安徽省高中数学第一章空间几何体1.3.2球的体积和表面积教案新人教A版.docx

1.3.2 球的体积和表面积教学目标掌握球的表面积和体积公式，并能应用其解决有关问题，提高学生解决问题的能力，培养转化与化归的数学思想方法.教学重、难点教学重点：球的表面积和体积公式的应用.教学难点：关于球的组合体的计算.教学准备多媒体课件教学过程一、导入新课：球既没有底面，也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？教师引出课题：球的体积和表面积.二、讲授新课： 球的半径为R，它的体积和表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R，那么S=4R2,V=.应用示例例1 如图1所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：图1（1）球的体积等于圆柱体积的；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.活动：学生思考圆柱和球的结构特征，并展开空间想象.教师可以使用信息技术帮助学生读懂图形.证明：（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.则有V球=，V圆柱=R22R=2R3，所以V球=.（2）因为S球=4R2，S圆柱侧=2R2R=4R2，所以S球=S圆柱侧.点评：本题主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算.解决此类问题的关键是明确组合体的结构特征.变式训练1.如图2(1)所示，表面积为324的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积.图2解：设球的半径为R，正四棱柱底面边长为a,则轴截面如图2（2），所以AA=14,AC=,又4R2=324,R=9.AC=.a=8.S表=642+3214=576,即这个正四棱柱的表面积为576.2有一种空心钢球，质量为142 g,测得外径（直径）等于5 cm，求它的内径（钢的密度为7.9 g/cm3，精确到0.1 cm）.解：设空心球内径（直径）为2x cm,则钢球质量为7.9=142,x3=11.3,x2.24,直径2x4.5.答：空心钢球的内径约为4.5 cm.例2 如图3所示，表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1 m、高为3 m的圆柱形物体，上面是一个半球形体.如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（取3.1）?图3活动：学生思考和讨论如何计算鲜花的朵数.鲜花的朵数等于此几何体的表面积（不含下底面）与每朵鲜花占用的面积.几何体的表面积等于圆柱的侧面积再加上半球的表面积.解：圆柱形物体的侧面面积S13.113=9.3(m2),半球形物体的表面积为S223.1()21.6 (m2),所以S1+S29.3+1.6=10.9(m2).10.91501 635(朵).答：装饰这个花柱大约需要1 635朵鲜花.点评：本题主要考查球和圆柱的组合体的应用，以及解决实际问题的能力.变式训练 有一个轴截面为正三角形的圆锥容器，内放一个半径为R的内切球，然后将容器注满水，现把球从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体，问容器中水的高度为多少？分析：转化为求水的体积.画出轴截面，充分利用轴截面中的直角三角形来解决.解：作出圆锥和球的轴截面图如图4所示，图4圆锥底面半径r=,圆锥母线l=2r=，圆锥高为h=3R，V水=3R23R，球取出后，水形成一个圆台，下底面半径r=,设上底面半径为r，则高h=(r-r)tan60=,(r2+r2+rr),5R3=,5R3=，解得r=,h=()R.答：容器中水的高度为()R.课堂小结：本节课学习了：1