量子力学中科大课件Q10讲稿第十章势散射理论.doc

第十章 势散射理论10.1一般描述1,散射(碰撞)实验的意义及分类散射(碰撞)实验是指具有一定动量的入射粒子束流，射向处于气、液、固体形态的靶粒子上，和靶粒子相互作用(电-弱作用或强作用)之后，入射粒子、靶粒子或新生出的粒子由相互作用的局限区域散射飞出。除入射粒子的流强和能量之外，散射实验主要测量出射粒子的种类、能量、角分布(微分截面)、极化状态、角关联等等。在实验和理论计算中，可以近似认为入射粒子束流是单色平面波, 而(不一定和入射粒子同类的)出射粒子束流是(渐近自由的)出射球面波，入射粒子和靶粒子的相互作用导致入射和出射粒子不同状态之间的跃迁。各种类型的跃迁可以在设定相互作用之后由散射理论来计算。理论计算的结果可以直接经受实验的检验，因此散射(碰撞)实验在对微观粒子相互作用以及它们内部结构的研究中处于一种特殊的地位，它们是原子物理、核物理的重要研究手段，是粒子物理几乎唯一的研究手段。 散射(碰撞)过程可以区分为以下三大种类： 弹性散射过程 非弹性散射过程 (粒子的某种内部激发态) 碰撞反应过程 （+ ）“弹性散射”过程中，不存在粒子种类的改变，而且不发生机械能（、粒子总动能和相互作用势能之和）和粒子内能之间的转化，因此弹性散射中机械能守恒；“非弹性散射”。存在机械能与粒子内能之间的转化。比如，电子在原子上的散射造成靶原子内部状态的激发（或退激发）；“碰撞过程”。这是纯粹由于入射复合粒子、之间的组分粒子交换导致新复合粒子、出射，即（重新）组合反应。它们属于一般的形式散射理论处理的范围。比如，电子使靶原子电离放出束缚电子，或是各种原子核反应。这时没有新粒子产生和旧粒子湮灭，只是复合粒子在碰撞下的分解或重新组合，所以参与反应的粒子守恒。“反应过程”。这时出现新旧粒子的产生和湮灭，从而也造成出射粒子、不同于入射粒子、。比如正负电子对碰撞湮灭成为两个光子，自由飞行中子衰变成质子和电子。由于过程中有新旧粒子产生和湮灭，参与反应的粒子不再守恒。它们属于量子场论处理的范围。散射(碰撞)相互作用可以分为两大类：可以用一个局域的空间变数的函数势函数描述的情况，这时的散射称为势散射；不可以用一个局域的空间变数的函数的情况。这些属于形式散射理论和量子场散射理论。有时也把除了弹性散射以外的全部散射(碰撞或反应)过程统称为非弹性散射过程。本章只研究弹性的势函数散射的过程，但其中有些概念对非弹性势散射(乃至碰撞反应过程)也适用。2,基本描述方法 微分散射截面设入射粒子束的流密度为，其量纲为，在散射区域经受和靶粒子的相互作用之后，朝方向散射出去。设单位时间内沿方向单位立体角散射出去的粒子数目，其量纲为。于是，定义沿方向散射的微分散射截面为 (10.1)这里的量纲为。如果入射粒子束用平面波描述(如同下面所做的那样)，则，这里的量纲显然是不正确的，那是由于入射波函数的量纲不正确的缘故。但只要在计算分子的过程中也使用这个入射波函数，那么，作为比值的的量纲就仍然是正确的。总散射截面为 (10.2)由此可以看出，等于每秒每平方厘米一个入射粒子和该面积内一个靶粒子相互作用时散射粒子的份额。3,入射波、散射波和散射振幅下面计算中假定对和散射这种两体问题选取了质心系，并且分离掉了质心的平动运动。于是，这里所研究的势散射总是入射粒子以折合质量在静止势场中散射，这里为靶粒子到入射(或散射)粒子的矢径。通常，入射粒子束流不可能绝对的单色，入射粒子波函数应当以某种形式的波包来描述，但这种描述不但本身难以确切和统一化 (事实上，不同装置产生的同一种类粒子束流，其非单色情况也会稍有差别)，从而给散射理论的处理带来复杂性、不确定性。因此，下面总是将入射波理想化为平面波，并假定它沿轴入射，即为。 