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第二章 完全信息静态博弈 本章介绍完全信息静态博弈。完全信息静 态博弈即各博弈方同时决策，且所有博弈方对 各方得益都了解的博弈。囚徒的困境、齐威王 田忌赛马、猜硬币、石头剪子布、古诺产量决 策都属于这种博弈。完全信息静态博弈属于非 合作博弈最基本的类型。本章介绍完全信息静 态博弈的一般分析方法、纳什均衡概念、各种 经典模型及其应用等。 本章分六节 2.1基本分析思路和方法 2.2纳什均衡 2.3无限策略博弈分析和反应函数 2.4混合策略和混合策略纳什均衡 2.5纳什均衡的存在性 2.6纳什均衡的选择和分析方法扩展 2.1 基本分析思路和方法 2.1.1 上策均衡 2.1.2 严格下策反复消去法 2.1.3 划线法 2.1.4 箭头法 2.1.1 上策均衡 上策：不管其它博弈方选择什么策略，一博弈方 的某个策略给他带来的得益始终高于其它的策 略，至少不低于其他策略的策略 囚徒的困境中的“坦白”；双寡头削价中“低价” 。 上策均衡：一个博弈的某个策略组合中的所有策 略都是各个博弈方各自的上策，必然是该博弈 比较稳定的结果 n上策均衡不是普遍存在的 2.1.2 严格下策反复消去法 严格下策：不管其它博弈方的策略如何变化， 给一个博弈方带来的收益总是比另一种策略 给他带来的收益小的策略 严格下策反复消去： 1，01，30，1 0，40，22，0 左中右 上 下 1，01，3 0，40，2 左中 1，01，3 左中 2.1.3 划线法 1， 01， 30， 1 0， 40， 22， 0 -5， -50， -8 -8， 0-1， -1 囚 徒 困 境 -1， 1 1， -1 1， -1 -1， 1 猜 硬 币 2， 1 0， 0 0， 0 1， 3 夫 妻 之 争 2.1.4 箭头法 1， 01， 30， 1 0， 40， 22， 0 -5， -50， -8 -8， 0-1， -1 囚 徒 困 境 -1， 1 1， -1 1， -1 -1， 1 猜 硬 币 2， 1 0， 0 0， 0 1， 3 夫 妻 之 争 2.2 纳什均衡 2.2.1 纳什均衡的定义 2.2.2 纳什均衡的一致预测性质 2.2.3 纳什均衡与严格下策反复消去法 2.2.1 纳什均衡的定义 n策略空间： n博弈方 的第 个策略： n博弈方 的得益： n博弈： 纳什均衡：在博弈 中，如果由各个博弈方 的各一个策略组成的某个策略组合 中，任一博弈方 的策略，都是对其余博弈方策略的组合 的最佳对策，也即 对任意 都成立，则称 为 的一个纳什均衡 q策略型博弈的实例和解(性别战 ) 例. 性别战(battle of the sexes) 一男一女恋爱，有些业余活动要安排，或者去看 足球比赛，或者去看芭蕾舞演出。男的偏好足球，女 的则更喜欢芭蕾舞，但他们都宁愿在一起，不愿分开 。下表给出收益矩阵： 女 足球芭蕾 男 足球2，10，0 芭蕾0，01，2 q策略型博弈的实例和解(性别战 ) 例. 性别战(battle of the sexes) 这个博奕中有两个纳什均衡：(足球，足球)和( 芭蕾，芭蕾)。就是说，一方去足球场，另一方也会 去足球场；类似地，一方去看芭蕾，另一方也会去看 芭蕾。在实际生活中，也许是这一次看足球，下一次 看芭蕾，如此循环，形成一种默契。这在实际生活中 是指，两种互补的活动应该配合，尽管配合的方式可 能有很多种。 比如，两家工厂生产的产品可能是互补的，一家 为另一家提供零配件，这里有一个标准的选择问题， 由于种种原因，很可能在产品标准的选择上，生产成 品的厂家与生产零配件的厂家之间有冲突。这就需要 相互妥协，但妥协的结果有两种可能，或者是生产零 配件的厂家适应生产成品的厂家，或者是生产成品的 厂家适应于生产零配件的厂家。 