安徽省宿松县2017届高三数学一轮复习第18讲等比数列教案.docx

等比数列教学目标1通过实例，理解等比数列的概念；2探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式；3能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。体会等比数列与指数函数的关系。命题走向等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位，是高考出题的重点。客观性的试题考察等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用，对基本的运算要求比较高，解答题大多以数列知识为工具。预测2017年高考对本讲的考察为：（1）题型以等比数列的公式、性质的灵活应用为主的12道客观题目；（2）关于等比数列的实际应用问题或知识交汇题的解答题也是重点；（3）解决问题时注意数学思想的应用，象通过逆推思想、函数与方程、归纳猜想、等价转化、分类讨论等，它将能灵活考察考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力。教学准备多媒体课件教学过程1等比数列的有关概念(1)定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q(q0，nN*)(2)等比中项如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即：G是a与b的等比中项G2ab“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1(2)前n项和公式：Sn3等比数列的性质已知数列an是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，kN*)(1)若mnpq2r，则amanapaqa；(2)数列am，amk，am2k，am3k，仍是等比数列；(3)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，仍是等比数列(此时an的公比q1)1辨明三个易误点(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能为0，但q可为正数，也可为负数(2)由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.(3)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误2等比数列的三种判定方法(1)定义：q(q是不为零的常数，nN*)an是等比数列(2)通项公式：ancqn1(c、q均是不为零的常数， nN*)an是等比数列(3)等比中项法：aanan2(anan1an20，nN*)an是等比数列3求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和公式中联系着五个量：a1，q，n，an，Sn，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键(2)分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当q1时，Snna1；当q1时，Sn；在判断等比数列单调性时，也必须对a1与q分类讨论1(2014高考重庆卷)对任意等比数列an，下列说法一定正确的是()Aa1，a3，a9成等比数列Ba2，a3，a6成等比数列Ca2，a4，a8成等比数列Da3，a6，a9成等比数列解析：选D.设等比数列的公比为q，因为q3，即aa3a9，所以a3，a6，a9成等比数列故选D.2(2015高考全国卷)已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7()A21B42C63 D84解析：选B.因为a13，a1a3a521，所以33q23q421.所以1q2q47.解得q22或q23(舍去)所以a3a5a7q2(a1a3a5)22142.故选B.3(必修5 P58练习T2改编)设等比数列an的前n项和为Sn.若S23，S415，则S6()A31 B32C63 D64解析：选C.由等比数列的性质，得(S4S2)2S2(S6S4)，即1223(S615)，解得S663.故选C.4(必修5 P54习题2.4A组T8(1)改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_解析：设该数列的公比为q，由题意知，2439q3，得q327，所以q3.所以插入的两个数分别为9327，27381.答案：27，815(2015高考全国卷)在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和若Sn126，则n_解析：因为a12，an12an，所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列又因为Sn126，所以126，所以n6.答案：6考点一等比数列的基本运算(高频考点)等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，属中、低档题高考对等比数列的基本运算的考查常有以下三个命题角度：(1)求首项a1、公比q或项数n；(2)求通项或特定项；(3)求前n项和(1)(2015高考湖南卷)设Sn为等比数列an的前n项和若a11，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an_(2)(2015高考安徽卷)已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和等于_(1)因为3S1，2S2，S3成等差数列，所以4S23S1S3，即4(a1a2)3a1a1a2a3.化简，得3，即等比数列an的公比q3，故an13n13n1.(2)设等比数列的公比为q，则有解得或又an为递增数列，所以所以Sn2n1.