江苏高考数学复习数列中的证明探索性和存在性不定方程的解等综合问题.docx

专项限时集训(六)数列中的证明、探索性和存在性、不定方程的解等综合问题 (对应学生用书第123页)(限时：60分钟)1(本小题满分14分)已知数列an是各项均为正数的等比数列，a34，an的前3项和为7.(1)求数列an的通项公式；(2)若a1b1a2b2anbn(2n3)2n3，设数列bn的前n项和为Sn，求证：2.解(1)设数列an的公比为q，由已知得q0，且数列an的通项公式为an2n1.4分(2)证明：当n1时，a1b11，且a11，解得b11.6分当n2时，anbn(2n3)2n3(2n23)2n13(2n1)2n1.an2n1，当n2时，bn2n1.8分b11211满足bn2n1，数列bn的通项公式为bn2n1(nN*)数列bn是首项为1，公差为2的等差数列Snn2.10分当n1时，12.当n2时，.22.14分2(本小题满分14分)(2017盐城市滨海县八滩中学二模)如果无穷数列an满足下列条件：an1；存在实数M，使anM.其中nN*，那么我们称数列an为数列(1)设数列bn的通项为bn5n2n，且是数列，求M的取值范围；(2)设cn是各项为正数的等比数列，Sn是其前n项和，c3，S3，证明：数列Sn是数列；(3)设数列dn是各项均为正整数的数列，求证：dndn1. 【导学号：56394106】解(1)bn1bn52n，当n3，bn1bn0，故数列bn单调递减；当n1,2时，bn1bn0，即b1b2b3，则数列bn中的最大项是b37，所以M7.2分(2)证明：cn是各项为正数的等比数列，Sn是其前n项和，c3，S3，设其公比为q0，c3.整理，得6q2q10，解得q，q(舍去)c11，cn，Sn2Sn2，S2.对任意的nN*，有22Sn1，且Sn2，故Sn是数列.8分(3)证明：假设存在正整数k使得dkdk1成立，由数列dn的各项均为正整数，可得dkdk11，即dk1dk1.因为dk1，所以dk22dk1dk2(dk1)dkdk2.由dk22dk1dk及dkdk1得dk22dk1dk1dk1，故dk2dk11.因为dk2，所以dk32dk2dk12(dk11)dk1dk12dk3，由此类推，可得dkmdkm(mN*)又存在M，使dkM，mM，使dkm0，这与数列dn的各项均为正数矛盾，所以假设不成立，即对任意nN*，都有dndn1成立.14分3(本小题满分14分)设数列an满足1，nN*.(1)证明：|an|2n1(|a1|2)，nN*；(2)若|an|n，nN*，证明：|an|2，nN*.证明(1)由1，得|an|an1|1，故，nN*，所以n，故|an|n，均有|an|2，取正整数m0log且m0n0，则2n0m02n0log|an0|2，与式矛盾综上，对于任意nN*，均有|an|2.14分4(本小题满分16分)(2017江苏省无锡市高考数学一模)已知n为正整数，数列an满足an0,4(n1)ana0，设数列bn满足bn.(1)求证：数列为等比数列；(2)若数列bn是等差数列，求实数t的值；(3)若数列bn是等差数列，前n项和为Sn，对任意的nN*，均存在mN*，使得8aSnan216bm成立，求满足条件的所有整数a1的值解(1)证明：数列an满足an0,4(n1)ana0，2anan1，即2，数列是以a1为首项，以2为公比的等比数列.4分(2)由(1)可得：a12n1，ana4n1.bn，b1，b2，b3，数列bn是等差数列，2，a，化为：16tt248，解得t12或4.8分(3)数列bn是等差数列，由(2)可得：t12或4.t12时，bn，Sn，对任意的nN*，均存在mN*，使得8aSnan216bm成立，8aan216，a，n1时，化为：a0，无解，舍去t4时，bn，Sn，对任意的nN*，均存在mN*，使得8aSnan216bm成立，8aan216，na4m，a12.a1为正整数，k，kN*.满足条件的所有整数a1的值为.16分5(本小题满分16分)已知数列an满足：a1，a2，2anan1an1(n2，nN*)，数列bn满足：b10,3bnbn1n(n2，nN*)，数列bn的前n项和为Sn.(1)求证：数列bnan为等比数列；(2)求证：数列bn为递增数列；(3)若当且仅当n3时，Sn取得最小值，求b1的取值范围. 【导学号：56394107】解(1)证明：2anan1an1(n2，nN*)an是等差数列又a1，a2，an(n1)，bnbn1(n2，nN*)，bn1an1bnbn(bnan)又b1a1b10，bnan是以b