高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式三排序不等式学案含解析.docx

三 排序不等式1顺序和、乱序和、反序和设a1a2an，b1b2bn为两组实数，c1，c2，cn是b1，b2，bn的任一排列，称a1b1a2b2anbn为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1bna2bn1anb1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)，称a1c1a2c2ancn为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)2排序不等式(排序原理)定理：(排序不等式，又称为排序原理)设a1a2an，b1b2bn为两组实数，c1，c2，cn是b1，b2，bn的任一排列，则a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn，等号成立(反序和等于顺序和)a1a2an或b1b2bn.排序原理可简记作：反序和乱序和顺序和用排序不等式证明不等式(所证不等式中字母大小顺序已确定)已知a，b，c为正数，且abc，求证：.分析题目中已明确abc，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可ab0，.又c0，从而.同理，从而.又由于顺序和不小于乱序和，故可得.原不等式成立利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组1已知0(sin 2sin 2sin 2)证明：0，且ysin x在为增函数，ycos x在为减函数，0sin sin cos cos 0.sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos (sin 2sin 2sin 2)2设x1，求证：1xx2x2n(2n1)xn.证明：x1，1xx2xn.由排序原理，得12x2x4x2n1xnxxn1xn1xxn1，即1x2x4x2n(n1)xn.又因为x，x2，xn,1为1，x，x2，xn的一个排列，由排序原理，得1xxx2xn1xnxn11xnxxn1xn1xxn1，得xx3x2n1xn(n1)xn.将相加，得1xx2x2n(2n1)xn.用排序不等式证明不等式(对所证不等式中的字母大小顺序作出假设)在ABC中，试证：.可构造ABC的边和角的有序数列，应用排序不等式来证明不妨设abc，于是ABC.由排序不等式，得aAbBcCaAbBcC，aAbBcCbAcBaC，aAbBcCcAaBbC.相加，得3(aAbBcC)(abc)(ABC)(abc)，得.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系3设c1，c2，cn为正数组a1，a2，an的某一排列，求证：n.证明：不妨设0a1a2an，则.因为，是，的一个排列，由排序原理，得a1a2ana1a2an，即n.4设a1，a2，an是1,2，n的一个排列，求证：.证明：设b1，b2，bn1是a1，a2，an1的一个排列，且b1b2bn1；c1，c2，cn1是a2，a3，an的一个排列，且c1c2且b11，b22，bn1n1，c12，c23，cn1n.利用排序不等式，有.原不等式成立课时跟踪检测(十一) 1有一有序数组，其顺序和为A，反序和为B，乱序和为C，则它们的大小关系为()AABC BACBCABC DACB解析：选B由排序不等式，顺序和乱序和反序和知：ACB.2若Axxx，Bx1x2x2x3xn1xnxnx1，其中x1，x2，xn都是正数，则A与B的大小关系为()AAB BA0，则AB0，由排序不等式2(aAbB)a(AB)b(AB)(ab)，aAbB(ab)答案：aAbB(ab)8设a，b，c都是正数，求证：abc.证明：由题意不妨设abc0.由不等式的性质，知a2b2c2，abacbc.根据排序原理，得a2bcab2cabc2a3cb3ac3b.又由不等式的性质，知a3b3c3，且abc.再根据排序不等式，得a3cb3ac3ba4b4c4.由及不等式的传递性，得a2bcab2cabc2a4b4c4.两边同除以abc得证原不等式成立9设a，b，c为任意正数，求的最小值解：不妨设abc，则abacbc，.由排序不等式，得，以上两式相加，得23，即当且仅当abc时，的最小值为.10设x，y，z为正数，求证：xyz.证明：由于不等式关于x，y，z对称，不妨设0.利用排序不等式证明有关的不等式问题排序不等式具有自己独特的体现：多个变量的排列与其大小顺序有关，特别是与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简便设a，b，c为实数，求证：a10b10c10.由对称性，不妨设abc，于是a12b12c12，.由排序不等式：顺序和乱序和，得.又因为a11b11c11，再次由排序不等式：反序和乱序和，得.由得a10b10c10.利用柯西不等式或排序不等式求最值问题有关不等式问题往往要涉及对式子或量的围的限定其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易已知5a23b2，求a22abb2的最大值解：2(ab)2a22abb2，当且仅当5a3b，即a，b时，等号成立(5a23b2)a22abb2.a22abb2(5a23b2)1.a22abb2的