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第八节 多元函数的极值及其求法 v一、问题的提出 v二、多元函数的极值和最值 v三、条件极值拉格朗日乘数法 v四、小结 实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每 瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估 计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的 每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本 地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁 问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可 取得最大收益？ 每天的收益为 求最大收益即为求二元函数的最大值. 一、问题的提出 二、多元函数的极值和最值 1、定义 (1) (2) (3) 例1 例 例 2、多元函数取得极值的条件 证 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点. 驻点极值点 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 注意 ： 解 求最值的一般方法： 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最 大者即为最大值，最小者即为最小值. 与一元函数相类似，我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值. 3、多元函数的最值 解如图, 解 由 无条件极值：对自变量除了限制在定义域内 外，并无其他条件. 实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两 种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他 购买 张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果， 效果函数为 设每张磁 盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200 元以达到最佳效果 问题的实质：求 在条 件 下的极值点 三、条件极值拉格朗日乘数法 先看最简单的情形求函数 （目标函数) 在约束条件（约束方程） 分析一下函数在点 下的条件极值， 取得条件极值 的必要条件。 因为 是条件极值点，所以有 设函数 都在点 的某个邻域内具有 连续的偏导数，并且 。由隐函数存在定理 可知，方程确定了一个具有连续导数的函数 ，把它代入目标函数后就得到 由于在处取得条件极值，这就相当于求函数 在处取得极值，由一元可导函数取得极值 必要条件可知，必有 而由隐函数求导公式，有，将其代入上式 就得 上两式就是函数在点 取得条件极值 的必要条件 若记 则上述必要条件就可写成 由以上分析结果，引入拉格朗日函数 其中参数叫做拉格朗日乘子。 条件极值：对自变量有附加条件的极值 解 则 多元函数的极值 拉格朗日乘数法 （取得极值的必要条件、充分条件） 多元函数的最值 四、小结 思考题 思考题解答 练 习 题 练习题答案 二、多元函数的极值和最值 二、多元函数的极值和最值 二、多元函数的极值和最值 二、多元函数的极值和最值 二、多元函数的极
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