2018届高考数学二轮复习第三部分讲重点解答题专练作业27_28极坐标与参数方程理.docx

极坐标与参数方程专练1(2017江西5市联考三)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为sin()，曲线C的参数方程是(是参数)(1)求直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值解析(1)因为sin()，所以(sincos)3，即sincos30，将xcos，ysin代入，得直线l的直角坐标方程是xy30.由得所以曲线C的普通方程是x2(y2)21.(2)由(1)得曲线C是以(0，2)为圆心，1为半径的圆，又圆心(0，2)到直线l的距离d，所以直线l与曲线C相交，故曲线C上的点到直线l的距离的最大值为1.2(2017郑州预测三)以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l的参数方程为(t为参数，00)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为cos()2.(1)设P是曲线C上的一个动点，当a2时，求点P到直线l的距离的最小值；(2)若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围解析(1)由cos()2，得(cossin)2，化成直角坐标方程，得(xy)2，即直线l的方程为xy40.依题意，设P(2cost，2sint)，则点P到直线l的距离d22cos(t)当t2k，即t2k，kZ时，dmin22.故点P到直线l的距离的最小值为22.(2)曲线C上的所有点均在直线l的右下方，对tR，有acost2sint40恒成立，即cos(t)4(其中tan)恒成立，0，0a2.故a的取值范围为(0，2)5(2017山西5月联考)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数，0，)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心C的极坐标为(2，)，半径为2，直线l与圆C交于M，N两点(1)求圆C的极坐标方程；(2)当变化时，求弦长|MN|的取值范围解析(1)由已知，得圆心C的直角坐标为(1，)，半径为2，圆C的直角坐标方程为(x1)2(y)24，即x2y22x2y0，xcos，ysin，22cos2sin0，故圆C的极坐标方程为4cos()(2)由(1)知，圆C的直角坐标方程为x2y22x2y0，将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中得，(2tcos)2(tsin)22(2tcos)2(tsin)0，整理得，t22tcos30，设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t22cos，t1t23，|MN|t1t2|，0，cos，1，|MN|，4极坐标与参数方程专练(二)作业(二十八)1(2017长沙六校联考)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4cos()(1)写出曲线C2的直角坐标方程；(2)设点P，Q分别在C1，C2上运动，若|PQ|的最小值为1，求m的值解析(1)4cos()，即2cos2sin，所以22cos2sin，将cosx，siny，2x2y2代入得C2的直角坐标方程为x2y22x2y0.(2)将x2y22x2y0化为(x)2(y1)24，所以C2是圆心为(，1)，半径为2的圆，将C1的参数方程化为普通方程为xym0，所以|PQ|min221，由此解得m4或m8.2(2017福州质检)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为2cos232sin212，其左焦点F在直线l上(1)若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|FB|的值；(2)求椭圆C的内接矩形周长的最大值解析(1)将曲线C的极坐标方程2cos232sin212化为直角坐标方程，得1，则其左焦点F(2，0)，则m2.将直线l的参数方程(t为参数)与曲线C的方程1联立，化简可得t22t20，由直线l的参数方程的几何意义，令|FA|t1|，|FB|t2|，则|FA|FB|t1t2|2.(2)由曲线C的方程1，可设曲线C上的任意一点P的坐标为(2cos，2sin)(00，为参数)以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos().(1)若曲线C与l只有一个公共点，求a的值；(2)A，B为曲线C上的两点，且AOB，求OAB面积的最大值解析(1)由题意知，曲线C是以(a，0)为圆心，以a为半径的圆，直线l的直角坐标方程为xy30.由直线l与圆C只有一个公共点，可得a，解得a1，a3(舍)所以a1.(2)曲线C是以(a，0)为圆心，以a为半径的圆，且AOB，由正弦定理得2a，所以|AB|a.又|AB|23a2|OA|2|OB|22|OA|OB|cos|OA|OB|，所以SOAB|OA|OB|sin3a2，所以OAB面积的最大值为.4已知直线l的极坐标方程是sin()0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程是(为参数)(1)求直线l被曲线C截得的弦长；(2)从极点作曲线C的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程解析(1)直线l的直角坐标方程是yx，曲线C的普通方程是x2(y2)24.易得圆心到直线l的距离d1，所以所求的弦长为22.(2)从极点作曲线C的弦，各弦中点的轨迹的极坐标方程为2sin.5(2017兰州实战模拟)在平面直角坐标系中，已知点B(1，1)，曲线C的参数方程为(为参数)；以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为(4，)，直线l的极坐标方程为cos()a，且l过点A；过点B与直线l平行的直线为l1，l1与曲线C相交于M，N两点(1)求曲线C上的点到直线l距离的最小值；(2)求|MN|的值解析(1)因为A(4，)，且Al，所以4cos()a，即a4，所以直线l的极坐标方程为cos()4，所以coscossinsin4，即直线l的直角坐标方程为xy8，设曲线C上的点到直线l的距离为d，则d(其中tan，所以曲线C上的点到直线l的距离的最小值为.