2012高考数学一轮复习--函数的单调性(文).ppt

* * 1)1)理解函数的单调性、最大理解函数的单调性、最大( (小小) )值及其几何意义值及其几何意义; ; 2)2)会运用单调性的定义证明一些函数的增减性会运用单调性的定义证明一些函数的增减性; ; 会运用函数的单调性解题；会运用函数的单调性解题； 1 1、0808全国改编全国改编 已知奇函数已知奇函数f f ( (x x) )满足在区间（满足在区间（ 0,+0,+ ）上是增函数上是增函数, ,且且f f (1)=0(1)=0， 则不等式则不等式 的解集为的解集为_ 友情提示友情提示: :渗透题中条件，借助图象完成求解！渗透题中条件，借助图象完成求解！ x x o o y y 1 1 - -1 1 变式题变式题 已知奇函数已知奇函数 f f ( (x x) )满足在区间满足在区间 （- - ，0 0）上是增函数上是增函数, ,且且f f (2)=0(2)=0， 则不等式则不等式 的解集为的解集为_ 设函数设函数 f f( (x x) ) 的定义域为的定义域为 I I : : 1. 1.函数的单调性定义函数的单调性定义 (1)(1)若对于属于定义域若对于属于定义域 I I 内某个区间上的任意两个自内某个区间上的任意两个自 变量的值变量的值 x x1 1 , , x x 2 2 , , 当当 x x1 1 )f f( (x x 2 2 ) ), , 则就说则就说 f f( (x x) ) 在在这个区间上这个区间上是减函数是减函数. . 2 2）增、减函数定义的等价形式：增、减函数定义的等价形式： 注注: : 1 1）函数是增函数还是减函数是对函数是增函数还是减函数是对定义域定义域内内某个某个 区间区间而言的而言的. . 有的函数在一些区间上是增函有的函数在一些区间上是增函 数数, , 而在另一些区间上可能是减函数而在另一些区间上可能是减函数. . f f (3) f f（a a），则实数），则实数a a的取值范围是的取值范围是_._. 友情提示友情提示：已知函数已知函数f f（x x）为分段函数，）为分段函数，先数形先数形 结合判断其单调性结合判断其单调性，再构造出有关实，再构造出有关实 数数 a a的条件（组）。的条件（组）。 （- -2 2，1 1） x x o o y y x=x= - -2 2 x=x=2 2 函数函数f f（x x）在）在R R上是单增的！上是单增的！ 1)1)取值取值 : : 对任意对任意 x x1 1 , , x x 2 2 MM D D , , 且且 x x1 1 0(0(0)0 得得: : x x 2 2 1 1 x x 1 ; 1 ; 2. 2.试求函数试求函数 f f( (x x)=)=axax+ (+ (a a0, 0, b b0)0) 的单调区间的单调区间. . x x b b 解解: : 函数函数 f f( (x x) ) 的的定定义义义义域域为为为为( (- -, 0), 0)(0, +(0, +), ), 函数函数 f f( (x x) ) 的导函数的导函数 f f ( (x x)=)=a a- - = , = , b b x x2 2 a ax x 2 2 - -b b x x2 2 函数函数 f f( (x x) ) 的单调递增区间是的单调递增区间是 ( (- -, , - - ) ) , , ( ( , +, +), ), a a b b a a b b 函数函数 f f( (x x) ) 的单调递减区间是的单调递减区间是 ( (- - , 0), 0) , , (0, ). (0, ). a a b b a a b b 令令 f f ( (x x)0)0 得得: : x x 2 2 x x ; ; a a b b a a b b a a b b (1)(1)证明证明: : 由已知由已知, , 对任意的对任意的 x x 1 1 , , x x 2 2 ( (-, +, +) ) 且且 x x1 1 0, 0, f f( (x x 2 2- - x x1 1 )1. 1. f f( (x x 2 2- - x x1 1 ) ) - - 10. 10. f f( (x x 2 2 ) )- -f f( (x x 1 1 )0)0 即即 f f( (x x 2 2 )f f( (x x 1 1 ). ). f f( (x x) ) 是是 R R 上上 的增函数的增函数. . 3. 3.函数函数 f f( (x x) ) 对任意对任意 a a, , b b R R 都有都有 f f( (a a+ +b b)=)=f f( (a a)+)+f f( (b b) ) - - 1, 1, 并且并且 当当x x00 时时, , 有有 f f( (x x)1. )1. (1) (1)求证求证: : f f( (x x) ) 是是 R R 上上 的增函数的增函数; ; (2) (2)若若 f f(4)=5,(4)=5, 解不等式解不等式 f f(3(3mm 2 2- - mm - - 2)00 时时, , 有有 f f( (x x)1. )1. (1) (1)求证求证: : f f( (x x) ) 是是 R R 上上 的增函数的增函数; ; (2) (2)若若 f f(4)=5,(4)=5, 解不等式解不等式 f f(3(3mm 2 2- - mm - - 2)0)0 得得: : x x1. 