数学建模论文-探讨投资最优化问题.doc

摘要经过分析可知，这是一个最优投资问题。本文主要探讨投资最优化问题。根据分析，建立数学模型，使投资获得的利润最大。这是典型的线性规划问题，本文在已有的A、B、C、D四种方案的基础上进行分析，结合数学建模的知识，对问题进行合理分析。因此我们要使用合理的方法、有效的手段，正确地计算出每种项目获得的最大利润，才能使资金安排得到优化，并结合有关的数学知识，建立数学模型，利用LINGO软件对模型进行求解，并分析其优缺点。针对此问题，按照要求可归为求效益、利润最大化的优化方案对问题进行建模，首先建立起单目标的数学模型，以五年后拥有的资金总数为目标函数,以资金的金额限制为约束条件，再运用LINGO软件对模型进行求解，得到比较理想的结果：第1年年初对项目A投资71698.11元，对项目D投资28301.89元第2年年初对项目投资30000元第3年年初对项目投资82452.83元第4年年初和第5年年初不投资第5年年末该投资者收回本利共145066元，净赚金额为45066元，即盈利45.066%。此外，本文在最后对模型的优缺进行了综合理解及简要分析，使投资者充分了解，以使利润最大化。关键词：投资 线性规划 利润最大化 LINGO软件背景分析随着中国经济的增长，国民财富的积累，中国市场经济的发展和金融产业的进一步发展，金融业综合经营步伐日渐加快。金融理财服务成为性质迥异的各类金融机构一致推出的服务概念，正逐步普及普通民众。投资者以何种方式投资、何种规模、如何得到运用决定了投资者获益的情况。如何将有限的资源配置到市场需求的无限投资中去，满足项目投资配置的要求并取得最大的经济效益，是每个投资者必须要解决的问题，懂得投资的投资者一定是有效运用资本，获得利润最大化；而有效运用资本首先就面临着如何对资金的投资安排。问题重述某投资者有基金10万元，考虑在今后5年内对下列4个项目进行投资，已知：项目A 从第1年到第4年每年年初需要投资，并与次年年末回收本利115%项目B 从第3年初需要投资，并于第5年年末回收本利125%项目C 从第2年初需要投资，并于第5年年末回收本利140%，但按照规定此项投资不能超过3万元项目D 5年内每年年初可购买公债，当年年末回收本利106%应如何安排资金，可使第5年年末的资金总额最大？模型假设市场复杂多变，因此进行模型假设是很重要的。不考虑投资过程中可能遇到的各种风险与政策变化。以下是我们做的合理性假设:1.五年内各项目的利率不变。2.五年内投资者不增加新的项目。4.这是一个连续投资过程且安全无风险。3.五年内投资者只用本金和利润进行投资。5.利润是固定的，与时间和每个项目投资金额有关。6.投资时不考虑纳税等费用，经济运行平稳健康。7. 因此假设随着时间的发展这是一个静态的过程1。符号说明1.Aij表示在方式i下第j年投资项目A的金额2.Bij表示在方式i下第j年投资项目B的金额3.Cij表示在方式i下第j年投资项目C的金额4.Dij表示在方式i下第j年投资项目D的金额5.Yij表示在方式i下第五年年末可获得的总金额6. Y表示第五年年末获得的总金额问题分析本文研究的是投资决策问题。要求对资金合理安排投资，获得最大的利润。解决这类问题最常用方法就是线性规划方法。线性规划方法是企业进行总产量计划时常用的一种定量方法，主要用于研究有限资源的最佳分配问题即如何对有限的资源做出最佳方式地调配和最有利地使用，以便最充分地发挥资源的效能，去获取最佳的经济效益。在总体计划中，用线性规划模型解决问题的思路，在有限的生产资源和市场需求条件约束下，求利润最大的总产量计划。投资决策方案方法繁多，规划理论和数学模型是处理某些类型的投资方案问题的有效工具。要求对资金合理安排投资，获得最大的收益。针对此问题：这是一个单目标多约束的最优化问题，我们可以通过建立单目标线性规划模型解决该问题，由于不考虑各项投资的风险，且总资金为100000元，要使得第五年年末的利润最大，设定目标函数的思路为：用各个项目最后一次投资的本利总和表示出第五年年末获得的本利。对于每各项投资资金的安排，要符合的约束条件为：每年年初的投资总额不能超过上一年年末收回的本利总和。目标函数是第5年年末拥有资金的本利息总金额。为使资金得到有效利用，应在每年年初将全部资金进行投资，每年年末收回各项投资的本利息-作为第二年年初拥有的投资总金额，全部投入到第二年年初所有可能的投资机会中去，以此类推，每年年初的投资金额等于头年年末返回的本利总额，对这些资金流转分析加上各种投资金额的限制成为约束条件。由目标函数和约束条件，建立数学线性规划模型2。利用LINGO软件进行求解。本文解决的主要问题是:投资者利用自己有限的基金10万元，在今后5年内对下列4个项目进行投资，在不考虑投资风险的情况下进行合理的安排资金，使投资利润最大化。具体步骤如下：1.分析各个投资项目情况：如投资利润、投资年限、投资金额等。2.通过分析各个项目的关系和自身的情况列写出正确的方程和方程之间的联系。3.利用程序求出结果。4.模型检验。由题意可知：(1) 项目A需要从年初投资到次年年末，次年年末获益115%，历时2年，且只能在第一年年初到第四年年初内投资。