(2)设l1的方程为xym0，由于l1过点B，所以m2，所以l1的方程为xy20，故l1的参数方程为(t为参数)，曲线C的普通方程为1，所以3(1t)24(1t)212，即有7t22t100，所以t1t2，t1t2，所以|MN|t1t2|.1(2017云南统一检测二)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin22cos，直线l交曲线C于A，B两点(1)写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设点P的直角坐标为(2，4)，求点P到A，B两点的距离之积解析(1)由直线l的参数方程为(t为参数)，得l的普通方程为xy20，直线l的极坐标方程为cossin20.由曲线C的极坐标方程为sin22cos，得曲线C的直角坐标方程为y22x.(2)直线l：xy20经过点P(2，4)，直线l的参数方程为(T为参数)将直线l的参数方程代入y22x，化简得T210T400.设A，B两点对应的参数为T1，T2，|PA|PB|T1T2|40.2(2017湖北4月调研)在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为2sin，正方形ABCD的顶点都在C1上，且依次按逆时针方向排列，点A的极坐标为(，)(1)求点C的直角坐标；(2)若点P在曲线C2：x2y24上运动，求|PB|2|PC|2的取值范围解析(1)点A(，)的直角坐标为(1，1)由A，C关于y轴对称，则C(1，1)(2)易知B(0，2)，C(1，1)曲线C1：2sin的直角坐标方程为x2(y1)21.设P(x，y)，x2cos，y2sin，则|PB|2|PC|2x2(y2)2(x1)2(y1)22x22y26y2x6142(x3y)142(2cos6sin)144(cos3sin)144cos()所以|PB|2|PC|2144，1443(2017百校联盟二模)已知椭圆C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)当m1时，求l交C所得的弦长；(2)若椭圆C上的点到直线l的距离的最小值为1，求m的值解析(1)易知椭圆C的普通方程为1，令t，则直线l的参数方程可化为代入椭圆C的方程1，整理得31s236s1080，两根分别为s1，s2，故弦长为|s1s2|.(2)直线l的普通方程为xym0，椭圆上的动点Q(2cos，3sin)到直线l的距离d|，其中tan，当m时，d的最小值为0，不符合题意；当m时，1m2；当m1，直线l与曲线C的位置关系是相离(2)设M(cos，sin)，(为MC与x轴正半轴所成的角)则xysin()02，xy，6(2017东北四市二模)已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系曲线C1的极坐标方程为4cos，直线l：(t为参数)(1)求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；(2)若曲线C2的参数方程为(为参数)，曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值解析(1)由4cos，得24cos，所以曲线C1的直角坐标方程为x2y24x0.又直线l：(t为参数)，消去t得直线l的普通方程为x2y30.(2)由题知P(2，)，其直角坐标为(2，2)，Q(2cos，sin)，M(1cos，1sin)，所以点M到直线l的距离d|sin()|，从而点M到直线l距离的最大值为.7(2017合肥质检二)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4cos.(1)求出圆C的直角坐标方程；(2)已知圆C与x轴相交于A，B两点，直线l：y2x关于点M(0，m)(m0)对称的直线为l.若直线l上存在点P使得APB90，求实数m的最大值解析(1)由4cos得24cos，即x2y24x0，所以圆C的标准方程为(x2)2y24.(2)l：y2x关于点M(0，m)的对称直线l的方程为y2x2m，而AB为圆C的直径，故直线l上存在点P使得APB90的充要条件是直线l与圆C有公共点，故2，解得2m2且m0，于是，实数m的最大值为2.8在直角坐标系xOy中，直线l：(t为参数，0)在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：2(02)，若直线l与y轴正半轴交于点M与曲线C交于A、B两点，其中点A在第一象限(1)写出曲线C的直角坐标方程及点M对应的参数tM(用表示)；(2)设曲线C的左焦点为F1，若|F1B|AM|，求直线l的倾斜角的值解析(1)由2得222sin23，y21，即曲线C的直角坐标方程为y21.又由题意可知点M的横坐标为0，代入xtcos，得tcos，tM.(2)由(1)知，直线l恒过F1(，0)，将代入y21，化简可得(12sin2)t22cost10，设A，B对应的参数分别为t1，t2，|t1t2|tM|，即，得sin，又0，.9在平面直角坐标系中xOy中，直线l的参数方程是(t为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos222sin212，且直线l与曲线C交于P，Q两点(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l恒过的定点A的坐标；(2)在(1)的条件下，若|AP|AQ|6，求直线l的普通方程解析(1)xcos，ysin，C：x22y212.直线l恒过的定点为A(2，0)(2)把直线l的方程代入曲线C的直角坐标方程中得：(sin21)t24cost80.由t的几何意义知|AP|t1|，|AQ|t2|.点A在椭圆内，这个方程必有两个实根，t1t2，|AP|AQ|t1t2|6，即6，sin2，(0，)，sin，cos，直线l的斜率k，因此，直线l的方程为y(x2)或y(x2)10(2017太原一模)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中为参数)以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是(tancossin)1(是常数，0，且)，点A，B(A在x轴的下方)是曲线C1与C2的两个不同交点(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)求|AB|的最大值及此时点B的坐标解析(1)(其中为参数)，曲线C1的普通方程为y21.