q策略型博弈的实例和解(性别战 ) 例. 性别战(battle of the sexes) 博弈论和对策行为 q策略型博弈的实例和解(性别战 ) 例. 性别战(battle of the sexes) 性别战的例子中有两个纳什均衡，那么，究竟那 一个纳什均衡会实际发生？我们不知道。这里还有一 个先动优势(first-mover advantage)，比如说，若男的 先买票，两人就会出现在足球场，若女的买票，两人 就会出现在芭蕾舞剧院。 博弈论和对策行为 q性别战在经济学上的应用 下表是两个竞争企业是否推出新产品的利益矩阵。 这个博奕中有两个纳什均衡：一家推出新产品，一家无 新产品。推出新产品的企业赢利为10，无新产品的企业赢利 为-5。究竟是企业1还是企业2赢利，要看是哪一家企业首先行 动。假定企业1具有较高的研究和开发优势，率先在市场上推 出新产品，那么企业2的最佳反应就是不跟进，因为跟进的损 失是7，不跟进的损失只有5。 企业2 无新产品推出新产品 企业1无新产品2，2-5，10 推出新产品10，-5-7，-7 p231 q最大最小策略(Max-min strategy) 冯.诺依曼和摩根斯坦认为策略的选择与决策者 的性格有关。 某些决策者可能认为，冒失行动容易 造成重大失误，最好还是从最不利的情况出发， 向最好的方向努力，力求做到有备无患。这样的 决策者属于风险厌恶型的，他首先想到的是各种不利 因素和风险，所以他先要考虑各种最坏的结果，然后 从最坏结果中选出一个最好结果。按这种原则选取的 策略可以称为最大最小策略。 博弈论和对策行为 q最大最小策略(Max-min strategy) 例：假如企业1的决策者是求稳型的，他会这样考虑：不 管对方采取什么策略，我不推出新产品最少可以得到收益-5， 推出新产品最少可以得到收益-7，比较这两种策略，还是不推 出新产品为好。假如企业2的决策者也是风险厌恶型的，他也 有同样的思维方式：先从无新产品的决策中找出最小收益-5， 再从有新产品的决策中找出最小收益-7，然后从两个最小收益 中找最大收益为-5,相应的策略为无新产品。如果两家寡头企 业的决策者都是这种风险厌恶型的，市场就没有新产品推出 了。但是，(无新产品，无新产品)不是纳什均衡，所以，这种 对策结构是不稳定的。 博弈论和对策行为 q最大最小策略(Max-min strategy) 按最大最小原则选择的策略是一种求稳型策略， 它不保证利润最大化，却能保证风险最小化。 在表11-2表示的企业价格博奕中，假如企业1按最大最小原则选择策略，它的最大最小策略是 “价格不变”，企业2的最大最小策略也是“ 价格不变”。(价格不变，价格不变)正是纳什均衡。 【经典案例】 豪泰林(Hotelling)价格竞争模型 (王则柯 第七章 第六节 P254) 政治观点、电视广告、水果摊 夏季某海滨浴场有两个冰激凌销售商，冰激 凌是由同一个工厂供应（产品无差异），价 格由厂家统一确定。那么消费者会就近购买 。问：两个销售商将选址何处？ “选址问题”一个关于选址的豪泰林(Hotelling)竞争模型 豪泰林(Hotelling)价格竞争模 型 标准式表述 在该模型中，产品在物质形态上无差异，但在空间上处 于不同的位置。 n令该线性城市的长度为1，消费者均匀地分布 n在0，1的区间里，分布密度为1；商店1位于 n0处，商店2位于1处。x为0，1上的任意一点。 0 1 商店1 商店2 x n1、参与人：商店1与商店2。他们分别 位于一线性城市的两端，出售同质的商 品； n2、他们要决定的是各自商品的售价pi， n Si=pj： pj0； 案例 豪泰林(Hotelling)价格竞争模型 3、他们的支付函数就是利润函数： u1=D1p1-D1cu2=D2p2-D2c 注：设两家商店商品的单位成本相同为c。 