进一步的理论分析表明，只要入射束流足够单色(即，束流的动量波函数足够好地集中在平均值附近)，这里所做的平面波近似将不会带来影响，就是说，此时散射结果与的具体形状无关 参见 J.R. Taylor，Scattering Theory：The Quantum Theory on Non-relativistic Collisions，John Wiley & Sons，Inc.，1972。远离散射中心（）的散射粒子，其状态散射波将是一个渐近形式为的出射球面波（这个波的位相是，盯视波形上某个选定的位相数值，随增加增大，表明向外传播）。这里为出射粒子的方位角，为相对于入射粒子飞行方向的偏转角又称散射角，为散射中心到探测点的距离，为散射波的波数，由于是从固定力心上的弹性散射，也就是入射波的波数。其中，描述出射粒子朝向不同方向散射的几率振幅，称为散射振幅。现在来计算上面散射波函数的平均流密度。即往算将此平均流密度表达式写入球坐标，注意，简单计算即得由此可知，当时散射球面波的流密度矢量为将此流密度矢量乘以球面元，即得沿方向在立体角元内的散射流注意这时入射流密度，从而微分截面就等于也就是说， (10.3)这说明，在平面波入射下，正能量的入射粒子经散射后的散射球面波的渐近表达式若为形式，其中函数的模平方即为所求的微分截面。这时散射问题就可以明确地表述成为：求解势函数的定态方程下述渐近形式的正能量解，(10. 4)得到散射振幅后，按（10.3式）即得所求的微分截面。下面两节将用不同方法去求这个正能量定态解的渐近表达式，主要是其中的第二项散射球面波的渐近表达式。 对（10.4）式应注意两点，其一，右边并未归一，也无法归一，只要求其中第一项入射波是的形式，则整个解的第二项散射波项前面的系数自然就是散射振幅；其二，时，右边两项之间不存在干涉。这是因为它们的交叉项（干涉项）正比于，由于足够大，因此当时此因子将随快速振荡。但探测器总会有一个小张角，所以只要探测器不放置于附近，此项因子在内将由于快速振荡而被抹去。也就是说，(通常均放置在处的)探测器只要不位于附近，是检测不到入射波以及它与出射波的干涉的。这也正是仅用散射波（而不计入项）来计算出射流密度的物理根据。10.2分波法 分波与相移1,分波法的基本公式势场为中心场时，、守恒。射过程可以得到下面简单直观的理论描述。这时散射将是绕轴旋转对称的，就是说，散射分布与角无关。这时散射问题归结为：在渐近条件之下，求解正能量定态方程为此，可设解的形式为 （10. 5）其中是此展开式的待定系数。能够事先假定具有这种展开形式的理由是：这时守恒，是个好量子数，如果将入射平面波分解为不同分波的叠加，相应于每个的分波将会各自独立地散射，于是不同的分波可以分开来处理；另外，守恒使也是好量子数。实际上，问题已与角无关，具有绕入射轴旋转对称性。于是应当直接取为零。这样，本来应当按球谐函数展开的做法，现在就简化成按Legendre多项式展开。下面任务就是去确定的形式和系数数值。将（10.5）式代入定态方程。不同的分波彼此完全分离，相应方程分别为零。得这里。作变换，得 (10.6)下面研究这个方程的渐近行为：当(确切说应当为)时，函数趋于满足方程此方程的解为，这里是待定常数。于是可得的渐近表达式由下面计算知道，为了能够从整个解中分离出平面波的项，这里已予先令正弦函数前面的振幅为2。同时，已从待定位相中分离出，剩下当作新的待定常数。于是，代入(10.5)式，得另外，平面波可展开为将上面解渐近式的第一项和此式进行比较，就求得展开系数的表达式。将它们代入渐近表达式的第二项，得到最后结果为，这里。于是得到分波法下的散射振幅表达式， (10.7)公式表明，中心场散射振幅计算可归结为散射中各个分波的相移计算。注意，这组相移完全确定了散射。如果某分波的相移为零或为，该分波的散射振幅将为零。