1. 故故 g g( (x x) ) 的单调递增区间是的单调递增区间是 ( (-, , - -1)1) 与与 (0, 1);(0, 1); 单调递减区间是单调递减区间是 ( (- -1, 0)1, 0) 与与 (1, +(1, +). ). 5. 5.已知已知 f f( (x x)=8+2)=8+2x x - -x x2 2 , , 若若 g(g(x x)=)=f f(2(2 - -x x2 2 ), ), 试确定试确定 g g( (x x) ) 的单调区间的单调区间. . 6. 6.已知已知f f( (x x) )是定义在是定义在R R上的增函数上的增函数, , 对对x xR R有有f f( (x x)0, )0, 且且f f(5)=1, (5)=1, 设设F F( (x x)=)=f f( (x x)+ , )+ , 讨论讨论 F F( (x x) ) 的单调性的单调性, , 并证明你的结论并证明你的结论. . f f( (x x) ) 1 1 分析分析: : 这是抽象函数的单调性问题这是抽象函数的单调性问题, , 应该用单调性定义解决应该用单调性定义解决. . 解析解析: : 在在 R R 上任取上任取 x x1 1 , , x x 2 2 , , 设设 x x1 1 )f f( (x x 1 1 ) ) 且且: : F F( (x x 2 2 ) )- -F F( (x x 1 1 )=)=f f( (x x 2 2 )+ )+ - - f f( (x x 1 1 )+ )+ f f( (x x 1 1 ) ) 1 1 f f( (x x 2 2 ) ) 1 1 =f f( (x x 2 2 ) )- -f f( (x x 1 1 )1)1- - . . f f( (x x 1 1 ) )f f( (x x 2 2) ) 1 1 f f( (x x) ) 是是 R R 上的增函数上的增函数, , 且且 f f(5)=1, (5)=1, 当当 x x55 时时 f f( (x x)1.)1. 若若 x x1 1 0,)0, F F( (x x 2 2 ) x x 1 1 5, 5, 则则则则 f f( (x x 2 2 )f f( (x x 1 1 )1, )1, f f( (x x 1 1 ) )f f( (x x 2 2 )1, )1, 综上综上, , F F( (x x) ) 在在 ( (- -, 5), 5) 上上为减函数为减函数, , 在在 (5, +)(5, +) 上上为增函数为增函数. . f f( (x x 2 2 ) )- -f f( (x x 1 1 )0,)0, F F( (x x 2 2 )F F( (x x 1 1 ). ). 1 1- - 0, 0, f f( (x x 1 1 ) )f f( (x x 2 2) ) 1 1 6. 6.已知已知f f( (x x) )是定义在是定义在R R上的增函数上的增函数, , 对对x xR R有有f f( (x x)0, )0, 且且f f(5)=1, (5)=1, 设设F F( (x x)=)=f f( (x x)+ , )+ , 讨论讨论 F F( (x x) ) 的单调性的单调性, , 并证明你的结论并证明你的结论. . f f( (x x) ) 1 1 7. 7.已知函数已知函数 f f( (x x) ) 的定义域为的定义域为 ( (- -, 0), 0)(0, +), (0, +), 且满足条件且满足条件: : f f( (xyxy)=)=f f( (x x)+)+f f( (y y), ), f f(2)=1, (2)=1, 当当 x x11 时时, , f f( (x x)0. )0. (1) (1)求证求证: : f f( (x x) )为偶函数；为偶函数； (2)(2)讨论函数的单调性；讨论函数的单调性； (3)(3)求不等式求不等式 f f( (x x)+)+f f( (x x- -3)3) 2 2的解集的解集. . (1)(1)证明证明: : 在在中令中令 x x= =y y=1, =1, 得得 f f(1)=(1)=f f(1)+(1)+f f(1) (1) f f(1)=0. (1)=0. 令令 x x= =y y= =- -1, 1, 得得 f f(1)=(1)=f f( (- -1)+1)+f f( (- -1)1)f f( (- -1)=0. 1)=0. 再令再令 y y= =- -1, 1, 得得 f f( (- -x x)=)=f f( (x x)+)+f f( (- -1)=1)=f f( (x x). ). f f( (x x) ) 为偶函数为偶函数. . 