设消费者购买商品的单位旅行成本为t，并且每个消 费者都具有单位需求，即每个消费者只要认为 价格“足够低”就会（也仅仅）购买一个单位的 商品，这意味着如果商店i的价格“不太高”，对 商店i的需求等于发现从商店i购买更为便宜的顾 客的数量。 案例 豪泰林(Hotelling)价格竞争模型 住在x的消费者到商店1购买的旅行成本是tx， 到商店2购买的成本是t(1-x)；如果住在x的消费 者在两个商店之间购买的成本是无差异的，那 么所有住在x左边的消费者在商店1购买，所有 住在x右边的消费者在商店2购买，即有： D1=x， D2=1-x。这里x满足： 0 1 商店1 商店2 x 案例 豪泰林(Hotelling)价格竞争模型 P1+ tx = P2+ t(1-x) x = (P2- P1+t)/2t 所以有需求函数： D1=x= (P2- P1+t)/2t ； D2=1-x= (P1- P2+t)/2t u1=D1p1-D1c =(p1-c)(P2- P1+t)/2t u2=D2p2-D2c = (p2-c)(P1- P2+t)/2t 案例 豪泰林(Hotelling)价格竞争模型 U1和u2分别对 P1和p2求导令 为0，得反应函数： P1=R1(p2)=2p2-c-t P2=R2(p1)= 2p2-c-t 解两个反应函数组成的方程组，得： p1*=p2*= c+t u1*=u2*= t / 2 商店的利润与消费者的旅行成本成正比。 更一般地讨论案例 豪泰林(Hotelling)价格竞争模型 对于Hotelling的价格竞争模型，可以一般地讨 论两家商店位于0，1区间内任意位置时的情 形： 01 ab 商店1 商店2 x 案例 豪泰林(Hotelling)价格竞争模型 若住在x处的消费者到商店1与商店2无差异，那 么有D1=x， D2=1-x；x满足： 设旅行成本为td2 ， d为消费者到商 店的距离。 P1+ t(x-a)2 = P2+ t(1-x-b) 2 x=a+(1-a-b)/2+(P2- P1)/2t(1-a-b) 案例 豪泰林(Hotelling)价格竞争模型 所以有需求函数： D1=x=a+（1-a-b）/ 2+ (P2- P1) / 2t(1-a-b) D2=1-x=b+（1-a-b）/ 2+ (P1- P2) / 2t(1-a-b) 进一步可解得NE为： P1*(a，b)=c+t(1-a-b)(3+a-b)/3 P2*(a，b)=c+t(1-a-b)(3+b-a)/3 案例 豪泰林(Hotelling)价格竞争模型 当a=0、b=0，即商店1位于0、商店2位于1， P1*(0,1)= P2*(0,1)=c+t; 当a=1-b， 即商店1与商店2同时位于线性城市的正中央， P1*(a,1-a)= P2*(a，1-a)=c。 01 ab 商店1 商店2 x 2.2.2 纳什均衡的一致预测性质 一致预测：如果所有博弈方都预测一个特定博弈 结果会出现，所有博弈方都不会利用该预测或者 这种预测能力选择与预测结果不一致的策略，即 没有哪个博弈方有偏离这个预测结果的愿望，因 此预测结果会成为博弈的最终结果 n只有纳什均衡才具有一致预测的性质 n一致预测性是纳什均衡的本质属性 n一致预测并不意味着一定能准确预测，因为有 多重均衡，预测不一致的可能 旅行者困境-做人不要太精明 n哈佛大学巴罗教授： n两个旅行者从一个以生产细瓷花瓶闻名的地方旅行回 来，在提取行李的时候，发现花瓶被摔坏了，就向航 空公司索赔。航空公司知道花瓶的价格大概杂八、九 十元，但不知道他们购买的确切价格。