重庆一中2015届高三上学期 10月月考数学试卷（理科）（解析版）.doc

重庆一中2015届高三上学期 10月月考数学试卷（理科）一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分）1（5分）已知集合A1，2，B=1，2，则可以确定不同映射f：AB的个数为（）A1B2C3D42（5分）已知集合M=x|x22x0，N=x|xa，若MN，则实数a的取值范围是（）A2，+）B（2，+）C（，0）D（，03（5分）已知，（0，），则+=是sin=cos的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（5分）函数f（x）=Asin（x+）（A0，0）的部分图象如图所示，则f（x）=（）Asin（2x）Bsin（2x）Csin（4x+）Dsin（4x+）5（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD6（5分）方程有解，则a的最小值为（）A2B1CD7（5分）函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），（|）的图象关于点对称，则f（x）的增区间（）ABCD8（5分）2sin10（cot5tan5）=（）A1BCD29（5分）已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）2f（x），则（）Af（2）e2f（1）Be2f（0）f（1）C9f（ln2）4f（ln3）De2f（ln2）4f（1）10（5分）给定实数a（a0），f：RR对任意实数x均满足f（f（x）=xf（x）+a，则f（x）的零点的个数（）A0B1C2D3二、填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分）11（5分）函数的定义域为12（5分）在ABC中，A=60，AC=4，BC=2，则ABC的面积等于13（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间5，1上的所有实根之和为14（5分）如图所示，已知AB，BC是O的两条弦，AOBC，AB=，BC=2，则O的半径等于15（5分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是=4cos，则直线l被圆C截得的弦长为16若不等式|x+1|+|x3|a+对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（13分）已知函数f（x）=（1）求f（x）的值域和最小正周期；（2）方程mf（x）+2=0在内有解，求实数m的取值范围18（13分）已知函数f（x）=ax2+bxaab（a0），当x（1，3）时，f（x）0；当x（，1）（3，+）时，f（x）0（1）求f（x）在（1，2）内的值域；（2）若方程f（x）=c在0，3有两个不等实根，求c的取值范围19（13分）如图，在多面体ABCA1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC=AB=1，A1C=A1B=BC，B1C1BC，B1C1=BC（）求证：AB1面A1C1C；（）求二面角CA1C1B的余弦值的大小20（12分）设函数f（x）=x3ax，g（x）=bx2+2b1（1）若曲线y=f（x）与y=g（x）在它们的交点（1，c）处有相同的切线，求实数a，b的值；（2）当a=1，b=0时，求函数h（x）=f（x）+g（x）在区间t，t+3内的最小值21（12分）已知圆C：（x1）2+（y1）2=2经过椭圆：=1（ab0）的右焦点F，且F到右准线的距离为2（1）求椭圆的方程；（2）如图，过原点O的射线l与椭圆在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点，求的最大值22（12分）设函数f（x）=aln（1+x），g（x）=ln（1+x）bx（1）若函数f（x）在x=0处有极值，求函数f（x）的最大值；（2）是否存在实数b，使得关于x的不等式g（x）0在（0，+）上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：不等式1lnn（n=1，2）重庆一中2015届高三上学期10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分）1（5分）已知集合A1，2，B=1，2，则可以确定不同映射f：AB的个数为（）A1B2C3D4考点：映射 专题：计算题；函数的性质及应用分析：由映射的定义知集合A中每一个元素在集合B中有唯一的元素和它对应，A中1在集合B中有1或2与1对应，有两种选择，同理集合A中2也有两种选择，由分步计数原理求解即可解答：解：由映射的定义知A中1在集合B中有1或2与1对应，有两种选择，同理集合A中2也有两种选择，由分步计数原理得从集合A=1，2到集合B=1，2的不同映射共有22=4个故选D点评：本题考查映射的概念，考查两个集合之间映射的方式，求解本题可以利用列举法，最好选用计数原理，方便快捷，可迅速得出答案2（5分）已知集合M=x|x22x0，N=x|xa，若MN，则实数a的取值范围是（）A2，+）B（2，+）C（，0）D（，0考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出M中不等式的解集确定出M，根据N以及M为N的子集，确定出a的范围即可解答：解：由M中不等式变形得：x（x2）0，解得：0x2，即M=（0，2），N=x|xa，且MN，a2，则a的范围为2，+）故选：A点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键3（5分）已知，（0，