高中数学第二章平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课后习题新人教A版.docx

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算一、A组1.下列可作为正交分解的基底的是()A.等边三角形ABC中的B.锐角三角形ABC中的C.以角A为直角的直角三角形ABC中的D.钝角三角形ABC中的解析:选项A中,的夹角为60;选项B中,的夹角为锐角;选项D中,的夹角为锐角或钝角,所以选项A,B,D都不符合题意.选项C中,的夹角为A=90,则选项C符合题意.答案:C2.向量=(2x,x-1),O为坐标原点,则点A在第四象限时,x的取值范围是() A.x0B.x1C.x1D.0x1解析:=(2x,x-1),点A的坐标为(2x,x-1).当点A在第四象限时,0x1.答案:D3.已知向量a,b满足a+b=(1,3),a-b=(3,-3),则a,b的坐标分别为()A.(4,0),(-2,6)B.(-2,6),(4,0)C.(2,0),(-1,3)D.(-1,3),(2,0)解析:由+得2a=(4,0),-得2b=(-2,6),a=(2,0),b=(-1,3).答案:C4.已知在ABCD中,=(3,7),=(-2,3),对角线AC,BD交于点O,则的坐标为()A.B.C.D.解析:由平行四边形法则得,=(3,7)+(-2,3)=(1,10),又O是AC的中点,=-=-(1,10)=.答案:B5.已知向量=(3,4),将其向左平移一个单位,再向上平移一个单位后,所得向量的坐标为.解析:向量平移后还和原向量相等,所得向量坐标为(3,4).答案:(3,4)6.已知A(3,-5),B(-1,3),点C在线段AB上,且=3,则点C的坐标是.解析:设C(x,y),则=(x-3,y+5),3=3(-1-x,3-y)=(-3-3x,9-3y).=3,解得x=0,y=1,即点C的坐标是(0,1).答案:(0,1)7.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c为.解析:由已知可得4a+3b-2a+c=0,c=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(-2,6)-(-6,12)=(4,-6).答案:(4,-6)8.已知点O(0,0),A(1,3),B(2,4),且=2=3.(1)求A,B两点及向量的坐标;(2)若-2=0,求的坐标.解:(1)=2=2(1,3),=3=3(2,4).故A(2,6),B(6,12).=(6,12)-(2,6)=(4,6).(2)设P(x,y),则=(x-1,y-3).则(4,6)-2(x-1,y-3)=(0,0).即(6-2x,12-2y)=(0,0).由向量相等知解得故P(3,6),=(3,6).9.已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5)及+t.(1)t为何值时,点P在x轴上?点P在y轴上?点P在第二象限?(2)四边形OABP能成为平行四边形吗?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.解:(1)+t=(1+3t,2+3t).若点P在x轴上,则2+3t=0t=-;若点P在y轴上,则1+3t=0t=-;若点P在第二象限,则解得-t-.(2)=(1,2),=(3-3t,3-3t).若四边形OABP为平行四边形,需,于是此方程组无解.故四边形OABP不能成为平行四边形.10.已知三点A(2,3),B(5,4),C(7,10),点P满足+(R).(1)为何值时,点P在正比例函数y=x的图象上?(2)若点P在第三象限,求的取值范围.解:设点P坐标为(x1,y1),则=(x1-2,y1-3).+=(5-2,4-3)+(7-2,10-3),即+=(3+5,1+7),由+,可得(x1-2,y1-3)=(3+5,1+7),则解得点P的坐标是(5+5,4+7).(1)令5+5=4+7,得=.当=时,点P在函数y=x的图象上.(2)点P在第三象限,解得-1.的取值范围是|-1.二、B组1.若A(2,-1),B(4,2),C(1,5),则+2等于()A.(5,-1)B.(-1,5)C.(6,-2)D.(-4,9)解析:=(4,2)-(2,-1)=(2,3),=(1,5)-(4,2)=(-3,3),故+2=(2,3)+2(-3,3)=(-4,9).故选D.答案:D2.已知a=(-5,6),b=(-3,2),c=(x,y),若a-3b+2c=0,则c等于()A.(-2,6)B.(-4,0)C.(7,6)D.(-2,0)解析:a-3b+2c=0,(-5,6)-(-9,6)+(2x,2y)=(0,0),即即c=(-2,0).故选D.答案:D3.已知向量i=(1,0),j=(0,1),对坐标平面内的任一向量a,给出下列四个结论:存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y);若a=(x1,y1)(x2,y2),则x1x2,且y1y2;若a=(x,y),且a0,则a的始点是原点O;若a0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y).其中,正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:由平面向量基本定理可知,正确;不正确,例如,a=(1,0)(1,3),但1=1;因为向量可以平移,所以a的坐标(x,y)与a的始点是不是原点无关,故错误;a的坐标不一定与终点坐标相同,故错误.故选B.答案:B4.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),则第四个顶点的坐标是()A.(1,5)或(5,5)B.(1,5)或(-3,-5)C.(5,-5)或(-3,-5)D.(1,5)或(5,-5)或(-3,-5)解析:设A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),第四个顶点为D.(1)若平行四边形为ABCD,则,D(-3,-5);(2)若平行四边形为ACDB,则,D(5,-5);(3)若平行四边形为ACBD,则,D(1,5).综上所述,点D坐标为(1,5)或(5,-5)或(-3,-5).答案:D5.在ABC中,点M在AC上,且=3,点N是BC的中点,若=(4,3),=(1,5),则=.解析:=(1,5)-(4,3)=(-3,2).点N是BC的中点,=2=(-6,4).=(4,3)+(-6,4)=(-2,7).=3=3(-2,7)=(-6,21).答案:(-6,21)6.(2016江西赣州期末)若,是一组基底,=x+y(x,yR),则称(x,y)为向量在基底,下的坐标,现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为.解析:因为向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),所以有a=-2(1,-1)+2(2,1)=(2,4),设a=x(-1,1)+y(1,2),则有解得答案:(0,2)7.已知点B(1,0)是向量a的终点,向量b,c均以原点O为起点,且b=(-3,4),c=(-1,1)与a的关系为a=3b-2c,求向量a的起点坐标.解:a=3b-2c=3(-3,4)-2(-1,1)=(-7,10).设a的起点为A(x,y),则a=(1-x,-y),A(8,-10).向量a的起点坐标为