由的模平方可得微分截面，再进一步对积分可得总截面，由于Legendre多项式有如下正交归一关系于是得到 (10.8)这里，展开式中的每一项代表该分波的分波截面。因此，在中心场的分波法中，微分截面和总截面的计算（(10.7)式和(10.8)式）都归结为各个分波相移的计算。2,分波法的一些讨论i,实际计算中对求和不可能也不必要算到无穷多项。这里按物理分析给出 的一个估值。一般而言，值越大的分波所对应的角动量越大，离心的倾向也越大，从而所谓瞄准距离也越大，受中心力场的影响就愈小，因此对应的相移也越小。当增加到相应的时，就不必要再考虑这个分波(以及更大值的分波)了。这个可如下估算。由于，故得，而可代以角动量，可代以，于是得到这说明，入射粒子能量越大（波数越大）或是力程越长，需要考虑的分波数就越多。反之，对低能粒子入射到短程势的情况，所要考虑的分波数就很少。事实上，当时，只需要考虑的分波，这时由于，说明在质心系中低能散射角分布是各向同性的。ii,相移是如下两种渐进径向波函数的位相差：有的和无的。如上所说，当或时，该分波不发生散射，仿佛从势场中自由透过。一般情况，根据实验测得的曲线，用最小二乘法拟合可以确定一组参数。这组是研究入射粒子与靶粒子之间相互作用的重要资料；根据所得这组，可以近似复原散射势的形状。为复原，原则上只需要知道一个相移 (比如波相移) 的函数形状就可以了如果还有分立的(负)能级的话，还需要知道分立态波函数渐近式中的(这里)。详见L.D.朗道，E.M.栗弗席茨，量子力学, 下册， 高等教育出版社，1881年， 第 252页。iii,中心势正负号与正负号的关系。 由于出射球面波的位相为，于是将使达到某个固定值所需要的值较小；而则会使达到同一个值所需要的值变大。因此，注意，与微分截面不同，分波散射截面和总截面只依赖于的数值，并不依赖于的符号。3,光学定理利用这里的分波法基本公式，可以证明散射理论中的一个普遍规律，即，总截面(包括非弹性散射和吸收截面在内)和弹性散射的朝前散射振幅虚部成正比，即 (10.9)证明：由上面公式得于是这一关系式是个普遍的规律。就是说，不论导致散射的相互作用是否能够用势函数描述，也不论入射粒子静质量是否为零，以及入射粒子能量高低，这一关系式都成立。它的物理解释为，总截面是入射波减弱的一种度量(越大，入射波的减弱越大)，而这种减弱是由于入射波和(同方向的)朝前散射波相消干涉的结果。于是，朝前散射波的波幅越大，这种相消干涉也越大(它从入射波中移去足够的入射流，以说明吸收反应、非弹性散射以及其余的弹性散射)，减弱也越多，总截面也就越大。10.3散射分道的概念1, 散射分道概念如果散射中相互作用势和自旋无关，散射中入射粒子和靶粒子的自旋态分别保持不变。这正是前面所考虑的情况。但如果相互作用势中含有自旋相互作用，则散射前后，守恒的自旋量子数虽然保持不变，不守恒的自旋量子数将会发生变化。这可能导致入射粒子和靶粒子的自旋状态在散射前后发生改变。通常，散射分道既可以用两个散射粒子自旋态的耦合表象基矢来标记，也可以用无耦合表象的基矢来标记，视方便而定。若自旋初态为基矢，称为第入射分道；自旋末态为基矢，称为第出射分道；称的散射为散射分道。一般说，两个散射粒子系统的自旋初态或末态都不止一个，所以带自旋的散射将会有多个散射分道。原则上每个分道的散射振幅(从而微分截面)各不相同，要分别计算。2, 渐近正能量解的表达式这时散射问题就可以明确地表述成为：当入射平面波为时，求解势函数的定态方程下述渐近形式的正能量解，(10. 10)这里假定出射自旋态为。这就是自旋态从的自旋散射。一旦求得散射振幅，即得微分截面。 （10.1）式应注意两点。其一，右边并未归一，也无法归一，只要求其中第一项入射波是的形式，则整个解的第二项散射波项前面的系数自然就是散射振幅；其二，时，右边两项之间不存在干涉。