安徽省宿松县2017届高三数学一轮复习第22讲推理与证明教案.docx

推理与证明教学目标推理与证明（1）合情推理与演绎推理结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用；结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。（2）直接证明与间接证明结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法-反证法；了解反证法的思考过程、特点；命题走向部分内容主要包括：合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明等内容，其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及到，该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，在新的高考中都会涉及和渗透，但单独出题的可能性较小.教学准备多媒体课件教学过程1推理(1)定义：是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程(2)分类：推理2合情推理归纳推理类比推理定 义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理特 点由部分到整体、由个别到一般的推理由特殊到特殊的推理3.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理(3)模式：三段论 1辨明两个易误点(1)演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性(2)合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据2把握合情推理与演绎推理的三个特点(1)合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的(2)在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误(3)应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的1数列2，5，11，20，x，47，中的x等于()A28B32C33 D27解析：选B.由523，1156，20119，则x2012，因此x32.2推理“矩形是平行四边形，三角形不是平行四边形，三角形不是矩形”中的小前提是()A BC D和解析：选B.由演绎推理三段论可知，是大前提，是小前提，是结论3(选修12 P30练习T1改编)已知数列an中，a11，n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()Aan3n1 Ban4n3Cann2 Dan3n1解析：选C.由a11，anan12n1，则a2a12214；a3a22319；a4a324116；所以ann2.4在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为_解析：.答案：18考点一归纳推理(高频考点)归纳推理是每年高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度稍大，属中高档题高考对归纳推理的考查常有以下三个命题角度：(1)数值的归纳；(2)代数式的归纳；(3)图形的归纳(1)(2015高考陕西卷)观察下列等式：1，1，1，据此规律，第n个等式可为_(2)(2016青岛模拟)某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为120；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120，依此规律得到n级分形图n级分形图中共有_条线段(1)等式的左边的通项为，前n项和为1；右边的每个式子的第一项为，共有n项，故为.(2)分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3(323)条线段，二级分形图有9(3223)条线段，三级分形图中有21(3233)条线段，按此规律n级分形图中的线段条数an32n3(nN*)(1)1(2)32n3(nN*)常见的归纳推理及求解策略(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳解决的关键是抓住相邻图形之间的关系. 1.(1)已知f(x)，x0，若f1(x)f(x)，fn1(x)f(fn(x)，nN，则f2 014(x)的表达式为_(2)(2016山东省滕州第二中学模拟)在ABC中，不等式成立；在凸四边形ABCD中，不等式成立；在凸五边形ABCDE中，不等式成立，依此类推，在凸n边形A1A2An中，不等式_成立解析：(1)f1(x)，f2(x)，f3(x)，由归纳推理得f2 014(x).(2)因为，所以(nN*，n3)答案：(1)f2 014(x)(2)(nN*，n3)考点二类比推理(2016西安模拟)设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r；类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为R，四面体SABC的体积为V，则R()A.B.C. D.设四面体的内切球球心为O，那么由VVOABCVOSABVOSACVOSBC，即VS1RS2RS3RS4R，可得R.C类比推理的分类(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移. 2.(2016杭州模拟)已知命题：“若数列an是等比数列，且an0，则数列bn(nN*)也是等比数列”类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列an是等差数列，则数列bn(nN*)也是等差数列证明如下：设等差数列an的公差为d，则bna1(n1)，所以数列bn是以a1为首项，为公差的等差数列考点三演绎推理数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn(nN*)证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn14an. (1)因为an1Sn1Sn，an1Sn，所以(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.故2，(小前提)故是以1为首项，2为公比的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义)(2)由(1)可知4(n2)，所以Sn14(n1)4Sn14an(n2)(大前提)又因为a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)所以对于任意正整数n，都有Sn14an.(结论)演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本题中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写；(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成. 3.