高中数学第一章计数原理1.2.1排列第一课时排列与排列数公式学案含解析.docx

第一课时排列与排列数公式排列的定义1在学校奖学金发放仪式上，校长和两位获得特等奖学金的男女同学合影留念师生三人站成一排，校长站在中间问题1：男生在左边和女生在左边是相同的排法吗？提示：不是问题2：有几种排法？提示：2种，男师女，女师男2从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动问题1：让你安排这项活动需分几步？它们是什么？提示：分两步：第1步，确定上午的同学；第2步，确定下午的同学问题2：有几种排法？提示：上午有3种，下午有2种，因此共有326种排法问题3：甲乙和乙甲是相同的排法吗？提示：不是甲乙是甲上午、乙下午；乙甲是乙上午、甲下午排列的定义从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列排列定义的理解(1)排列的定义包括两个方面：一是从n个不同的元素中取出元素；二是按一定顺序排列(2)两个排列相同的条件：元素相同；元素的排列顺序相同.排列数及排列数公式两个同学从写有数字1,2,3或4的卡片中选取卡片进行组数字游戏问题1：从这4个数字中选出2个能构成多少个无重复数字的两位数？提示：4312个无重复数字的两位数问题2：从这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的三位数？提示：43224个无重复数字的三位数问题3：从n个不同的元素中取出m(mn)个元素排成一列，共有多少种不同的排法？提示：n(n1)(n2)(nm1)种不同的排法排列数定义及表示从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示排列数公式An(n1)(n2)(nm1)阶乘式A(n，mN*，mn)特殊情况An！，A1,0！1排列与排列数的区别“排列”是指从n个不同的元素中任取m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数“排列数”是指从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，是一个数符号A只表示排列数，而不表示具体的排列排列的有关概念下列问题是排列问题吗？(1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个数字做加法，其结果有多少种不同的可能？(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个数字做除法有多少种不同的可能？(3)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3位客人入座，又有多少种方法？(1)不是；(2)是；(3)第一问不是，第二问是理由是：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法求结果时，与两个元素的位置无关，但列除法算式时，两个元素谁作除数谁作被除数不一样，此时与位置有关“入座”问题同“排队”，与顺序有关，故选3个座位安排3位客人入座是排列问题判断是不是排列问题，要抓住排列的本质特征(1)取出的元素无重复(2)取出的元素必须按顺序排列元素有序还是无序是判断是否是排列问题的关键判断下列问题是否为排列问题(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票价格(假设来回的票价相同)；(2)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(3)某班40名学生在假期相互通信解：(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题(2)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题(3)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在顺序问题，属于排列问题.用列举法解决排列问题写出下列问题的所有排列：(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)由1,2,3,4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出(1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数(2)画出树形图，如图所示由上面的树形图知，所有的四位数为1 234,1 243,1 324,1 342,1 423,1 432,2 134，2 143，2 314，2 341,2 413,2 431,3 124,3 142,3 214，3 241，3 412，3 421,4 123,4 132,4 213,4 231,4 312，4 321，共24个没有重复数字的四位数在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树形图写出排列某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5,4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法解：如图由树形图可写出所有不同试验方法如下：a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种.排列数公式的应用计算下列各题：(1)A；(2)；(3)若3A2A6A，求x.(1)A6！654321720.(2)法一：.法二：.(3)由3A2A6A，得3x(x1)(x2)2(x1)x6x(x1)因为x3且xN*，所以3x217x100.解得x5或x(舍去)所以x5.1计算排列数或解含有排列数的方程或不等式时，要注意先提取公因式化简，然后计算这样做往往会减少运算量2连续正整数(因式)的乘积可以写成某个排列数A，其中最大的数是排列元素的总个数n，而因式的个数是取出的元素个数m.计算：(1)；(2).解：(1)6.(2)原式(nm)！(nm)！1.解不等式：A6A.由A6A，得6，化简得x219x840，解之得7x12，又2x8.由及xN*得x8.1本题若忽视公式A中的条件“mn”，易得到“7x12，且xN*，即x8,9,10,11”的错误结论2本题若忽视公式A中的条件“m，nN*”，则易得到“23A且A0，式可化为n(n2)3，即n22n30，n3或n1(舍去)由得6，(8n)(7n)6，即n215n500，5n10.由排列数的意义可知：n3，且n28，3n6.综上，512的n的最小值为_解析：由排列数公式得12，即(n5)(n6)12，解得n9或n9，又nN*，所以n的最小值为10.答案：104一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品节目，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有_种解析：从原来4个节目形成的5个空中选2个空排列，共有A20种添加方法答案：205写出从a，b，c，d这4个字母中，每次取出2个字母的所有排列解：画出树形图如图所示：因此，共计有12个不同的排列，它们是ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc.一、选择题1已知下列问题：从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组；从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动；从a，b，c，d四个字母中取出2个字母；从1,2,3,4四个数字中取出2个数字组成一个两位数其中是排列问题的有()A1个B2个C3个 D4个解析：选B是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关；不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列2计算：等于()A12 B24C30 D36解析：选DA76A，A6A，所以原式36.3已知A2A，则logn25的值为()A1 B2C4 D不确定解析：选B因为A2A，所以2n(2n1)(2n2)2(n1)n(n1)(n2)，由题意知n3，整理方程，解得n5，所以logn252.4若nN*，n20，则(20n)(21n)(22n)(29n)(30n)等于()AA BACA DA解析：选D从(20n)到(30n)共有11个数，其中最大的数为30n.5要从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是()A20 B16C10 D6解析：选B不考虑限制条件有A种选法，若a当副组长，有A种选法，故a不当副组长，有AA16种不同的选法二、填空题6从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成_个以b为首的不同的排列，它们分别是_解析：画出树形图如下：可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.答案：12bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed7集合Px|xA，mN*，则集合P中共有_个元素解析：因为mN*，且m4，所以P中的元素为A4，A12，AA24，即集合P中有3个元素答案：38从集合0,1,2,5,7,9,11中任取3个元素分别作为直线方程AxByC0中的系数A，B，C，所得直线经过坐标原点的有_条解析：易知过原点的直线方程的常数项为0，则C0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A，B，有A种，而且其中没有相同的直线，所以符合条件的直线有A30条答案：30三、解答题9解不等式：A140A.解：根据原方程，xN*，且应满足解得x3.根据排列数公式，原不等式可化为(2x1)2x(2x1)(2x2)140x(x1)(x2)x3，两边同除以4x(x1)，得(2x1)(2x1)35(x2)，即4x235x690，解得3x5.xN*，x4或x5.10求证：(1)AAA；(2)kA(k1)！k！.证明：(1)AA(nm)！n！A，等式成立(2)左边kAkk！(k11)k！(k1)！k！右边，等式成立11写出下列问题的所有排列(1)甲、乙、丙、丁四名同学站成一排；(2)从编号为1,2,3,4,5的五名同学中选出两名同学任正、副班长解：(1)四名同学站成一排，共有A24个不同的排列，它们是