这是因为两项的交叉项（干涉项）正比于，由于足够大，因此当时此因子将随快速振荡。但探测器总会有一个小张角，所以只要探测器不放置于附近，此项因子在内将由于快速振荡而被抹去。也就是说，(通常均放置在处的)探测器只要不位于附近，是检测不到入射波以及它与出射波的干涉的。这也正是仅用散射波（而不计入项）来计算出射流密度的物理根据。右边渐近形式中，第一项为入射态，带着这个自旋初态，第二项为渐近形式下的球面波出射态，带着这个自旋末态。注意，通常和受实验按排和测量意图所决定，不一定是自旋耦合（或无耦合）表象中的基矢。为理论上不失普遍性，这里考虑的自旋初末态是任意的，于是散射也就不一定是某个分道的散射。相应于这两个自旋初末态的散射截面(常称为极化截面)为 (10.11)和无自旋情况类似，因为入射平面波和（渐近形式下的）出射球面波之间的干涉项当时因快速振荡而被抹去，可将写为(10.12)下面去求这个正能量定态解的渐近表达式，主要是其中的第二项散射球面波的渐近表达式。即求的渐近形式。10.4, 分道散射振幅计算 Green函数方法1, Green函数方法与散射积分方程现在问题是：求解入射粒子能量的定态方程 (10.13)的正能量解，该解时应当具有下面的渐近形式 (10.14)解：引入和。(10.13)式改写为 (10.15)引入与此方程相应的格林函数方程， (10.16)已知将有助于求解方程。因为乘(10.16)以并对积分，得将这个方程与（10. 15）式比较即知，积分与只相差一个齐次方程的通解。于是得到 (10.17)在渐近形式下，右边第一项即为；而第二项内只有Green函数含变数，于是对的渐近要求将施加到上，要求它在时趋于出射球面波。方程(10.17)的物理意义很清楚：在点附近范围内发生势散射，形成了强度为的散射点源，这个点源按出射Green函数传播到点，就是对点概率幅的贡献。全部散射点概率幅贡献之和，再叠加上入射波的波幅，即为点的总概率幅。现在任务是去求出时趋于的格林函数。为此，将方程两边同乘以无奇点的正规算符（），得由下面推导可知这里前应取正号，才能满足边条件() (若取，将给出另一种格林函数：它当时趋于渐近的入射球面波)。现在来计算这个积分， 现在可以将积分变数延拓到复平面，利用留数定理来计算这个积分。在为复数的平面上，被积函数有两个一阶极点A和B，它们分别位于，也即 、这里只要求小量，它的数值并不重要，因为积分完成之后要令它趋于零。在上半平面选取如图的半园回路，考虑到在半园周C上积分随半径趋于无穷而趋于零，于是得到 （10. 18）显然，这个表达式满足先前所说的：当时趋于的边条件。最后得到势散射理论中处于中心位置的积分方程, (10.19)方程(10.19)右边第二项已经满足所设定的的边条件，并且它代表出射球面波。方程(10.19)是一个积分方程，它是下面迭代法近似求解的出发点。2, 一阶Born近似当势较弱，或者它相当局域(即显著不为零的区域较小)，或者入射粒子能量足够大等情况下，上面积分方程的第二项在数值上将显著小于第一项，即 (对任意值) （10.20）因此在对积分方程（10.19）求解时可对其作一级Born近似：将第二项积分号下的代以它的零阶近似；同时，由于，对格林函数中的分母取零阶近似（即令其为）、而对分子中的位相应取高一阶近似（即一级近似），至此，为表示简洁引入两个波矢记号：入射波波矢， 散射波波矢由于现在是固定势场中的弹性散射，两个波矢的数值相同，仅仅方向不同。注意，于是有 。这里 是入射粒子动量的改变，由称传递动量。由图可得在一阶Born近似简称Born近似下，的渐近表达式为 （10.21）由此，当用左乘（10.19）或（10.21）式来选定出射分道，并利用（10.12）式，即知：在Born近似下，若选定出射自旋态为，散射振幅的表达式为 (10.22)这个公式和通常无自旋散射振幅表达式的差别仅在于：将被积函数中的相互作用势换成它在自旋初态和自旋末态夹积下的矩阵元。