(1)3n1(2)2n1等比数列基本运算的解题技巧(1)求等比数列的基本量问题，其核心思想是解方程(组)，一般步骤是：由已知条件列出以首项和公比为未知数的方程(组)；求出首项和公比；求出项数或前n项和等其余量. (2)设元的技巧，可减少运算量，如三个数成等比数列，可设为，a，aq(公比为q)；四个数成等比数列且q0时，设为，aq，aq3.1.(1)(2016郑州第二次质量预测)设等比数列an的前n项和为Sn，若27a3a60，则_(2)(2016江苏省扬州中学期中测试)设等比数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a11，a34，Sk63，则k_解析：(1)由题可知an为等比数列，设首项为a1，公比为q，所以a3a1q2，a6a1q5，所以27a1q2a1q5，所以q3，由Sn，得S6，S3，所以28.(2)设等比数列an的公比为q，由已知a11，a34，得q24.又an的各项均为正数，所以q2.而Sk63，所以2k163，解得k6.答案：(1)28(2)6考点二等比数列的判定与证明(2015高考广东卷节选)设数列an的前n项和为Sn，nN*.已知a11，a2，a3，且当n2时，4Sn25Sn8Sn1Sn1.(1)求a4的值；(2)证明：为等比数列(1)当n2时，4S45S28S3S1，即4581，解得a4.(2)证明：由4Sn25Sn8Sn1Sn1(n2)，得4Sn24Sn1SnSn14Sn14Sn(n2)，即4an2an4an1(n2)因为 4a3a14164a2，所以4an2an4an1，所以，所以数列是以a2a11为首项，为公比的等比数列在本例条件下，求数列an的通项公式解：由本例(2)知，an1an，即4.所以数列是以2为首项，4为公差的等差数列，所以24(n1)4n2，即an(2n1)，所以数列an的通项公式为an(2n1).证明数列an是等比数列常用的方法一是定义法，证明q(n2，q为常数)；二是等比中项法，证明aan1an1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法. 2.已知数列an是等差数列，a310，a622，数列bn的前n项和是Tn，且Tnbn1.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列bn是等比数列解：(1)设等差数列an的公差为d，则由已知得解得a12，d4.所以an2(n1)44n2.(2)证明：由Tn1bn，令n1，得T1b11b1.解得b1，当n2时，Tn11bn1，得bnbn1bn，所以bnbn1，所以，又因为b10，所以数列bn是以为首项，为公比的等比数列考点三等比数列的性质(1)(2015高考全国卷)已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2()A2B1C. D(2)(2016昆明三中、玉溪一中统考)已知等比数列an中，a11，q2，则Tn的结果可化为()A1 B1C. D(1)法一：因为a3a5a，a3a54(a41)，所以a4(a41)，所以a4a440，所以a42.又因为q38，所以q2，所以a2a1q2，故选C.法二：因为a3a54(a41)，所以a1q2a1q44(a1q31)，将a1代入上式并整理，得q616q3640，解得q2，所以a2a1q，故选C.(2)依题意，an2n1，所以Tn，故选C.(1)C(2)C等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口. 3.(1)设等比数列an中，前n项和为Sn，已知S38，S67，则a7a8a9等于()A. B C. D.(2)设Sn是等比数列an的前n项和，S45S2，则的值为()A2或1 B1或2C1或2 D2或1解析：(1)选A.因为a7a8a9S9S6，且S3， S6S3，S9S6也成等比数列，即8，1，S9S6成等比数列，所以8(S9S6)1，即S9S6.(2)选D.由S45S2得a1a2a3a45(a1a2)，即a3a44(a1a2)，q2(a1a2)4(a1a2)，当a1a20时，公比q1；当a1a20时，q2，所以q，故选D.方法思想分类讨论思想在求数列前n项和中的应用(2016常州模拟)如果有穷数列a1，a2，a3，am(m为正整数)满足条件a1am，a2am1，ama1，即aiami1(i1，2，m)，我们称其为“对称数列”例如，数列1，2，3，4，3，2，1与数列a，b，c，c，b，a都是“对称数列”(1)设bn是8项的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4是等差数列，且b11，b513.依次写出bn的每一项；(2)设cn是2m1项的“对称数列”，其中cm1，cm2，c2m1是首项为a，公比为q的等比数列，求cn的各项和Sn.(1)设数列b1，b2，b3，b4的公差为d，b4b13d13d.又因为b4b513，解得d4，所以数列bn为1，5，9，13，13，9，5，1.(2)Snc1c2c2m12(cm1cm2c2m1)cm12a(1qq2qm)a2aa(q1)而当q1时，Sn(2m1)a.所以Sn(1)本题是新定义型数列问题，在求等比数列cn的前n项和时用到了分类讨论思想(2)分类讨论思想在数列中应用较多，常见的分类讨论有：已知Sn与an的关系，要分n1，n2两种情况；项数的奇、偶数讨论；等比数列的单调性的判断与a1，q的取值的讨论(2014高考山东卷)在等差数列an中，已知公差d2，a2是a1与a4的等比中项(1)求数列an的通项公式；(2)设bna，记Tnb1b2b3b4(1)nbn，求Tn.解：(1)由题意知(a1d)2a1(a13d)，即(a12)2a1(a16)，解得a12，所以数列an的通项公式为an2n.(2)由题意知bnan(n1)，所以Tn122334(1)nn(n1)因为bn1bn2(n1)，可得当n为偶数时，Tn(b1b2)(b3b4)(bn1bn)48122n，当n为奇数时，TnTn1(bn)n(n1).所以Tn板书设计等比数列1等比数列的有关概念(1)定义(2)等比中项 “a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1(2)前n项和公式：Sn3等比数列的性质已知数列an是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，kN*)(1)若mnpq2r，则amanapaqa；(2)数列am，