2018版高中数学第四章实际问题的函数刻画4.2.2用函数模型解决实际问题4.2.3函数建模案例学案.docx

4.21实际问题的函数刻画4.22用函数模型解决实际问题4.23函数建模案例 1. 了解函数模型的应用，体会函数模型在解决实际问题中的应用(重点) 2. 掌握求解函数应用题的基本步骤(难点)基础初探教材整理 1 实际问题的函数刻画阅读教材P120P122整个本节课内容，完成下列问题在现实世界里，生物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点用S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则与故事情节相吻合的是()【解析】乌龟距离起点的距离始终在增加，符合一次函数的增长模型，兔子距离起点的距离先增加，再停止增加一段时间后又更快的增加，总之乌龟与兔子行进的路程是一样的，乌龟用的时间少，兔子用的时间长，综合以上分析，故选B.【答案】B教材整理 2 用函数模型解决实际问题阅读教材P123P125整节课的内容，完成下列问题 1. 常用的函数模型名称解析式条件一次函数模型ykxbk0反比例函数模型ybk0二次函数模型一般式：yax2bxc顶点式：ya2a0指数函数模型ybaxca0且a1，b0对数函数模型ymlogaxnm0，a0且a1幂函数模型yaxnba0 2. 数据拟合通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我所熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合一辆汽车在某段路上的行驶路程s关于时间t变化的图像如图421，那么图像所对应的函数模型为()图421A分段函数B二次函数C指数函数 D对数函数【解析】由图像知，在不同时段内，路程折线图不同，故对应的函数模型为分段函数【答案】A教材整理 3 函数建模案例阅读教材P125P130整节课的内容，完成下列问题函数建模 (1) 定义用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模 (2) 过程我国19992002年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：年份1999200020012002x0123生产总值8.206 78.944 29.593 310.239 8画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式【解】画出函数图形从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，可选择线性函数建立数学模型如图所示设所求的线性函数为ykxb.把直线通过的两点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式，解方程组，得k0.677 7，b8.206 7.因此，所求的函数关系式为yf(x)0.677 7x8.206 7.小组合作型一次、二次、分段函数模型某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图422(1)的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图422(2)的抛物线表示(1)(2)图422(1)写出图422(1)表示的市场售价与上市时间的函数关系式Pf(t)；写出图422(2)表示的种植成本与上市时间的函数关系式Qg(t)(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大(注：市场售价和种植成本的单位：元/102 kg，时间单位：天) 【导学号：04100078】【精彩点拨】本题由函数图像给出基本条件，解题时要抓住图像特征，抓住关键点的坐标，确定函数关系式【尝试解答】(1)f(t)设g(t)a(t150)2100(a0)，将t50，Q150代入得a.g(t)(t150)2100(0t300)(2)设纯收益为y元，当0t200时，yf(t)g(t)(t300)t2t(t50)2100.当t50时，y取到最大值，且最大值为100.当200t300时，yf(t)g(t)(2t300)t2t(t350)2100.当t300时取到最大，最大值为87.5.故从2月1日起第50天上市的西红柿纯收益最大处理此类问题的一般思路是：认真读题、审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图像、表格信息确定解析式，对于分段函数图像要特别注意虚实点，写准定义域，同时要注意它是一个函数再练一题 1. 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，飞机票价格就减少10元，直到达到规定人数75人为止旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？【解】(1)设旅行团人数为x，飞机票价格为y元，则y即y(2)设旅行社获得利润为S元，则S即S因为S900x15 000在区间(0,30上单调递增，当x30时，S取最大值12 000，又S10(x60)221 000在区间(30,75上，当x60时，S取最大值21 000.故当x60时，旅行社可获得最大利润.指数(对数)函数模型燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v5log2(单位：m/s)，其中Q表示燕子的耗氧量(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？【精彩点拨】理清各个量的含义，代入运算【尝试解答】(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v0，代入题中给出的函数关系式，可得05log2，解得Q10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位(2)将耗氧量Q80代入题中给出的函数关系式，得v5log25log2815.即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s. 1. 指数模型在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值或总产量y，可以用下面的公式yN(1p)x表示解决平均增长率的问题，要用到这个函数式 2. 对数模型对数模型函数可设为yklogaxb.利用条件确定系数，对数模型函数解题的关键是对数运算 .再练一题 2. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为yta(a为常数)如图423所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：图423 (1)从药物释放开始，求每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(时)之间的函数关系式；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？