成60的二面角，求DE在何位置时，折 起后A到BC的距离最短，最短距离是多少？ 思路点拨：本题首先借助于几何作图找出折起来后A 到BC的距离，然后选定合理变量建立距离的目标函数 解析：如图所示，A沿DE折起 到A，过A作AGBC于G，交DE于 F，连结AF、AG， 高考二轮数学（文科） ABC为正三角形，DEBC， AFDE，AFDE， 同时，G、F分别为BC、DE的中点， DE平面AFG， BC平面AFG， AFG是二面角AEDB的平面角 由题知AFG60，AG为所求 在AFG中，设FGx，则AF ax. 由余弦定理得AG2AF2FG22AFFGcos 60 高考二轮数学（文科） 跟踪训