2013北京航空航天大学线性代数课件-第一章--行列式的定义.ppt

线性代数 朱立永 北京航空航天大学 数学与系统科学学院 线性代数 这一讲的主要内容 这门课程的主要内容 这门课程的特点及考核方式 行列式的定义 线性代数 线性代数课程简介 英文名字：Linear Algebra 线性代数是讨论有限维空间中线性关系经 典理论的课程； 它具有较强的抽象性和逻辑性，是理工科 大学本科各专业的重要基础理论课； 本课程不仅是学生必须掌握的数学基础， 同时也在现代科学技术的各个领域有着十 分广泛的应用。 线性代数 本课程的主要内容 行列式（第1章) 矩阵（第2章) 向量的线性相关性（第3章) 线性方程组（第4章) 矩阵的相似标准型（第5章) 二次型（第6章) 线性空间（第7章-自学内容） 线性变换（第8章自学内容） 线性代数的一些应用（第9章-自学内容） 线性代数 1.主要教材 线性代数，高宗升 周梦 李红裔编，北京航空航天大 学出版社，2009。 1.其它参考书 （1）线性代数，周德润等编，北京航空航天大学出版社，1996 （2）线性代数，同济大学数学教研室编，高等教育出版社 （3）线性代数，谢邦杰编，人民教育出版社，1978 （4）高等代数，北京大学数学系编，北京大学出版社，2003 （5）线性代数复习必备，自印。 参考资料 线性代数 本门课程的特点 具有较强的抽象性和逻辑性 各部分内容有紧密的联系 线性代数 课程安排及考核方式 总学时：48=36课内学时 + 12学时习题课 课内教师讲授，课外学生自学与作习题 考核方式及成绩评定 1. 期末闭卷笔试，占总成绩的90 2平时作业占10 线性代数 其它要注意的几点 课前一定要做好预习 课后要认真完成作业 有问题要及时问（baidu/google），（答疑 时间和地点?) 办公室：学院路校区图书馆西配楼519室， Email： 线性代数 第一章 行列式 行列式是由解线性方程组引进的，是研究 线性代数的重要工具，它在自然科学的许 多领域有着广泛的应用。 线性代数 1.1 n阶行列式 1.2 行列式的性质 1.3 行列式的展开与计算 1.4 克莱姆（Cramer）法则 1.5 数域 本章的主要内容 线性代数 1.1 n阶行列式 1.1.1 排列与逆序 1.1.2 二阶与三阶行列式 1.1.3 n阶行列式的定义 线性代数 1.1.1 排列与逆序 定义1.1.1 由自然数1，2，n组成的 一个有序数组称为一个n阶排列，记为j1,j2,jn 1，2，n可组成n！个不同的n阶排列 按数字的自然顺序由小到大的排列称为标准排列或自 然排列. 线性代数 定义1.1.2 在一个排列中，若一个较大的数排在 一个较小的数的前面，则称这两个数构成一个逆序. 一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数 .用 (j1,j2,jn)表示排列j1,j2,jn的逆序数. 逆序数是偶数的排列称为偶排列，逆序数是奇数的 排列称为奇排列. 对一个n阶排列 j1,j2,jn ，如何求它的逆序数呢？ 线性代数 设这个排列中排在j后面比j小的数的个数为 (j) ， 则排列j1,j2,jn的逆序数为 ( j1,j2,jn ) = (j1) + (j2) + + (jn-1) 例1.1.1 求排列32514与n(n-1) 321的逆序数. 线性代数 定义1.1.3 把一个排列中某两个数的位置互换，而 其余的数不动，就得到一个新的排列，这种变换称 为排列的一个对换. 定理1.1.1 一次对换改变排列奇偶性. 推论 任何一个n阶排列都可以通过对换化成标 准排列,并且所作对换的次数的奇偶性与该排列 的奇偶性相同. 线性代数 1.1.2 二阶与三阶行列式 设二元一次线性方程组 （1.1.6） 用消元法去解此方程组，得 （1.1.7） 线性代数 为了便于记忆，引入记号 (1.1.8) 式(1.1.8) 称为二阶行列式.D中横写的称为行，竖写 的称为列. 数aij称为行列式的元素,它的第一个下标i表示这个元 素所在的行，称为行指标，第二个下标 j表示这个元 素所在的列，称为列指标. 线性代数 行列式中从左上角到右下角的连线称为主对角 线，从右上角到左下角的连线称为副对角线. 由(1.1.8)可知，二阶行列式的值是主对角线 上元素a11,a22的乘积减去副对角线上元素 a12,a21的乘积.按照这个规则，我们有 二元线性方程组（1.1.6）的解可用二阶行列式表示成 线性代数 同理，考虑三元一次线性方程组 (1.1.9) 线性代数 应用消元法先后消去x2和x3，得到 把x1的系数记为式(1.1.10） 线性代数 类似: 三阶阶行列式 对角线法则:实线上元素之积为正,虚线上元素之 积为负. 线性代数 由于D中共有三行三列,我们把它称为三阶行列式.因 为它由方程组(1.1.9)中变元的系数组成,又称其为 方程组(1.1.9)的系数行列式.如果 D0,容易算出 方程组(1.1.9)有唯一解: 其中Dj(j=1,2,3)分别是在D中把第j列的元素换成方 程组(1.1.9)右端的常数项b1,b2,b3得到. 线性代数 由上面的讨论,自然会想到如何把二阶、三阶行列 式推广到一般的 n阶行列式,并用它来表达由 n个 未知量 n个方程所组成的线性方程组的解.通过观 察二阶、三阶行列式,发现它们有以下特点： (1) 二阶、三阶行列式的每一项都是取自不同行 不同列的元素的乘积,其代数和即为该行列式之值 . 二阶行列式有2!项，三阶行列式有3!项. 线性代数 (2) 代数和中每一项前的符号有以下规律：行指标 取成标准排列时，由列指标组成排列的奇偶性决定 每项前的正负号,偶者为正,奇者为负. 综上,我们有 线性代数 1.1.3 n阶行列式的定义 定义1.1.4 由n2个元素排成n行n列,以 记之，称其为 n阶行列式,它代表一个数值.此数值 是取自上式中不同行不同列的n个元素 乘积的代数和，其中j1,j2,jn是数字1,2,n的 某一个排列，故共有n!项。 线性代数 每项前的符号按下列规定：当 j1,j2,jn为偶排 列时取正号，当 j1,j2,jn为奇排列时取负号， 即 (1.1.11) 表示对 1,2,n这n个数组成的所有 排列 j1,j2,jn取和. 其中 线性代数 当n=1时, 即为一阶行列式,我们规定 |a|=a; n=2,3时,即为前面定义的二阶、三阶行列式. 为了书写方便,n阶行列式也可记为 Dn=|aij|n. 例1.1.2 计算n阶下三角形行列式 线性代数 特别地,对于对角形行列式,有 线性代数 例1.1.3 计算n阶行列式 线性代数 在行列式的定义中,我们规定n个元素相乘时,元 素的行指标按标准排列,由列指标排列的逆序数 决定各项前的正负号. 那么能否在定义中 n个元素的相乘项里把元素的 列指标排