如上所说，若和是耦合（无耦合）表象的两个基矢，则相应的是某个分道的散射振幅。注意，的模值只依赖于(以及)，但出射的方向(因而)依赖于。这个公式说明：一阶Born近似下，散射振幅正比于势场中相应的富里叶分量。 公式一般地表明了： i, 散射中，大动量传递(大值)的散射截面比较小，因为积分号内指数因子（当变数变化时）振荡加剧导致积分数值减小；ii, 对高能(较大)入射粒子，若要不为零，要求较小，如此才能避免被积函数的快速振荡，换句话说，高能散射多集中于朝前方向。若V的空间函数为中心场，则（10. 22）式积分中的角度部分可以事先算出，得到中心场情况的公式 (10.23a)以及 (10.23b)这里。公式表明，入射粒子的动量和散射角都是通过的数值进入截面的。3,Born近似适用条件分析 张永德，大学物理，1988年，第6期，第11页。如前所说，若要Born近似成立，充要条件是基本积分方程(10.13)右边第二项数值上要远小于第一项(对任意值)。只有这样，对第二项才可以做前述Born近似。而若要这个积分项数值小，需要下面三个条件中至少有一个成立 (10.24)当然，联合作用会使近似更好。这些结论是由于，积分项的主要贡献来自的不接近于零的基本区域，如果这个区域相当小(和入射粒子波长 即 相比较)，也即势相当局域，这项积分的数值自然就小；其次，若本身很弱，这项积分也不会大；再就是，若入射粒子能量很大，就很大，被积函数中的相因子将随积分变数 变化快速振荡，这使积分值急剧减少。对积分进行估值可得如下两个Born近似适用条件的表达式. 朗道，E.M. 栗弗席茨，量子力学(非相对论理论)，高等教育出版社，1981年。， (10.25)这里是势场（不显著为零的）区域的尺寸，为入射粒子的速度。第一个不等式是说弱势。它只涉及势场本身，不涉及入射粒子的能量。势能在数值上应显著小于（将粒子局域在范围时按不确定关系所得的）动能；第二个不等式是说高能。只要入射粒子能量足够高，不论势场形状如何Born近似总能成立。于是，一个散射势，如果低能时可以对它做Born近似，则高能时一定更可以；反之不一定。Coulomb势是个长程势，对它显然难以给出一个确定的值。这时，可将第二个不等式右边代以(同时左边的V中也有同一个)，于是得，也即如果，则要求(为精细结构常数)。当不大并且入射粒子速度不小的情况下，Born近似对Coulomb场也是成立的。4,无自旋例算i,Coulomb散射这时，是中心场情况，于是用(10.23a)式，得 (10.26)这个积分在处呈现不确定性，这种不确定性在涉及Coulomb场的许多积分中都存在。它可用下面常用的技巧将它避免过去：在被积函数中人为插入一个衰减因子（），待算完积分之后，再令取极限，以消除衰减因子的影响。这样可得 (10.27)这正是著名的Rutherford散射公式，它是1909年Rutherford研究-粒子在金属薄箔上散射时提出的。(10.27)式表明库仑散射有两个特点：其一，集中于小角，其二，截面反比于入射粒子能量平方。ii,电子在原子上的散射屏蔽效应电子和多电子原子散射时，入射电子除了受原子核库仑吸力作用之外，还受核外各个电子库仑斥力的作用。严格说，这是一个多体彼此相互作用的问题。但如果将核外各个电子的作用近似（！）代以一个分布电荷的作用，就可以将这个问题化为两体散射问题，并进而简化为电子在固定力心上散射的单体问题。这时散射势由核及核外电子云的Coulomb作用组成，表达式如下 (10.28)代入非中心场情况的(10.22)式，得这里已经利用了下面两个积分公式， 和 求这些积分时也要用到上例中Coulomb场积分技巧。