2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第7章第46讲导数的综合应用.ppt

与利润及其成本有关 的最值问题 假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为 点，且不考虑其他因素，记余下工程的 费用为y万元 (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)当m640米时，需新建多少个桥墩才 能使y最小？ 利用导数解决科技、经济、生产和生活 中的最值问题，是新课程高考要求考生必须掌 握的内容在解决导数与数学建模问题时，首 先要注意自变量的取值范围，即考察问题的实 际意义在应用问题的设计上，高考多设置为 单峰函数，以降低要求 【变式练习1】 某工厂生产某种产品，已知该产品的月产 量x(吨)与每吨产品的价格P(元/吨)之间的函 数关系为P242001/5x2，且生产x吨该产 品的成本为R50000200x元，问该厂每月 生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大 利润是多少？(利润收入成本) 因为f(x)在0，)内只有一个极值点x 200，故它就是最大值点，于是f(x)的最大 值为f(200)1/5200324000200 500003150000(元) 答：每月生产200吨产品时，利润达到最大 ，最大利润为315万元 效率最值问题 【例2】 如图，某地有三家工厂，分 别位于矩形ABCD的两个顶点 A，B及CD的中点P处已知 AB20 km，BC10 km.为 了处理这三家工厂的污水， 现要在该矩形区域上(含边界)且与A，B等距的一 点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污 管道AO，BO，PO.记铺设管道的总长度为y km. (1)设BAO(rad)，将y表示成的函数； (2)请你确定污水处理厂的位置，使铺设的污水 管道的总长度最短 解决实际应用问题的关键在于建立数学 模型和目标函数本题求解的切入点在于根 据图形，分析各已知条件之间的关系，借助 图形的特征，合理选择这些条件间的联系方 式，适当选定变元，构造相应的函数关系， 通过求导的方法求出函数的最小值，便可确 定点C的位置 【变式练习2】 如图，用宽为a、长为b的三块木板，做成一 个断面为梯形的水槽问斜角为多大时，水槽 的流量最大？最大流量是多少？ 几何模型的最优化问题 【例3】 从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一个边 长为x的正方形，再将四边向上折起，做成一个 无盖长方体铁盒，要求长方体的高度与底面边长 的比值不超过常数t(t0)试问当x取何值时，容 积V有最大值？ 利用导数解决生活中的优化问题，关 键是要建立恰当的数学模型，把问题中所涉 及的几个变量转化为函数关系式，这需要通 过分析、联想、抽象和转化完成函数的最 值要由极值和端点的函数值确定当函数定 义域是开区间且在区间上只有一个极值时， 这个极值就是它的最值 【变式练习3】 要建一个圆柱形无盖的粮仓，要求它的容 积为500 m3，问如何选择它的直径和高， 才能使所用材料最省？ ， x0（ 0， ）( , ) （ ， 2p) 2p f (x) 00000 f(x)单调增 极 大 值 单调减 极 小 值 单调增 4.将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一 段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截才 能使正方形与圆的面积之和最小？ 5.有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边 A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km.两 厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂 和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问 供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？ 1