因此航空公司 请两位旅客在100元以内写出花瓶的价格，如果两个人 写得一样，就按照写的数额赔偿，如果不一样，原则 上按照低的价格赔偿，并认为该旅客讲了真话，奖励2 元，而讲假话的罚款2元。 n这个博弈的最终结果将是什么？ 2.2.3 纳什均衡与严格下策反复消去法 n上策均衡肯定是纳什均衡，但纳什均衡不一定是上策均衡 命题2.1：在n个博弈方的博弈 中，如果严 格下策反复消去法排除了除 之外的所有策略组 合，那么 一定是该博弈的唯一的纳什均衡 命题2.2：在n个博弈方的博弈中 中，如果 是 的一个纳什均衡，那么严格下策反复消去法一定不会 将它消去 上述两个命题保证在进行纳什均衡分析之前先通过严 格下策反复消去法简化博弈是可行的 2.3 无限策略分析和反应函数 2.3.1 古诺的寡头模型 2.3.2 反应函数 2.3.3 伯特兰德寡头模型 2.3.4 公共资源问题 2.3.5 反应函数的问题和局限性 2.3.1 古诺的寡头模型 基本模型 古诺模型中，两家公司，假设逆需求函数为 P = a b Q 假设成本函数相同，并且每单元成本不随生产的单元数变化。更正规一些 ，；生产数量Qi的成本为cQi（每家公司具有常数边际成本函数），其 中c 0是常数边际成本，i = 1，2。 古诺-纳什均衡 n最大化利润的生产量 n公司1最优反应函数 nq1=q2=a-c/3b 卡特尔解 作为对比，如果两个公司如卡特尔那样地运 作，即，如果它们对于它们的生产决策进 行协调，我们来计算它们将生产的产量， 如果公司经营为卡特尔，可以合理地假设 它们以最大化它们的联合利润或总利 润这样的方式来设置生产目标。预先指定 生产“配额”为Q1与Q2；它们的选择是使得 总利润最大化： 每家公司的价格每家公司的 生产数量利润 注意到如果公司如卡特尔那样经营，它们比 起在纳什均衡里的产量生产得少一些；卡 特尔的产量是古诺特-纳什均衡产量水平的 75%。在纳什均衡中，两家公司比起它们 象卡特尔那样经营来利润较低（因为在纳 什均衡里，它们过度地生产）。 案例： 寡头产量竞争以两厂商产量竞争为例 2 22126qqqq -= 2 22126qqqq -= 以自身最大利益为目标：各生产 2单位产量，各自得益为4 以两厂商总体利益最大：各生产 1.5单位产量，各自得益为 4.5 4.5，4.5 5，3.75 3.75，5 4，4 不突破 突破 厂商2 不突破 突破 厂 商 1 以自身最大利益为目标：各生产 2单位产量，各自得益为4 以两厂商总体利益最大：各生产 1.5单位产量，各自得益为4.5 两寡头间的囚徒困境博弈 该古诺模型的反应函数 (3,0)(6,0) (0,3) (0,6) 古诺模型的反应函数图示 理性局 限和古 诺调整 2.3.3 伯特兰德寡头模型 n价格竞争寡头的博弈模型 n产品无差别，消费者对价格不十分敏感 2.3.3 伯特兰德寡头模型 n价格竞争寡头的博弈模型 n产品有差别，消费者对价格不十分敏感 2.3.3 伯特兰德寡头模型 n价格竞争寡头的博弈模型 n产品无差别，消费者对价格不十分敏感 2.3.3 伯特兰德寡头模型 n价格竞争寡头的博弈模型 n产品无差别，消费者对价格不十分敏感 2.3.4公共草地养羊问题（公共资源 问题） 有三个农户，养羊分别为，q1,q2,q3. 各农户 养羊边际成本 c=4 有三个农户，养羊分别为，q1,q2,q3. 各农户 养羊边际成本 c=4 V：每只羊的价格 合作：总体利益最大化 有三个农户，养羊分别为，q1,q2,q3. 