令 (10.29)称为Born近似下的弹性散射形状因子。由于方向固定，而可能各向异性，散射形状因子一般依赖于方位角。最后得 (10.30)对这个例子稍作一点讨论：i, 如果只考虑原子核散射，不考虑核外电子云散射，则，就转化为上例库仑散射；ii, 由积分估值可知；iii, 核外电子屏蔽如用Yukawa势来代替，相应计算也很容易进行；iv, 这里也可以看作是某些电子波函数的模平方。5, 分道之间的干涉问题分道干涉区分为三种情况：i, 入射分道之间的干涉， ii, 出射分道之间的干涉，iii, 散射分道之间的干涉。当（10.22）式中自旋初、末态、是叠加态时，可用耦合（无耦合）基矢将它们展开，设展开系数分别为和，于是散射振幅分解成为 (10.31a)这里为分道的散射振幅。相应微分截面为 (10.31b)显然，当或为叠加态时，各出射分道之间和各入射分道之间都将存在干涉。此时散射截面一般不能表示为各分道截面按出（入）射态的展开式系数模平方的非相干叠加。 对于极化粒子入射到极化靶上的极化情况。这时作为纯态的初态中各成分之间将出现干涉，即入射分道干涉。但求总截面中将取为耦合（无耦合）表象的全部基矢，分别算出各出射分道截面并对它们全体求和“非相干”的概率相加。这时入射分道虽然彼此干涉，但各出射分道之间不干涉，仍为非相干求和： (10.32)这是由于，伴随测量而来的波包坍缩总是导致相干性的破坏，在不同出射测量造成的不同塌缩之间（如Feynman说的“不同选择”之间）永远不存在干涉。但要注意，不能将这句话机械地理解为“出射分道之间总是非相干叠加”！因为，不同类型的测量将迫使散射末态有不同样的塌缩，出射分道之间是否存在干涉还依赖于测量何种自旋末态在测量一些彼此非正交的末态的情况下，不能得此结论。然而，通常情况下，对自旋末态测量是针对彼此正交的自旋末态的基矢进行的。这时将不存在各出射分道之间的干涉。这使得总截面就等于各出射分道截面之和。这种结果通常简称为“对末态求和”。对于非极化粒子入射到非极化靶上的情况。即初态为一些基矢的非相干的混合，这里0是此混态系综中态出现的概率。这时不会出现初态中各成分之间的干涉。此时相应某个出射道的微分截面为 (10.33)这里，截面计算结果表现为对初态各成分结果求平均，简称作“对初态平均”。此时同样分析可得，总截面仍为各出射道微分截面之和， (10.34)总之，非极化散射总截面的计算原则是：“对初态平均”+“对末态求和”。举个简单的极化情况例子。假设两个可分辨的自旋粒子的自旋初态为叠加态，它们分别为和。于是自旋初态为 这里已经用了从无耦合基矢向耦合基矢的转换关系（当然也可以不做这种转换，视末态如何、要求如何而定）。假如自旋末态是一般态（就是说不想进一步关心它的展开），相应的微分截面即为这说明，如上所述，当相互作用与自旋有关，而且初态是自旋叠加态时，计算将存在入射分道之间的干涉，一般不是各分道截面以展开式系数的模方作权重平均的非相干叠加。6, 自旋权重问题通过一个非极化简单例子来说明。一般情况最后再说。两个自旋的可分辨粒子，散射势为，求非极化截面。这时 。这里，是系统的总自旋。由的形式可知，散射中总自旋和第三分量守恒。于是，从耦合表象观点来看，（共16个分道中）仅存如下4个分道截面， 由于是非极化情况，自旋初态的4个耦合基矢出现的概率相等。非极化截面为权重平均值，注意，由于令、改变的相关矩阵元为零，“末态求和”已经消失。思考题以无耦合基入射来分析此问题。两个粒子自旋可以同时翻转吗？如果入射态是耦合基，而测量末态为，结果如何？10.5全同粒子散射1,全同性原理在散射问题上的应用设自旋分别为、两个粒子组成总自旋为的体系，其自旋耦合基矢为。若将、交换，按角动量耦合理论可得 (10.35)可以用两个费米子的特殊情况直接检验这个公式。这时，单态，自旋波函数反称：；三态，自旋波函数对称：。