高中数学第二章平面向量2.6平面向量数量积的坐标表示学案北师大版.docx

2.6 平面向量数量积的坐标表示知识梳理1.向量数量积的坐标表示已知a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，则ab=a1b1+a2b2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.2.两个向量垂直的坐标表示已知a=(a1，a2)，b=(b1,b2)，则aba1b1+a2b2=0；ab (a1,a2)(-b2,b1).3.向量的长度、距离和夹角公式（度量公式） (1)长度公式：已知a=(a1,a2)，则|a|=.(2)距离公式：如果A(x1，y1），B(x2，y2)，则|=.(3)夹角公式：已知a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，则两个向量a、b的夹角为cosa,b=.知识导学1.复习平面向量的坐标表示，向量共线和垂直的条件，向量的长度和夹角的概念.2.本节的重点是向量数量积的应用，难点是灵活应用数量积解决有关问题.疑难突破1.为什么向量的数量积能用坐标表示？剖析：由于向量能用坐标表示，那么向量的数量积也能用坐标表示，因此其突破方法是利用平面向量的坐标表示来推导.设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，x轴上单位向量i，y轴上单位向量j，则ii=1，jj=1，ij=ji=0.a=x1i+y1j,b=x2i+y2j，ab=(x1i+y1j)(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2ij+x2y1ij+y1y2j2=x1x2+y1y2,即ab=x1x2+y1y2.用坐标表示向量数量积体现了数与形的密切结合和相互转化的思想，进一步体会到数形结合思想在解决数学问题时所带来的便利.2.为什么（ab）c=a(bc)不成立？剖析：难点是总认为此等式成立.突破路径1：否定一个等式，只需举一个反例即可；突破路径2：利用数量积的几何意义来证明；突破路径3：利用反证法通过向量数量积的坐标表示来证明等式不成立.方法一：举反例.如图2-6-1所示，设=a，=b，=c，且|=1，|=2，|=3，,=，, =，则,=.ab=|a|b|cosa，b=1，bc=|b|c|cosb，c=3.(ab)c=c，a(bc)=3a.很明显c=3a不成立，图2-6-1(ab)c=a(bc)不成立.再例如：a=(1,2)，b=(-3,4)，c=(6,-5),则(ab)c= 1(-3)+24(6,-5)=3(6,-5)=(18,-15),a(bc)=(1,2)-36+4(-5)=(-38)(1,2)=(-38,-72).(ab)c=a(bc)不成立.方法二：下面用向量数量积的几何意义来分析.由于向量的数量积是实数，则设ab=，bc=.则(ab)c=c，a(bc)=a.由于c，a是任意向量，则c=a不成立.(ab)c=a(bc)不成立.方法三：下面用向量数量积的坐标表示来分析.设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，c=(x3,y3).则ab=x1x2+y1y2,bc=x3x2+y3y2.(ab)c=(x1x2+下标y1y2)(x3,y3)=(x1x2x3+y1y2x3,x1x2y3+y1y2y3)，a(bc)=(x3x2+y3y2)(x1,y1)=(x1x2x3+x1y2y3,x2x3y1+y1y2y3).假设(ab)c=a(bc)成立,则有(x1x2x3+y1y2x3,x1x2y3+y1y2y3)=(x1x2x3+x1y2y3,x2x3y1+y1y2y3)，x1x2x3+y1y2x3=x1x3x2+x1y2y3，x1x2y3+y1y2y3=x2x3y1+y1y2y3.y1y2x3=x1y2y3，x1x2y3=x2x3y1.y2(y1x3-x1y3)=0，x2（x1y3-x3y1）