(2) 项目B在第三年年初投资，第五年年末获益125%，历时3年。(3) 项目C在第二年年初投资（不超过3万元），第五年年末获益140%，历时4年。(4) 项目D每年年初可投资并于当年年末获益106%，历时1年。(5) 各种投资金额总额限制以及项目C的投资总额不能超过3万元为约束条件。详述如下表：项目项目A项目B项目C项目D本利比1.151.251.41.06时间2年3年4年1年其它第1年到第4年年初投资，次年年末回收本利第3年年初投资第2年年初投资，不超过3万元每年均可投资根据以上条件进一步分析，列出线性方程，运用LINGO求解。设置决策变量，即设置决策过程中的可控因素，由于是动态连续投资问题，故需要求得每年年初的投资总金额。对于本文涉及到的问题，建立一个横方向的元素代表每年对该项目投资的金额，竖方向的元素代表每年年初对各项目的投资的金额含20个元素的二维数组，由于项目A在第14年年初可投资、项目B只在第3年初投资、项目C只在第2年年初投资，因此真正的未知元素只有11个，而且这11个未知数类型相同，更容易理解3。如表所示：单位（元）项目时间第一年年初第二年年初第三年年初第四年年初第五年年初项目AA11A12A13A14项目BB23项目CC32项目DD41D42D43D44D45由于假设的未知数都是每年年初的投资金额，其金额数不超过本年可用金额，项目C的投资金额有限制要求，其上述都可在约束条件中体现。在5年内，项目A是前四年投资次年年末收回，项目B是第3年投资，其它时 间不投资且到第5年回收，项目C是第2年投资其它时间不投资且到第5年回收，而项目D是每年都需要投资且每年都可回收。所以投资者每年可以把全部的资金用于投资。投资项目只有第一个项目和第三个项目主要原因是：第一个项目每年都可以投资并且年初投资年末就可以获得收益，而且可以用来在次年进行投资，而第三个项目的利润比较大，获得的收益也比较大。所以这种投资可以获得较大的收益并且与事实相同。建立方程过程如下：第1年：该部门有100000资金可用于投资项目A和项目B。即：=A11 + D41 =100000第2年：由于项目A第1年投资的资金到第2年年末才能收回，所以第2年投资的资金来自项目D第1年年末收回的利息。所以第2年年初投资应满足：A12 + C32 + D42 =1.06D41+=第3年：第3年投资的资金是应是项目A第1年投资收回的本利和项目D第2年收回的本利。所以第3年年初投资应满足：+A13 + B23 + D43 = 1.15A11 + 1.06D42第4年：第4年投资资金应是项目A第2年投资收回的本利和项目D第3年投资收回的本利。所以第4年年初投资应满足：A14 + D44 = 1.15A12 + 1.06D43第5年；第5年投资的资金应是项目A第3年投资收回的本利和项目D第4年投资收回的本利。所以第5年年初投资应满足：D45 = 1.15A13 + 1.06D44又要求项目C的投资不超过30000元，则：C32=30000所以到第5年年末，获得的总金额应为:Y=1.15A14 + 1.25 B23 + 1.4C32 +1.06 D45模型的建立及求解投资者合理安排资金对项目进行投资是为了获得最好的投资收益，而投资者是想在时间最短和风险最小范围内能够获得最大的利润。在文中题目已知的条件下，如果要使该投资者能够获得最大的投资收益，应该使该投资者的投资能够满足条件要求：投资时间、投资金额等。这样就可以建立一个类似于动态线性规划的模型，此模型能够求解出该投资者获得最大利润时的投资时间、投资项目。在不考虑投资风险的情况下，使投资金额最大、回收本金和利润之和最大即可。则目标函数为:MAX Y=1.15A14 + 1.25 B23 + 1.4C32 +1.06 D45约束条件为：A11 + D41 =100000A12 + C32 + D42 =1.06D41A13 + B23 + D43 = 1.15A11 + 1.06D42A14 + D44 = 1.15A12 + 1.06D43D45 = 1.15A13 + 1.06D44C32=30000且以上变量均为非负通过上面的数学模型，我们可以用LINGO软件来转化，在投资得到最大利润问题的LINGO模型中，包含数据段、目标段、约束段。这个模型就是利用线性规划来实现五年后的总金额最大。总金额就是本金10万元加上各年的总利润之和。在模型解析问题的过程中，有几个重要的因素必须考虑：第一是每年所能投资的项目第二是每年所能投资的最大金额第三就是项目C每年最多只能投资三万元，这三方面因素缺一不可。源程序如下：max=1.15*A14+1.25*B23+1.4*C32+1.06*D45;A11+D41=100000;A12+C32+D42=1.06*D41;A13+B23+D43=1.15*A11+1.06*D42;A14+D44=1.15*A12+1.06*D43;D45=1.15*A13+1.06*D44;C32=30000;LINGO软件操作如下4：求得结果如下： 最大收益MAX=145066元具体投资如下表： 单位（元）项目时间第1年年初第2年年初第3年年初第4年年初第5年年初项目A71698.110000项目B0082452.8300项目C030000000项目D28301.890000即第1年年初对项目A投资71698.11元，对项目D投资28301.89元。