各农户 养羊边际成本 c=4 2.3.4公共草地养羊问题一般化（公 共资源问题） 2.4 混合策略和混合策略纳什均衡 2.4.1 严格竞争博弈和混合策略的引进 2.4.2 多重均衡博弈和混合策略 2.4.3 混合策略和严格下策反复消去法 2.4.4 混合策略反应函数 2.4.1 严格竞争博弈和混合策略的引进 一、猜硬币博弈 -1， 11， -1 1， -1-1， 1 正 面反 面 猜硬币方 盖 硬 币 方 正 面 反 面 （1）不存在前面定义的纳什均衡策略组合 （2）关键是不能让对方猜到自己策略 这类博弈很多，引出混合策略纳什均衡概念 二、混合策略、混合策略博弈 和混合策略纳什均衡 混合策略：在博弈 中，博弈方 的策略 空间为 ，则博弈方 以概率分布 随机在其 个可选策略中选择的“策略”，称为一个“混合策略” ，其中 对 都成立，且 混合策略扩展博弈：博弈方在混合策略的策略空间（概 率分布空间）的选择看作一个博弈，就是原博弈的“混合策略 扩展博弈）。 混合策略纳什均衡：包含混合策略的策略组合，构成纳 什均衡。 课堂练习 求出下面博弈的纳纳什均衡(含纯纯策略和混合策略)。 乙 LR 甲 U5,00,8 D2,64,5 三、一个例子 该博弈无纯策略纳什均衡，可用混合策略纳什均衡分析 博弈方1的混合策略 博弈方2的混合策略 2， 35， 2 3， 11， 5 CD A B 博弈方2 博 弈 方 1 策略 得益 博弈方1 （0.8，0.2） 2.6 博弈方2 （0.8，0.2） 2.6 四、齐威王田忌赛马 3，-31，-11，-11，-1-1，11，-1 1，-13，-31，-11，-11，-1-1，1 1，-1-1，13，-31，-11，-11，-1 -1，1 1，-11，-13，-31，-11，-1 1，-11，-11，-1-1，13，-31，-1 1，-11，-1-1，11，-11，-13，-3 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下 上 中 下 上 中 下 上 中 下 上 中 下 上 中 下 上 中 下 田 忌 齐 威 王 得益矩阵 五、悖论1：小偷和守卫的博弈 小偷与守卫的博弈 由于对博弈论有卓越贡献而成为1994年诺贝尔经济学奖获得者的泽尔顿教授， 1996年3月在上海的一次演讲中，举了这个小偷与守卫之间博弈的例子。故事的背景 是这样的：一守卫看守一个仓库，一小偷要在夜晚去偷仓库的东西。但是守卫有可 能晚上睡觉也可能不睡，如果守卫睡觉，小偷偷窃就会成功，他将获得正效用V ，而守卫由于失职，他将获得负效用D；而守卫如果不睡，守卫能抓住小偷， 小偷将获得负效用P；而小偷也有可能不去偷，那样守卫如果睡觉，他获得正 效用S。 例2.3.3 小偷与守卫的博弈(续) 所以守卫有睡和不睡两种策略选择，小偷也有偷和不偷 两种策略选择，他们的收益矩阵如下： 表2.3.1 小偷与守卫的收益矩阵 例2.3.3 小偷与守卫的博弈(续) 在该例中，显然不存在占优策略，则按本节介绍的方 法来求纳什均衡。 例2.3.3 小偷与守卫的博弈(续) n设Pg 为守卫睡的概率 n Pt为小偷偷的概率 小偷与守卫的博弈（续） 可在上图中分别作出（2.3.27）和（2.3.28）折线。同时满足（2.3.27）和（ 2.3.28）的点对只有唯一点N。于是，我们得到一个混合策略的纳什均衡点 。 小偷将以 的概率偷，以 的概率不偷；守卫以 的概率去睡觉， 以 的概率不睡觉。也就是说，小偷去偷与否和守卫得到的效用有关， 守卫睡觉与否和小偷得到的效用有关。比如说，如果小偷偷窃成功得到的效 用V越大，间接说明仓库储藏的物品越重要，守卫越不去睡觉。其它情况可以 类似分析。 V，-D-P，0 0，S0，0 睡不睡 偷 不偷 守卫 小 偷 加重对小偷的处罚：短期内能抑制盗窃发生率 长期并不能降低盗窃发生率，但会是的守卫更多的偷懒 0 - P - P 小偷 得益(偷) V Pg 守卫 睡的概率1 V，-D-P，0 0，S0，0 睡不睡 偷 不偷 守卫 小 偷 加重对守卫的处罚：短期中的效果是使守卫真正尽职 在长期中并不能使守卫更尽职，但会降低盗窃发生的概略 0 - D - D 守卫 得益(睡) S Pt 小偷 偷的概率1 悖论2 n 法学有时是一个悖论。