先讨论先讨论 f f( (x x) ) 在在 (0, +)(0, +) 上的单调性上的单调性, , 任取任取x x 1 1 , , x x2 2 , , 设设x x 2 2 x x 1 1 0, 0, f f( (x x 2 2 )f f( (x x 1 1 ). ). f f( (x x) ) 在在 (0, +)(0, +) 上是增函数上是增函数, , 由由 (1)(1) 知知, , f f( (x x) ) 在在( (- -, 0), 0) 上是减函数上是减函数. . 偶函数偶函数图图图图象关于象关于 y y 轴对轴对轴对轴对 称称, , (2)(2)解解: : 在在中令中令 y y= = , , 得得: : x x 1 1 由由知知 f f( ( )0.)0. x x2 2 x x1 1 1, 1, x x2 2 x x1 1 f f(1)=(1)=f f( (x x)+)+f f( ( ) )f f( ( ) ) = =- -f f( (x x), ), x x 1 1 x x 1 1 则则 f f( (x x 2 2 ) )- -f f( (x x 1 1 )=)=f f( (x x 2 2 )+)+f f( )( )= =f f( ( ). ). x x2 2 x x1 1 x x1 1 1 1 7. 7.已知函数已知函数 f f( (x x) ) 的定义域为的定义域为 ( (- -, 0), 0)(0, +), (0, +), 且满足条件且满足条件: : f f( (xyxy)=)=f f( (x x)+)+f f( (y y), ), f f(2)=1, (2)=1, 当当 x x11 时时, , f f( (x x)0. )0. (1) (1)求证求证: : f f( (x x) )为偶函数；为偶函数；(2)(2)讨论函数的单调性；讨论函数的单调性； (3)(3)求不等式求不等式 f f( (x x)+)+f f( (x x- -3)3) 2 2的解集的解集. . (3)(3)解析解析: : f f x x( (x x-3)=-3)=f f( (x x)+)+f f( (x x - - 3)3) 2, 2, 由由 、 得得 2=1+1=2=1+1=f f(2)+(2)+f f(2)=(2)=f f(4)=(4)=f f( (- -4), 4), 1 1) )若若 x x( (x x- -3)0, 3)0, f f( (x x) ) 在在 (0, +)(0, +) 上为增函数上为增函数, , 由由 f f x x( (x x- -3)3) f f(4)(4) 得得: : 2 2) )若若 x x( (x x- -3)0 3)0 x x( (x x- -3)3) 4 4 x x3 3 - -1 1 x x 4 4 - -1 1x x11 时时, , f f( (x x)0. )0. (1) (1)求证求证: : f f( (x x) )为偶函数；为偶函数；(2)(2)讨论函数的单调性；讨论函数的单调性； (3)(3)求不等式求不等式 f f( (x x)+)+f f( (x x- -3)3) 2 2的解集的解集. . 注注 : :抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题, , 其基本方法是变量代换、换元等其基本方法是变量代换、换元等, , 应熟练掌握它们的这应熟练掌握它们的这 些特点些特点. . 题题(3)(3)解法解法2 2 原不等式等价于原不等式等价于 f f| |x x( (x x- -3)|3)| f f(4(4) () (且且x x 0, 0, x x - - 3 3 0 0), ), 由由 f f( (x x) ) 在在 (0, +)(0, +) 上为增函数得上为增函数得: |: |x x( (x x- -3)|3)| 4. 4. 再进一步求得解集再进一步求得解集. . 7. 7.已知函数已知函数 f f( (x x) ) 的定义域为的定义域为 ( (- -, 0), 0)(0, +), (0, +), 且满足条件且满足条件: : f f( (xyxy)=)=f f( (x x)+)+f f( (y y), ), f f(2)=1, (2)=1, 当当 x x11 时时, , f f( (x x)0. )0. (1) (1)求证求证: : f f( (x x) )为偶函数；为偶函数；(2)(2)讨论函数的单调性；讨论函数的单调性； (3)(3)求不等式求不等式 f f( (x x)+)+f f( (x x- -3)3) 2 2的解集的解集. . f f( (x x) ) 的定义域关于原点对称的定义域关于原点对称, , 且对定义域内的任意且对定义域内的任意 x x, , 有有: : 9. 9.已知函数已知函数 f f( (x x)= )= - -loglog 2