高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1.2两角和与差的正弦导学案苏教版.docx

3.1.2 两角和与差的正弦课堂导学三点剖析1.两角和与差的正弦公式应用初步【例1】求值.（1）sin;(2)sincos-sinsin.解：（1）sin=sin(-)=sincos-cossin=-=.(2)原式=sincos-cos(-)sin=sincos-cossin=sin(-)=sin=.温馨提示 解决给角求值这类问题，一般是将所求角表示成两个特殊角的和或差，就可以利用两角和或差的正余弦公式求值.在运用两角和或差的正余弦公式前注意结合诱导公式先化简.2.两角和与差的正弦公式的综合应用【例2】已知，cos（-）=，sin（+）=，求sin2的值.思路分析：如果发现2=（-）+（+）的关系，便可迅速获得该题的解答；否则，若采用将cos（-）和sin（+）展开的做法，解答过程不仅要用不少三角函数公式，而且大大增加了运算量.解：由，得-（0，），+（，）.sin（-）=.cos（+）=.故sin2=sin（-）+（+）=sin（-）cos（+）+cos（-）sin（+）=（）+（）=-.温馨提示（1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解这类问题应认真分析已知式中角与未知式中角的关系，再决定如何利用已知条件，避免盲目地处理相关角的三角函数式，以免造成解题时不必要的麻烦.（2）要注意观察和分析问题中角与角之间的内在联系，尽量整体的运用条件中给出的有关角的三角函数值.（3）许多问题都给出了角的范围，解题时一定要重视角的范围对三角函数值的制约关系，从而恰当、准确地求出三角函数值.3.变形或逆用两角和与差的正弦公式【例3】化简下列各三角函数式.（1）sin-cos;(2)sin(x+60)+2sin(x-60)-3cos(120-x).思路分析：采取配系数的方法，构造和、差角的正弦公式，再利用和、差角的正弦公式化简.解析：（1）sin-cos=2(sin-cos)=2(sincos-cossin)=2sin(-).(2)解法1：原式=sinxcos60+cosxsin60+2sinxcos60-2cosxsin60-cos120cosx-sin120 sinx=（cos60+2cos60-sin120）sinx+(sin60-2sin60-cos120)cosx=(+2-)sinx+(-2+)cosx=0;解法2：原式=sin(x+60)+cos(x+60)+2sin(x-60)=2sin(x+60)+ cos(x+60)+2sin(x-60)=2cos60sin(x+60)+sin60cos(x+60)+2sin(x-60)=2sin60+(x+60)+2sin(x-60)=2sin(x+120)+2sin(x-60)=-2sin(x-60)+2sin(x-60)=0.温馨提示（2）中解法1是顺用两角和差的正弦、余弦公式计算.解法2的关键在于构造能逆用两角和差的正弦公式的式子.观察到（x+）和（-x）互补是顺利解决问题的前提条件，这种技巧在三角函数解题中经常用到.而这往往又是容易忽略的地方.各个击破类题演练1求下列各式的值.（1）sin75；（2）sin15；（3）sin13cos17+cos13sin17.解：（1）sin75=sin（45+30）=sin45cos30+cos45sin30=-=；（2）sin15=sin（45-30）=sin45cos30-cos45sin30=-=；（3）原式=sin（13+17）=sin30=.变式提升1已知cos=，（0，），求sin（-）.思路分析：先求出sin的值，再代入公式运算.解：cos=，（0，），sin=.sin（-）=sincos-cossin=.类题演练2已知cos=，sin（-）=，且、（0，），求sin的值.解：cos=，（0，），sin=.又，（0，），-（-，）sin（-）=，cos（-）=.sin=sin-（-）=sincos（-）-cossin（-）=（）=.变式提升2已知cos（+）=，cos2=-，、均为钝角，求sin（-）.思路分析：将已知条件整体使用，并且发现-=2-（+），因此要求sin（-）的值，关键是求出sin（+）及sin2.解：、（90，180），+，2（180，360）.cos（+）=0，cos2=-0，+，2（180，270）.sin（+）=.sin2=.sin（-）=sin2-（+）=sin2cos（+）-cos2sin（+）=（-）（）-（-）（）=.类题演练3求值：2sin50+sin10(1+tan10).解析：原式=（2sin50+sin10）sin80=(2sin50+2sin10)cos10=2sin50cos10+sin10cos（60-10）=sin（50+10）=sin60=.变式提升3（1）若sin（+）=,sin(-)=,则=_.思路分析：欲求=,从而转化为由条件求出sincos、cossin.解析：由得解得，sincos=,cossin=.则有=5=.（2） 已知A，B，C是ABC的三个内角，且lgsinA-lgsinB-lgsinC=lg2.试判断此三角形的形状.解析：由lgsinA-lgsinB-lgcosC=lg2可得，lgsinA=lg2+lgsinB+lgcosC=lg2sinBcosC，即sinA=2sinBcosC.A=-(B+C),