由得曲线C2的直角坐标方程为ytanx1.(2)由(1)得曲线C2的参数方程为(t为参数)设A(t1cos，1t1sin)，B(t2cos，1t2sin)，将代入y21，整理得t2(13sin2)8tsin0，t10，t2，|AB|t1t2|(当且仅当sin时取等号)，当sin时，0，且，cos，B(，)，|AB|的最大值为，此时点B的坐标为(，)11(2017惠州调研三)已知曲线C的极坐标方程是4cos.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|，求直线l的倾斜角的值解析(1)由4cos得24cos.x2y22，xcos，ysin，曲线C的直角坐标方程为x2y24x0，即(x2)2y24.(2)将代入曲线C的方程得(tcos1)2(tsin)24，化简得t22tcos30.设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|AB|t1t2|，4cos22，cos，或.12(2017广州综合测试一)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：2cos()(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值解析(1)由消去t得xy40，所以直线l的普通方程为xy40.由2cos()2(coscossinsin)2cos2sin，得22cos2sin.将2x2y2，cosx，siny代入上式，得x2y22x2y，即(x1)2(y1)22.所以曲线C的直角坐标方程为(x1)2(y1)22.(2)方法1：设曲线C上的点P(1cos，1sin)，则点P到直线l的距离d.当sin()1时，dmax2.所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为2.方法2：设与直线l平行的直线l：xyb0，当直线l与圆C相切时，解得b0或b4(舍去)，所以直线l的方程为xy0.所以直线l与直线l的距离d2.所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为2.13(2017深圳调研三)在极坐标系中，点A(，)，B(，)，直线l平行于直线AB，且将封闭曲线C：2cos()(0)所围成的面积平分，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系(1)在直角坐标系中，求曲线C及直线l的参数方程；(2)设点M为曲线C上的动点，求|MA|2|MB|2的取值范围解析(1)2cos()，22(cossin)，x2y2xy，(x)2(y)21，显然曲线C为圆，圆心为(，)，从而曲线C的参数方程为(02，为参数)易知A(，)，B(0，)，kAB，直线AB的倾斜角为，直线l平分圆C的面积，直线l经过圆C的圆心(，)，直线l的参数方程为(t为参数)，即直线l的参数方程为(t为参数)(2)不妨设M(cos，sin)则|MA|2|MB|2(cos1)2sin2(cos)2(sin)24cossin42sin()，又sin()1，1，|MA|2|MB|242sin()2，614(2017湖北四市联考)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos().(1)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；(2)设M为曲线C上的动点，求点M到直线l的距离的最大值解析(1)曲线C的普通方程为(x1)2(y2)25.因为cos()，所以(cossin)，所以直线l的直角坐标方程为xy30.(2)设M(cos1，sin2)，则点M到直线l的距离d，所以dmax3.15(2017湘中名校联考)已知曲线C1的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，其中A的极坐标为(2，)(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2的取值范围解析(1)由题可知点A，B，C，D的极坐标分别为(2，)，(2，)，(2，)，(2，)所以点A，B，C，D的直角坐标分别为(1，)，(，1)，(1，)，(，1)(2)设P(x0，y0)，则(为参数)，t|PA|2|PB|2|PC|2|PD|24x024y02163220sin232，5216(1)(2017成都诊断二)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为(2，)，其中(，)(1)求的值；(2)若射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值解析(1)由题意知，曲线C的普通方程为x2(y2)24，xcos，ysin，曲线C的极坐标方程为(cos)2(sin2)24，即4sin.由2，得sin，(，)，.(2)由题，易知直线l的普通方程为xy40，直线l的极坐标方程为cossin40.又射线OA的极坐标方程为(0)，联立，得解得4.点B的极坐标为(4，)，|AB|BA|422.17(2017呼和浩特调研)在直角坐标系xOy中，直线l1：x2，曲线C：(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求直线l1及曲线C的极坐标方程；(2)若直线l2的极坐标方程为(R)，设l2与曲线C的交点为M，N，求CMN的面积及l1与l2交点的极坐标解析(1)直线l1：x2，xcos，ysin，直线l1的极坐标方程为cos20.曲线C：(为参数)，则x2(y2)24，圆心C(0，2)，半径r2，将xcos，ysin代入，曲线C的极坐标方程为4sin.(2)联立得|MN|2.曲线C是半径为r2的圆，CMCN，SCMNr22.联立解得2，两直线交点的极坐标为(2，)18(2017贵州适应性考试)曲线C1的参数方程为(为参数)在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为cos2sin.(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)过原点且倾斜角为()的射线l与曲线C1，C2分别相交于A，B两点(A，B异于原点)，求|OA|OB|的取值范围解析(1)曲线C1的直角坐标方程为(x2)2y24，即