），则+=是sin=cos的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：运用诱导公式，和充分必要条件的定义判断求解解答：解：（1），（0，），则+=，=，sin=sin（），即sin=cos成立（2）sin=cos，sin=sin（），=+2k，kz，+=不一定成立所以+=是sin=cos的充分不必要条件，故选；A点评：本题考查了三角函数公式，性质，充分必要条件的定义，知识点多，但是难度不大4（5分）函数f（x）=Asin（x+）（A0，0）的部分图象如图所示，则f（x）=（）Asin（2x）Bsin（2x）Csin（4x+）Dsin（4x+）考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：三角函数的图像与性质分析：由y=Asin（x+）的部分图象可求得其振幅A及最小正周期T=，继而可得；再由sin（2+）=可求得，从而可得答案解答：解：由图知f（x）在x=时取到最大值，且最小正周期T满足T=+=，A=，T=，=2；由sin（2+）=，得：sin（+）=1，+=2k+，=2k，kZf（x）=sin（2x）故选：B点评：本题考查由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，求是难点，考查识图与运算能力，属于中档题5（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：由三视图可知该几何体，是过一正三棱柱的上底面一边作截面，截去的部分为三棱锥，利用间接法求出其体积解答：解：由三视图可知该几何体，是过一正三棱柱的上底面一边作截面，截去的部分为三棱锥，而得到的几何体原正三棱锥的底面边长为2，高为2，体积V1=Sh=2=2截去的三棱锥的高为1，体积V2=1=故所求体积为V=V1V2=故选A点评：本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键6（5分）方程有解，则a的最小值为（）A2B1CD考点：函数的零点与方程根的关系 专题：函数的性质及应用分析：若方程有解，根据将对数式化为指数式后要得+2x=a有解，根据基本不等式求出+2x的最小值，即可得到答案解答：解：若方程有解，则=a2x有解即+2x=a有解+2x1故a的最小值为1故选B点评：本题考查的知识点是函数零点与方程根的关键，指对互化，基本不等式，其中将对数式化为指数式后得到+2x=a有解，是解答的关键7（5分）函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），（|）的图象关于点对称，则f（x）的增区间（）ABCD考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性 专题：常规题型；三角函数的图像与性质分析：利用两角和的正弦公式化成标准形式，根据图象关于点对称，求出的值，然后根据正弦函数的单调增区间求函数f（x）的单调增区间解答：解：f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），=2sin（2x+），图象关于点对称，2+=k，（kZ）=k，（kZ），|，f（x）=2sin（2x+）；由（kZ）解得：（kZ）函数f（x）的增区间为故选D点评：本题考查了三角函数式的化简及三角函数的图象与性质，解题的关键是把三角函数式化成标准形式，在求值时要注意其范围8（5分）2sin10（cot5tan5）=（）A1BCD2考点：三角函数的化简求值 专题：三角函数的求值分析：由条件利用同角三角函数的基本关系把要求的式子化为=4cos10，通分后利用诱导公式、和差化积公式化为2cos30，从而得到结果解答：解：2sin10（cot5tan5）=2sin10（）=2sin10=4cos10=2cos30=，故选：C点评：题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、和差化积公式的应用，属于中档题9（5分）已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）2f（x），则（）Af（2）e2f（1）Be2f（0）f（1）C9f（ln2）4f（ln3）De2f（ln2）4f（1）考点：导数的运算 专题：函数的性质及应用分析：构造函数g（x）=，利用定义得到函数的单调性，问题得以解决解答：解：令g（x）=，则g（x）=0，则g（x）=为减函数，g（0）g（1），即，即e2f（0）f（1），故选：B点评：本题首先须结合已知条件构造函数，然后考察用导数判断函数的单调性，再由函数的单调性和函数值的大小关系，判断自变量的大小关系，属中档题10（5分）给定实数a（a0），f：RR对任意实数x均满足f（f（x）=xf（x）+a，则f（x）的零点的个数（）A0B1C2D3考点：根的存在性及根的个数判断 专题：计算题；选作题；函数的性质及应用分析：假设函数有零点，通过反复利用公式f（f（x）=xf（x）+a，最终可得a=0，与题意相矛盾，从而说明没有零点解答：解：若f（x）有零点b，则f（b）=0，则f（f（b）=f（0）=bf（b）+a=a，即f（0）=a，则f（f（0）=f（a）=0f（0）+a=a，则f（a）=a，则f（f（a）=f（a）=af（a）+a=a2+a=a，则a2=0，解得，a=0，与题意相矛盾，故f（x）没有零点故选A点评：本题考查了函数的零点的定义及对于新知识的接受能力，属于难题二、填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分）11（5分）函数的定义域为（1，1）考点：函数的定义域及其求法 