已知函数yf(x)满足：对任意a，bR，ab，都有af(a)bf(b)af(b)bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数证明：设x1，x2R，取x1x1f(x2)x2f(x1)，所以x1x20，(x2x1)0，因为x10，f(x2)f(x1)所以yf(x)为R上的单调增函数交汇创新例析归纳推理中的创新问题设AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，AnBnCn的面积为Sn，n1，2，3，.若b1c1， b1c12a1，an1an，bn1，cn1，则()ASn为递减数列BSn为递增数列CS2n1为递增数列，S2n为递减数列DS2n1为递减数列，S2n为递增数列在A1B1C1中，b1c1，b1c12a1，所以b1a1c1.在A2B2C2中，a2a1，b2，c2，b2c22a1，所以c1b2a1c2b1.在A3B3C3中，a3a2a1，b3，c3，b3c32a1，所以a1b3c2，b2c3a1，所以c1b2c3a1b3c2b1.由归纳知，n越大，两边cn，bn越靠近a1且cnbn2a1，此时面积Sn越来越大，当且仅当cnbna1时AnBnCn的面积最大B(1)解决此类问题首先要通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；然后把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)；最后对所得的一般性命题进行检验(2)本题把归纳推理问题与数列及数列的性质巧妙地结合，体现了新课标下的交汇创新思想解决本题的关键有以下几点：由条件an1an，确定三角形的一边为固定值；由条件可推出b1c1b2c2b3c32a1，进而得出AnBnCn的周长为定值；利用“若三角形的一边不变及周长不变，则另外两边越接近，面积越大”推得结论(2016东莞模拟)请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足aa1，那么a1a2.证明：构造函数f(x)(xa1)2(xa2)22x22(a1a2)x1，因为对一切实数x，恒有f(x)0，所以0，从而得4(a1a2)280，所以a1a2.根据上述证明方法，若n个正实数满足aaa1时，你能得到的结论为_(不必证明)解析：构造f(x)(xa1)2(xa2)2(xan)2nx22(a1a2an)x1.因为xR，f(x)0恒成立，所以0，即4(a1a2an)24n0，所以(a1a2an)2n，即a1a2an.答案：a1a2an1直接证明直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法综合法又称为：由因导果法(顺推证法)(2)分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法分析法又称为：执果索因法(逆推证法)2间接证明反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法1辨明两个易误点(1)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即要证”“就要证”等分析到一个明显成立的结论(2)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的2证题的三种思路(1)综合法证题的一般思路用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步推出结论(2)分析法证题的一般思路分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充分条件应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件(3)反证法证题的一般思路反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是A，或者是非A，即在同一讨论过程中，A和非A有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现1下列表述：综合法是由因导果法；综合法是顺推法；分析法是执果索因法；分析法是逆推法；反证法是间接证法其中正确的有()A2个B3个C4个 D5个解析：选D.由分析法、综合法、反证法的定义知都正确2(选修12 P43练习T1改编)用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60”时，应假设()A三角形三个内角都不大于60B三角形三个内角都大于60C三角形三个内角至多有一个大于60D三角形三个内角至多有两个大于60答案：B3在不等边三角形中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，三边a，b，c应满足_解析：由余弦定理cos A0，所以b2c2a2b2c2.答案：a2b2c2考点一综合法的应用已知数列an满足a1且an1ana(nN*)证明：12(nN*)由题意得an1ana0，即an10.由0an得(1，2，即10，求证：2a3b32ab2a2b.要证明2a3b32ab2a2b成立，只需证2a3b32ab2a2b0，即2a(a2b2)b(a2b2)0，即(ab)(ab)(2ab)0.因为ab0，所以ab0，ab0，2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0成立，所以2a3b32ab2a2b.分析法的证题思路先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证要注意书写格式的规范性. 2.ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a， b，c.求证：.证明：要证，即证3，也就是证1，只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证c2a2acb2.又ABC三内角A，B，C成等差数列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22accos 60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立考点三反证法设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列(1)设an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a1a1na1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，所以Sn，所以Sn(2)证明：假设an1是等比数列，则对任意的kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1.因为a10，所以2qkqk1qk1.因为q0，所以q22q10，所以q1，这与已知矛盾所以假设不成立，故an1不是等比数列用反证法证明数学命题需把握的三点(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的. 3.已知a1a2a3a4100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.证明：假设a1，a2，a3，a4均不大于25，即a125，a225，a325，a425，则a1a2a3a425252525100，这与已知a1a2a3a4100矛盾，故假设