【解】(1)设药物释放过程中即t(0,0.1)时，y与t的函数关系式为ykt，将(0.1,1)代入ykt，得10.1k，所以k10，y10t.t0.1，)时，将(0.1,1)代入yta，得1，a.故所求函数关系式为：y(2)由(1)知，当t0.1，)时，y为t的减函数令，所以t，所以t.即小时，也就是36分钟后，学生才能回到教室探究共研型建立拟合函数解应用题探究 1 建立拟合函数的探索方法是什么？【提示】依据问题给出的数据，建立反映数据变化规律的拟合函数的探索方法为：(1)首先建立直角坐标系，画出散点图；(2)根据散点图设出比较接近的、可能的函数模型的解析式；(3)利用待定系数法求出各解析式；(4)对模型拟合程度进行检验，若拟合程度差，重新选择拟合函数，若拟合程度好，符合实际问题，就用这个函数模型解释实际问题探究 2 今有一组试验数据如下表所示：t1.993.04.05.16.12u1.54.047.51218.01则能体现这些数据关系的函数模型是()Aulog2tBu2t2Cu Du2t2【提示】可以先描出各点(如图)，并利用数据点直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它由图可知，图像不是直线上的点，排除选项D；图像不符合对数函数的图像特征，排除选项A；当t3时，2t22326，4，由表格知当t3时，u4.04，模型u能较好地体现这些数据关系故选C.某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：投资A种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.651.391.8521.841.40投资B种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.250.490.7611.261.51该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品，但不知投资A，B两种商品各多少最合算请你帮助该经营者制订一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两个有效数字)【精彩点拨】先画出投资额与获利的图像，再选择函数模型【尝试解答】设投资额为x万元时，获得的利润为y万元在直角坐标系中画出散点图并依次连接各点，如图所示，观察散点图可知图像接近直线和抛物线，因此可考虑用二次函数描述投资A种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系；用一次函数描述投资B种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系设二次函数的解析式为ya(x4)22(a0)，一次函数的解析式为ybx.把x1，y0.65代入ya(x4)22(a0)，得0.65a(14)22，解得a0.15.故前六个月所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数关系可近似地用y0.15(x4)22表示把x4，y1代入ybx，得b0.25，故前六个月所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y0.25x表示令下月投入A，B两种商品的资金分别为xA万元、xB万元，总利润为W万元，得WyAyB0.15(xA4)220.25xB，其中xAxB12，则W0.1520.15 22.6(0xA12)，则当xA3.2万元时，W取得最大值，01522.64.1万元，此时xB8.8(万元)即投资A商品3.2万元，投资B商品8.8万元时，下月可获得的最大纯利润为4.1万元此类题为开放性的探究题，函数模型不确定，需要我们去探索尝试，找到最适合的模型，此类题目解题的一般步骤为： (1)作图：根据已知数据作出散点图； (2)选择函数模型：根据散点图，结合基本初等函数的图像形状，找出比较接近的函数模型； (3)求出函数模型：选出几组数据代入，求出函数解析式； (4)利用所求得的函数模型解决问题.再练一题 3. 某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见下表)：x30404550y6030150(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式yf(x)；图424(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润【解】根据上表作图，点(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)近似在同一条直线上，设直线方程为ykxb(k0)，y3x150(xN)经检验点(30,60)，(40,30)也在此直线上，故所求函数关系式为y3x150(xN)(2)依题意有Py(x30)(3x150)(x30)3(x40)2300，当x40时，P有最大值300.故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润. 1. 某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了a km，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了b km(ba)，当他想起诗句“不到长城非好汉”时，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离与时间的函数关系图像大致为() ABCD【解析】由题意可知，s是关于时间t的一次函数，所以其图像特征是直线上升由于中间休息了一段时间，该段时间的图像应是平行于横轴的一条线段然后原路返回，图像下降，再调转车头继续前进，则直线一致上升故选C.【答案】C 2. 国内快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如下表：运送距离x(km)0x500500x1 0001 000x1 500邮资y(元)5.006.007.00如果某人在西安要快递800 g的包裹到距西安1 200 km的某地，那么他应付的邮资是()A5.00元B6.00元C7.00元 D8.00元【解析】由题意可知，当x1200时，y7.00元，故选C.【答案】C 3. 已测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：yx21，乙：y3x1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则选用_作为拟合模型较好【解析】对于甲：x3时，y32110，对于乙：x3时，y8，因此用甲作为拟合模型较好【答案】甲 4. “学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t14