2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程章末分层突破学案新人教A版.docx

第二章 圆锥曲线与方程自我校对1(ab0)(0,1)0，b0)(1，)1圆锥曲线的定义与性质对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略，如：(1)在求轨迹时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决.总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用.(1)F1，F2是椭圆1(ab0)的两焦点，P是椭圆上任一点，从任一焦点引F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线(2)椭圆1(a为定值，且a)的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A、B，FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是_.【规范解答】(1)延长垂线F1Q交F2P的延长线于点A，如图所示，则APF1是等腰三角形，|PF1|AP|，从而|AF2|AP|PF2|PF1|PF2|2a.由题意知O是F1F2的中点，Q是AF1的中点，连接OQ，则|OQ|AF2|a. Q点的轨迹是以原点O为圆心，半径为a的圆.故选A.(2)设椭圆的另一个焦点为F，则FAB的周长|FA|AB|FB|FA|FA|FB|FB|4a，所以4a12，a3，e.【答案】(1)A(2)1.圆锥曲线的定义是推导标准方程和几何性质的基础，也是解题的重要工具，灵活运用定义，可避免很多复杂的计算，提高解题效率，因此在解决圆锥曲线的有关问题时，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略.2.应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合、方程等思想结合运用.再练一题1.(1)已知双曲线1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A，B两点，且|AB|4，F2为双曲线的右焦点，ABF2的周长为20，则m的值为()A.8B.9C.16D.20(2)如图21所示，动圆P与定圆C：(x1)2y21外切且与y轴相切，则圆心P的轨迹为_. 【导学号：97792032】图21【解析】(1)由双曲线的定义可知，|AF2|AF1|2，|BF2|BF1|2，所以(|AF2|BF2|)(|AF1|BF1|)4，|AF2|BF2|AB|4，|AF2|BF2|44.又|AF2|BF2|AB|20，即44420，所以m9.故选B.(2)设P(x，y)，动圆P的半径为r.两圆外切，PCr1.又圆P与y轴相切，r|x|(x0)，即|x|1，整理得y22(|x|x).当x0时，得y24x；当x0时，得y0.点P的轨迹方程是y24x(x0)或y0(x0)，表示一条抛物线(除去顶点)或x轴的负半轴.【答案】(1)B(2)一条抛物线(除去顶点)或x轴的负半轴直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线一般有三种位置关系：相交、相切和相离.把直线方程与圆锥曲线方程联立成方程组，消去一个变量后，转化为一元二次方程ax2bxc0.当a0时，若0，直线与圆锥曲线相交，有两个不同的公共点；若0，直线与圆锥曲线相切，有一个公共点；若b0)的离心率e，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为(a,0).若|AB|，求直线l的倾斜角；若点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且4，求y0的值.【精彩点拨】(1)建立关于a，b的方程组求出a，b；(2)构造新方程，综合运用两点间的距离公式、平面向量等知识求解.【规范解答】(1)由e，得3a24c2.由c2a2b2，得a2b.由题意，知2a2b4，即ab2.解方程组得所以椭圆的方程为y21.(2)由(1)知，点A的坐标是(2,0)，设点B的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为yk(x2).于是A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得(14k2)x216k2x(16k24)0.由2x1，得x1，从而y1.所以|AB|.由|AB|，得.整理，得32k49k2230，即(k21)(32k223)0，解得k1.所以直线l的倾斜角为或.设线段AB的中点为M，则点M的坐标为.以下分两种情况：a.当k0时，点B的坐标是(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是(2，y0)， (2，y0).由4，得y02.b.当k0时，线段AB的垂直平分线方程为y.令x0，解得y0.(2，y0)， (x1，y1y0)，2x1y0(y1y0)4，整理，得7k22，故k.所以y0.综上，y02或y0.直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考的热点，解题时要注意掌握一些基本的解题规律和技巧，如在研究直线与圆锥曲线的公共点个数问题时，不要仅由判别式来进行判断，还要注意二次项系数是否为0；涉及弦长问题时，利用弦长公式及根与系数的关系求解，而对于焦点弦问题，则结合圆锥曲线的定义求解；解决有关中点弦问题时常常运用“点差法”使运算过程得以简化.再练一题2.已知椭圆G：1(ab0)的离心率为，右焦点为(2，0).斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3,2).(1)求椭圆G的方程；(2)求PAB的面积. 【导学号：97792033】【解】(1)由已知得，c2，.解得a2.又b2a2c24，所以椭圆G的方程为1.(2)设直线l的方程为yxm，由得4x26mx3m2120.设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1x2)，AB中点为E(x0，y0)，则x0，y0x0m，因为AB是等腰PAB的底边，所以PEAB.所以PE的斜率k1，解得m2，此时方程为4x212x0.解得x13，x20.所以y11，y22.所以|AB|3.此时，点P(3,2)到直线AB：xy20的距离d，所以PAB的面积S|AB|d.