例如，为了限制与毒品相关的犯罪，维护 正常的经济秩序，立法者决定严厉打击贩毒、吸毒，这是否就能 抑制与毒品相关的犯罪（这里所说的与毒品相关的犯罪是指为获 得吸毒资金而采取的偷盗、抢劫、绑架等行为）呢？答案刚好相 反。打击贩毒无形间提高了毒犯贩毒的机会成本。所谓机会成本 是指人们为了获取某样东西而不得不放弃的东西。犯罪分子贩毒 的机会成本可能是自由或生命。于是毒品市场上毒品的供给会因 贩毒者心理的恐惧而减少，与此相反毒品的价格会大幅上升。瘾 君子们为了获得毒品，不得不更多地冒险去用犯罪的手段获得金 钱，这样与毒品相关的犯罪反而会日益猖獗，因为法学的思想不 能解释毒品是没有弹性的商品，瘾君子一旦身陷其中，便难以自 拔。毒品不像水果那样，价格贵的时候大家就先不吃，等价格降 下来再吃。无论毒品价格多高，毒品的需求量变动都不大，而价 格升高必然使本来囊中羞涩的瘾君子“另谋它路”。 2.4.2 多重均衡博弈和混合策略 一、夫妻之争的混合策略纳什均衡 2， 10， 0 0， 01， 3 时 装足 球 时装 足球 丈 夫 妻 子 夫妻之争 妻子的混合策略 丈夫的混合策略 夫妻之争博弈的混合策略纳什均衡 策略 得益 博弈方1 （0.75，0.25） 0.67 博弈方2 （1/3，2/3） 0.75 二、制式问题 1， 30， 0 0， 02， 2 AB A B 厂商2 厂 商 1 制式问题 制式问题混合策略纳什均衡 A B 得益 厂商1： 0.4 0.6 0.664 厂商2： 0.67 0.33 1.296 三、市场机会博弈 -50，-50100，0 0，1000，0 进不 进 进 不进 厂商2 厂 商 1 市场机会 进 不进 得益 厂商1： 2/3 1/3 0 厂商2： 2/3 1/3 0 2.4.4 混合策略反应函数（法）P84 -1， 1 1， -1 1， -1 -1， 1 正 面反 面 猜硬币方 正面 反面 猜硬币博弈 盖 硬 币 方 A B EUA = -1， 1 1， -1 1， -1 -1， 1 正 面反 面 猜硬币方 正面 反面 猜硬币博弈 盖 硬 币 方 A B EUA = 1 p q + (-1) p (1- q) + (-1) (1- p) q + 1 (1- p) (1- q) 1， -1 -1， 1 -1， 1 1， -1 正 面反 面 猜硬币方 正面 反面 猜硬币博弈 盖 硬 币 方 A B EUA = 1 p q + (-1) p (1- q) + (-1) (1- p) q + 1 (1- p) (1- q) = p q - p + p q - q +p q + 1 - p - q + p q = 4 p q - 2 p - 2 q + 1 = 2 p (2 q - 1) + (1 - 2 q ) , EUA = 2 p (2 q - 1) + (1 - 2 q ) 1, if q 1/2 , p = 0, if q 1/2 , q = 1, if p 1/2 , q = 1, if p 1时，A将 增加r,如果3c2/3时，B增加c将增加收益；当 r10，000，则 该笔钱就没收。 n问该博弈的纳什均衡是什么？ 城市博弈：聚点均衡的例子 n这四个城市是： n上海、长春、哈尔滨、南京 四、相关均衡 5， 1 4， 4 0， 0 1， 5 LR 博弈方2 U D 博 弈 方 1 相关均衡例子 三个纳什均衡： （U，L）、（D，R） 和混合策略均衡（1/2，1/2）， （1/2，1/2） 结果都不理想，不如（D，L）。 可利用聚点均衡（天气，抛硬 币），但仍不理想。 相关装置： 1、各1