第2年年初对项目投资30000元。第3年年初对项目投资82452.83元。第4年年初和第5年年初不投资。投资者按照上表进行投资，就可获得最大利润。模型检验将具体问题数学化就是建立数学模型。我们就是用数学语言来描述实际问题，应用数学去解决实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的事情。模型建立的过程就是把错综复杂的问题简化、抽象为简单合理的数学过程。本文就是将投资问题用数学语言表达的一个案例。10万元经最优投资，到第五年年末共得到145066元，符合现实生活。通过上面的数学模型，我们可以用LINGO软件来转化，在投资获得最大利润问题的LINGO模型中，包含数据段、目标段、约束段。这个模型就是利用线性规划，来实现五年后的总金额最大。因为A1171698.11 ，假设A11 =71000元，则D41=29000元，所以MAX=145043元假设A11=72000元，则D41=28000元，求得 MAX =145052元。两者结果均小于145066元。对其它的假设投资经运算后，检验结果无误。以上表明，所建立的数学模型可以有效地解决如何投资获得最大利润问题。由上表可知：第5年年末该投资者收回本利共145066元，净赚金额为45066元，易算得盈利为45.066%，盈利值在现实经济投资下较高。因此，该方案具有较大的可行性。模型优缺分析从结果分析可知，模型的准确度还是比较高的，可以较好地反映实际情况，并且具有一定的指导意义。可以根据这进行投资，也可以作为一个参考，模型的建立过程比较严谨，思路清晰，最终得出的结果也符合事实。本文把所有解决的问题归结为优化解，建立的模型清晰合理，在运用方案时要根据实际情况合理安排，灵活变动。LINGO软件的执行速度很快，易于方便输入，求解和分析数学规划问题，应用于解非线性和线性方程组的求解及代数方程求根。本文得到的数据结果具有良好程度的参考价值，在问题的解决过程中，成功的运用了LINGO数学软件计算，避免了计算数据的繁琐过程，应用的计算方法简便不复杂，而且不会受到项目的投资利率影响。使用的方法适合解决一些和投资收益等有关的优化问题，在题目中所设变量较少并可以归为一类。但是此模型都是假设在无风险的基础上的，即只要投资一定能获得所给的利润，但这在现实生活中很少存在，投资都是有风险的，一般来说回报越高风险越大。该模型是建立在一定的理想情况下，没有考虑利润发生变化的情况和一些突发事件的发生，这就是此模型的缺点。太理想化了，而且需要投资者很有实力，也就是说投资者不会投资错误，这显然也是很理想化。本模型只考虑到假设前提下的情况，实际投资过程中的一些问题没有考虑全面。因此，此模型存在一定的风险，在存在风险条件下进行投资，这样就可以建立一个更具有现实意义的模型。由于投资项目的利率在实际生活中会有波动，而本文将投资项目的利率定为在5年内不发生变化。投资者得到的最大利润不是特别的准确，该投资者在本次投资过程中没有资金的流动，但是在实际中这个问题不能保证。在对任何项目进行投资中都会存在不同程度的风险，但在本文中并未给出各项目的投资风险。建立的模型是一个较理想的模型来解决问题。模型推广投资决策是获得最大利润的重要组成部分，在进行投资安排选择时，如何选择最优的投资方案，是投资者首先要考虑的问题。把线性规划知识运用到企业中去，可以使企业适应市场激烈的竞争，及时、准确、科学地制定生产计划、投资计划、对资源进行合理配置。应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构过程。要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题，需要深厚扎实的数学基础、敏锐的洞察力和想象力，对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面。数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领域内广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径，数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到数学界和工程界的普遍重视，它已成为现代科技工作者必备的重要能力之一。数学建模是建立在一个理想条件下，运用实施还需要根据实际情况而发生改变5。由于企业经营受企业自身的发展模式，阶段和经营规模等内部因素，以及宏观经济政策，环境等诸多外部因素的综合影响程度很大，在对企业发展趋势的预测时，如能将许多不可预见的因素全面考虑，建立一个更加符合现实实际的模型，可增加可信程度，减小误差。该模型不仅可以用来指导个人理财，还可应用于解决企业的投资分配问题，同时利用LINGO这种先进的科学计算软件对大量的基础数据进