分析：由对数函数的真数一定大于0，可以得到x+10，又因为偶次开方被开方数一定非负且分式中分母不能为0，可以得到x33x+40，进而求出x的取值范围解答：解：x+10，x1，又x33x+40，即x3+3x4=（x31）+3（x1）=（x1）（x2+x+4），且x2+x+40，故x33x+40x10，解得，x1从而，1x1故答案为：（1，1）点评：定义域是2015届高考必考题通常以选择或填空的形式出现，通常注意：偶次开方被开方数一定非负，分式中分母不能为0，对数函数的真数一定要大于0，指数和对数的底数大于0且不等于1另外还要注意正切函数的定义域12（5分）在ABC中，A=60，AC=4，BC=2，则ABC的面积等于2考点：正弦定理 专题：解三角形分析：利用三角形中的正弦定理求出角B，再利用三角形的面积公式求出ABC的面积解答：解：ABC中，A=60，AC=4，BC=2，由正弦定理得：，解得sinB=1，B=90，C=30，ABC的面积=故答案为：点评：本题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角，求它的面积正余弦定理、解直角三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题13（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间5，1上的所有实根之和为7考点：分段函数的应用 专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用分析：化简g（x）的表达式，得到g（x）的图象关于点（2，1）对称，由f（x）的周期性，画出f（x），g（x）的图象，通过图象观察5，1上的交点的横坐标的特点，求出它们的和解答：解：由题意知，函数f（x）的周期为2，则函数f（x），g（x）在区间5，1上的图象如下图所示：由图形可知函数f（x），g（x）在区间5，1上的交点为A，B，C，易知点B的横坐标为3，若设C的横坐标为t（0t1），则点A的横坐标为4t，所以方程f（x）=g（x）在区间5，1上的所有实数根之和为3+（4t）+t=7故答案为：7点评：本题考查分段函数的图象和运用，考查函数的周期性、对称性和应用，同时考查数形结合的能力，属于中档题14（5分）如图所示，已知AB，BC是O的两条弦，AOBC，AB=，BC=2，则O的半径等于1.5考点：与圆有关的比例线段 专题：计算题；立体几何分析：设垂足为D，O的半径等于R，先计算AD，再计算R即可解答：解：设垂足为D，O的半径等于R，则AB，BC是O的两条弦，AOBC，AB=，BC=2，AD=1，R2=2+（R1）2，R=1.5故答案为：1.5点评：本题考查垂径定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题15（5分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是=4cos，则直线l被圆C截得的弦长为考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化 专题：坐标系和参数方程分析：圆C的极坐标方程是=4cos，利用可得直角坐标方程，可得圆心C及其半径r由直线l的参数方程（t为参数），消去参数可得y=x4利用点到直线的距离公式可得圆心C到直线l的距离d再利用弦长公式l=2即可得出解答：解：圆C的极坐标方程是=4cos，2=4cos，x2+y2=4x，化为（x2）2+y2=4，其圆心C（2，0），半径r=2由直线l的参数方程（t为参数），消去参数可得y=x4圆心C到直线l的距离d=直线l被圆C截得的弦长=2=故答案为：2点评：本题考查了极坐标方程参数方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题16若不等式|x+1|+|x3|a+对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是（，0）2考点：绝对值不等式的解法 专题：计算题；数形结合；转化思想分析：不等式对任意的实数x恒成立转化为a+小于等于函数y=|x+1|+|x3|的最小值，根据绝对值不等式的几何意义可知函数y=|x+1|+|x3|的最小值为4，因此原不等式转化为分式不等式的求解问题解答：解：令y=|x+1|+|x3|，由绝对值不等式的几何意义可知函数y=|x+1|+|x3|的最小值为4，不等式对任意的实数x恒成立原不等式可化为4解得a=2或a0故答案为：（，0）2点评：考查绝对值不等式的几何意义，把恒成立问题转化为求函数的最值问题，体现了转化的思想方法，属中档题三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（13分）已知函数f（x）=（1）求f（x）的值域和最小正周期；（2）方程mf（x）+2=0在内有解，求实数m的取值范围考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法 专题：常规题型；三角函数的图像与性质分析：（1）先利用和差公式把函数解析式化成标准形式，然后结合正弦函数的值域求f（x）的值域；（2）根据x的范围求出f（x）+的范围，然后由mf（x）+2=0知，m0，f（x）+=，只须让2即可解答：解：（1）f（x）=2sin（2x+）1sin（2x+）122sin（2x+）2，T=，即f（x）的值域为2，2，最小正周期为（7分）（2）当x0，时，2x+，故sin（2x+），此时f（x）+=2sin（2x+），2由mf（x）+2=0知，m0，f（x）+=，即2，即，解得m1即实数m的取值范围是点评：本题考查了三解函数式的化简及三角函数的图象与性质，解题的关键是把函数解析式化成标准形式，在求解函数的值域时注意x的取值范围把方程有解问题转化成求函数的值域问题解决18（13分）已知函数f（x）=ax2+bxaab（a0），当x（1，3）时，f（x）0；当x（，1）（3，+）时，f（x）0（1）求f（x）在（1，2）内的值域；（2）若方程f（x）=c在0，3有两个不等实根，求c的取值范围考点：二次函数在闭区间上的最值；函数的值域；函数的零点与方程根的关系 