由于，上式成为 （10.36）对Fermion已用了总为整数的事实。这说明：两个全同粒子体系的总自旋波函数是对称或反对称，完全由总自旋的奇偶性决定。即 两全同玻色子体系，总自旋=奇数，总自旋波函数必为反对称的；=偶数，总自旋波函数必为对称的。 两全同费米子体系，总自旋=奇数，总自旋波函数必为对称的； =偶数，总自旋波函数必为反对称的。由于全同玻色(费米)子体系总波函数必须是对称(反对称)的，于是得到结论：两个全同粒子体系，不论处于散射态或束缚态（如氦核外电子），也不论是玻色子还是费米子，当总自旋=奇数时，体系空间波函数必为反对称；当总自旋=偶数时，体系空间波函数必为对称。两个全同粒子交换（）时。，于是对称化(反称化)空间波函数的渐近形式为(10.37)于是有 S=偶数，对两全同粒子 S=奇数，对两全同粒子 对两个可分辩粒子(10.38)脚标和分别表示对称和反对称。这里为了便于和全同粒子情况比较，对两个可分辩粒子也同时测量两个粒子，所以是两个概率之和。注意，波函数的（10.37）表达式中是求和。这是由于，从理论角度，全同性原理本来就主张，在归一化前提下，概率幅对称化（反称化）的叠加。这从(10.37)中第一项（以它为归一化标准）可以清楚地看出。另外，也可以从实验角度看待，在两个全同粒子散射时，下图两种过程已经一并计入。就是说，在质心系中所测到的沿角散射的粒子，实验仪器无法区分它们属于来自左边入射的还是来自右边入射的，已将这两种过程的振幅合并相干叠加了。注意，(10.38)是中全同粒子散射公式表明，存在可正可负的交叉项，即干涉项，它体现了源自全同性原理交换作用的干涉效应。也从理论角度充分说明：“不同来源的光子不能相互干涉”是不正确的。2,例算i,两个全同的波色子散射。这包括散射、散射、核散射等自旋为零的粒子散射以及其他自旋为整数粒子的散射(如自旋1的、散射等)。这时散射微分截面中应当使用空间对称波函数还是反对称波函数，要看耦合总自旋是偶数还是奇数决定。例如，对和散射而言，总自旋，因此这两个散射所使用的微分截面均为 最后一项是干涉项，它正是基于全同性原理体现出的粒子的波动性，是纯量子效应（见第六章结尾部分的叙述）。再举个例子，设两个自旋为1的全同粒子散射，求非极化散射微分截面。这时，总自旋 有1+3+5共9个自旋态，其中的自旋态有3个，它们的空间波函数(按前面所说)均为反对称的，其余6个自旋态对应总自旋为0或2，空间波函数均为对称的。假如散射过程是非极化的，即入射粒子与靶粒子均未极化，它们自旋取向都是无规的，则各个自旋态出现的概率不仅相等，而且它们之间为非相干迭加。非极化截面等于相应截面对这些自旋初态所取的平均值，即 这里和下面情况类似，取实部的交叉项可正可负，体现了源自全同性原理的交换力所带来的干涉效应。ii,两个全同的费米子散射。这包括散射、散射、散射、散射等。这时，对应自旋三重态的微分截面必须使用反对称空间波函数；而对应于自旋单态的微分截面必须使用对称空间波函数。由此可知，在对自旋初态平均时，相应于对称空间波函数的截面的统计权重为，对应于反对称空间波函数的截面的统计权重为。因此非极化散射截面应为以上分析是在自旋耦合表象中进行的。其实，这种分析也可以在无耦合表象中进行。简记无耦合基为。于是自旋初态有以下四个：，它们的统计权重各为。现在分三种情况来讨论：当入射粒子和靶的自旋初态为，即时，由于现在势散射下和守恒，出射自旋态不变。但由于两全同费米子的自旋一直相同而无法区分在角处测得的是入射前的哪一个粒子，这导致干涉现象。由于现在自旋态对称，所以空间波函数反对称。于是此处； 当自旋初态为，即时情况类似，结果也为；当自旋初态为，即时，由于自旋第三分量取向不同，入射粒子与靶粒子已可区分，这时在角处的微分截面总计（对应于入射粒子和靶粒子计数总和)为 ；