高中数学第一章不等式和绝对值不等式1.1不等式1.1.3三个正数的算术_几何平均不等式教案.docx

1.1.3 三个正数的算术-几何平均不等式课堂探究1三个正数或三个以上正数的算术几何平均不等式的应用条件剖析：“一正”：不论是三个数或者n个数的算术几何平均不等式，都要求是正数，否则不等式是不成立的如abc3，取ab2，c2时，abc2，而36，显然26不成立“二定”：包含两类求最值问题：一是已知n个正数的和为定值(即a1a2an为定值)，求其积a1a2an的最大值；二是已知乘积a1a2an为定值，求其和a1a2an的最小值“三相等”：取“”号的条件是a1a2a3an，不能只是其中一部分相等不等式a2b22ab与a3b3c33abc的运用条件不一样，前者要求a，bR，后面要求a，b，cR.要注意区别2灵活使用基本不等式中的变形与拼凑方法剖析：为了使用三个正数的算术几何平均不等式求最值(或范围等)，往往需要对数学代数式变形或拼凑，有时一个数拆成两个或两个以上的数，这时候，拆成的数要相等，如yx2，其中把x2拆成和两个数，这样可满足不等式成立的条件，若这样变形：yx2x2，虽然满足了乘积是定值这个要求，但“三相等”这个要求就无法实现了，这是因为：取“”号的条件是x2，显然x无解题型一 应用三个正数的算术几何平均不等式求函数的最值【例1】已知x0，求函数yx(1x2)的最大值分析：为使数的“和”为定值，可以先平方，即y2x2(1x2)2x2(1x2)(1x2)2x2(1x2)(1x2).求出最值后再开方解：yx(1x2)，y2x2(1x2)22x2(1x2)(1x2).2x2(1x2)(1x2)2，y23.当且仅当2x21x2，即x时取等号成立y.y的最大值为.反思 对式子拼凑，以便能利用算术几何平均不等式求最值，是必须掌握的一种解题方法，但拼凑要合理，且要符合适用的条件，对于本题，有的学生可能这样去拼凑：yx(1x2)x(1x)(1x)x(22x)(1x)3.虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取“”号的条件，显然x22x1x无解，即无法取“”号，也就是说，这种拼凑法是不正确的这就要求平时多积累一些拼凑方法，同时注意算术几何平均不等式的使用条件，三个缺一不可.题型二 应用三个正数的算术几何平均不等式证明不等式【例2】设a，b，c0，求证：(abc)9.分析：先观察求证式子的结构，通过变形转化为用算术几何平均不等式证明证明：a，b，c0，abc3，3.(abc)9.当且仅当abc时，等号成立反思 三个正数的算术几何平均不等式定理，是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此，凡是可以利用该定理证明的不等式，一般都可以直接应用比较法证明，只是在具备条件时，直接应用该定理会更简便若不直接具备“一正二定三相等”的条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明连续多次使用算术几何平均不等式定理时要注意前后等号成立的条件是否保持一致.题型三 应用三个正数的算术几何平均不等式解决实际问题【例3】如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的由物理学可知，桌子边缘一点处的亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即Ek，这里k是一个和灯光强度有关的常数那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？分析：解：r，Ek，E2sin2cos4(2sin2)cos2cos23，当且仅当2sin2cos2时取等号，即tan2，tan ，h2tan ，即h时，E最大灯的高度h为时，才能使桌子边缘处最亮反思 处理此类求最值的实际问题，应正确找到各变