专题：函数的性质及应用分析：（1）由题意，1，3是方程ax2+bxaab=0的两根，求得得a和b的值，可得二次函数f（x）的解析式，从而求得f（x） 在（1，2）内的值域（2）由题意可得x22x+c3=0，在0，3有两个不等实根，设g（x）=x22x+c3，则，由此解得c的范围解答：解：（1）由题意，1，3是方程ax2+bxaab=0的两根，可得a=1，b=2，则f（x）=x2+2x+3=（x1）2+4 在（1，2）内的值域为（0，4（2）方程x2+2x+3=c，即x22x+c3=0，在0，3有两个不等实根，设g（x）=x22x+c3，则，解得3c4点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了转化的数学思想，属基础题19（13分）如图，在多面体ABCA1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC=AB=1，A1C=A1B=BC，B1C1BC，B1C1=BC（）求证：AB1面A1C1C；（）求二面角CA1C1B的余弦值的大小考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）取BC中点E，连结AE，C1E，B1E，由已知得四边形CEB1C1是平行四边形，AEC1A1是平行四边形，由此能证明AB1面A1C1C（）由已知得A1A=AB=AC=1，A1AAB，A1AAC，从而A1A面ABC，以A为原点，以AC为x轴建立坐标系，利用向量法能求出二面角CA1C1B的余弦值的大小解答：（）证明：取BC中点E，连结AE，C1E，B1E，B1C1BC，四边形CEB1C1是平行四边形，B1EC1C，B1E=C1C，C1C面A1C1C，B1E不包含于平面A1C1C，B1E面A1C1C，又ABB1A1是正方形，A1AC1E，AEC1A1是平行四边形，AEA1C1A1C1面A1C1C，AE面A1C1C，AE面A1C1C，AEB1E=E，面B1AE面A1C1C，AB1面B1AE，AB1面A1C1C（）四边形ABB1A1为正方形，A1A=AB=AC=1，A1AAB，A1C=A1B，由勾股定理可得：A1AC=90，A1AAC，ABAC=A，A1A面ABC，A1C=A1B=BC，由勾股定理，得BAC=90，ABAC，故以A为原点，以AC为x轴建立坐标系如图，C（1，0，0），A1（0，0，1），B（0，1，0），=（1，0，1），=（1，0，1），=（0，1，1），=（），设面A1C1C的法向量为=（x，y，z），由=0，=0，令z=1，则=（1，1，1），设面A1C1B的法向量为，则则，令k=1，则（10分）所以，设二面角CA1C1B的平面角为，所以（12分）点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用20（12分）设函数f（x）=x3ax，g（x）=bx2+2b1（1）若曲线y=f（x）与y=g（x）在它们的交点（1，c）处有相同的切线，求实数a，b的值；（2）当a=1，b=0时，求函数h（x）=f（x）+g（x）在区间t，t+3内的最小值考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：计算题；分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用分析：（1）分别求出函数f（x），g（x）的导数，由于曲线y=f（x）与y=g（x）在它们的交点（1，c）处有相同的切线，所以f（1）=g（1），且f（1）=g（1），列出方程，解出即可；（2）写出h（x）的解析式，求出单调增区间和减区间，得到h（2）=h（1），讨论当t+31，当2t1时，当t1时，通过单调性，分别求出最小值即可解答：解：（1）因为f（x）=x3ax（a0），g（x）=bx2+2b1，所以f（x）=x2a，g（x）=2bx因为曲线y=f（x）与y=g（x）在它们的交点（1，c）处有相同的切线，所以f（1）=g（1），且f（1）=g（1），即a=b+2b1，且1a=2b，解得a=，b=（2）当a=1，b=0时，h（x）=x3x1，b=，则由（2）可知，函数h（x）的单调递增区间为（，1），（1，+），单调递减区间为（1，1）因为h（2）=，h（1）=，所以h（2）=h（1）当t+31，即t2时，h（x）min=h（t）=t3t1当2t1时，h（x）min=h（2）=当t1时，h（x）在区间t，t+3上单调递增，h（x）min=h（t）=t3t1综上可知，函数h（x）在区间t，t+3上的最小值h（x）min=点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题21（12分）已知圆C：（x1）2+（y1）2=2经过椭圆：=1（ab0）的右焦点F，且F到右准线的距离为2（1）求椭圆的方程；（2）如图，过原点O的射线l与椭圆在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点，求的最大值考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）在圆（x1）2+（y1）2=2中，令y=0，得F（2，0），得a2=8，由此能求出椭圆方程（2）依题意射线l的斜率存在，设l：y=kx（x0，k0），设P（x1，kx1），Q（x2，kx2），直线代入椭圆、圆的方程，结合向量的数量积公式，利用导数，即可求的最大值解答：解：（1）在C：（x1）2+（y1）2=2中，令y=0得F（2，0），即c=2，又得a2=8，椭圆：=1（4分）（2）依题意射线l的斜率存在