圆锥曲线中的定点、定值、最值问题圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长轴、短轴，双曲线的虚轴、实轴，抛物线的焦点等，解决此类问题的主要方法是通过研究直线与曲线的位置关系，把所给问题进行化简，通过计算获得答案；或是从特殊位置出发，确定定值，然后给出一般情况的证明.圆锥曲线中的最值问题，通常有两类：一类是有关长度、面积等最值问题；一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题，这两类问题的解决往往通过回归定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及数形结合、设参、转化、代换等途径来解决.如图22所示，椭圆C：1(ab0)，A1、A2为椭圆C的左、右顶点.图22(1)设F1为椭圆C的左焦点，证明：当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的左、右顶点时，|PF1|取得最小值与最大值；(2)若椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，求椭圆C的标准方程；(3)若直线l：ykxm与(2)中所述椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左、右顶点)，且满足AA2BA2，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.【精彩点拨】(1)利用函数法，设P(x，y)，将|PF1|表示为x的函数.(3)利用AA2BA2得k，m的等量关系，从而将直线l化为只含参数k(或m)的形式.【规范解答】(1)证明：设点P的坐标为(x，y)，令f(x)|PF1|2(xc)2y2.又点P在椭圆C上，故满足1，则y2b2x2.代入f(x)得，f(x)(xc)2b2x2x22cxa2，则其对称轴方程为x，由题意，知a恒成立，f(x)在区间a，a上单调递增.当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的左、右顶点时|PF1|取得最小值与最大值.(2)由已知与(1)得：ac3，ac1，a2，c1.b2a2c23.椭圆C的标准方程为1.(3)证明：如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(34k2)x28mkx4(m23)0，则64m2k216(34k2)(m23)0，即34k2m20，x1x2，x1x2.又y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.椭圆的右顶点为A2(2,0)，AA2BA2，(x12)(x22)y1y20.y1y2x1x22(x1x2)40.40.7m216km4k20，解得m12k，m2，且均满足34k2m20.当m12k时，l的方程为yk(x2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾.当m2时，l的方程为yk，直线过定点，直线l过定点，定点坐标为.解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法：(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解.(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围.再练一题3.求抛物线yx2上的点到直线4x3y80的最小距离.【解】法一设P(t，t2)为抛物线上的点，它到直线4x3y80的距离d2.当t时，d有最小值，最小值为.法二如图所示，设与直线4x3y80平行的抛物线的切线方程为4x3ym0，则有方程组消去y得3x24xm0，1612m0，m.最小距离为.1.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.【解析】不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(c,0)，b0，c0，则直线l的方程为bxcybc0，由已知得2b，解得b23c2，又b2a2c2，所以，即e2，e.【答案】B2.设F为抛物线C：y24x的焦点，曲线y(k0)与C交于点P，PFx轴，则k()A. B.1C. D.2【解析】易知抛物线焦点为F(1,0)，设P(x0，y0)，由PFx轴可得x01，代入y24x得y02，把P(1,2)代入y得k2.【答案】D3.已知椭圆1(m0)的左焦点为F1(4,0)，则m()A.2B.3C.4D.9【解析】由左焦点为F1(4,0)知c4.又a5，25m216，解得m3或3.又m0，故m3.【答案】B4.已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线焦点坐标为()A.(1,0)B.(1,0)C.(0，1)D.(0,1)【解析】抛物线y22px(p0)的准线为x且过点(1,1)，故1，解得p2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0).【答案】B5.已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切，则双曲线的方程为()A.1B.1C.y21D.x21【解析】由双曲线的渐近线yx与圆(x2)2y23相切可知解得故所求双曲线的方程为x21.【答案】D6.已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|()A.3B.6C.9D.12【解析】抛物线y28x的焦点为(2,0)，椭圆中c2，又，a4，b2a2c212，从而椭圆方程为1.抛物线y28x的准线为x2，xAxB2，将xA2代入椭圆方程可得|yA|3，由图象可知|AB|2|yA|6.故选B.【答案】B7.已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线为2xy0，一个焦点为(，0)，则a_，b_.【解析】由题意知，渐近线方程为y2x，故2，由c，c2a2b2可得b2，a1.【答案】128.设双曲线x21的左、右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则|PF1|PF2|的取值范围是_.【解析】双曲线x21的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，|F1F2|4，|PF1