高中数学第二章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积学案北师大版.docx

2.5 从力做的功到向量的数量积知识梳理1.两个向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量a，b，如图2-5-1所示，作=a，=b，则AOB称为a与b的夹角，记作a，b.图2-5-1(2)范围：0,，a，b=b，a.(3)当a，b=时，称向量a与b互相垂直，记作ab.规定零向量与任一向量垂直.(4)当a，b=0时，a与b同向；当a，b=时，a与b反向.2.向量的射影图2-5-2已知向量a和b，如图2-5-2所示，作=a，=b,过点B作的垂线，垂足为B1，则1的数量|b|cos 叫做向量b在向量a方向上的正射影（简称射影）.3.向量的数量积（内积）（1）定义：|a|b|cos叫做向量a与b的数量积（或内积），记作ab,即ab=|a|b|cos.（2）理解：两向量的数量积不是向量而是数量，它可以为正数、为零、为负数.（3）几何意义：向量a与向量b的数量积等于a的长度a与b在a方向上的射影|b|cos的乘积，或看作是b的长度b与a在b方向上的射影|a|cos的乘积.4.向量数量积的性质设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.（1）ea=ae=|a|cosa，e.（2）abab=0.（3）当a与b同向时，ab=|a|b|；当a与b反向时，ab=-|a|b|；特别地：aa=|a|2或|a|=.（4）cosa，b=.（5）|ab|a|b|.5.向量数量积的运算律交换律：ab=ba；结合律：（a）b=（ab）=a（b）(R)；分配律：（ab）c=acbc.知识导学1.学好本节，需复习平行向量基本定理、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示、平面向量的坐标运算.2.本节的重点是向量数量积的坐标运算、度量公式及其应用，特别是向量垂直的坐标运算的应用；难点是向量数量积的理解，以及灵活应用度量公式解决问题.疑难突破1.向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法，这三种运算有什么区别和联系？剖析：难点是对这三种运算分不清.其突破的途径主要是从运算的定义、表示方法、性质、结果和几何意义上来分析对比.从定义上看：两个向量数量积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角的大小决定；向量的数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数，其方向由这个实数的符号所决定；两个实数的积也是一个实数，符号由这两个实数的符号所决定.从运算的表示方法上看：两个向量a、b的数量积称为内积，写成ab；大学里还要学到两个向量的外积ab，而ab是两个向量的数量的积，因此书写时要严格区分.符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替；向量的数乘的写法同单项式的写法；实数的乘法的写法我们就非常熟悉了.从运算的性质上看：在向量的数量积中，若ab=0，则a=0或b=0或a,b=；在向量的数乘中，若a=0，则=0或a=0；在实数的乘法中，若ab=0，则a=0或b=0.在向量的数量积中：ab=bcb=0或a=c或b，(ac)=；在向量的数乘中，a=b（R）a=b或ab；在实数的乘法中，ab=bca=c或b=0.在向量的数量积中：(ab)ca（bc)；在向量的数乘中，（）a=(a)（R,mR）；在实数的乘法中，有(ab）c=a（bc).从几何意义上来看：在向量的数量积中，ab的几何意义是a的长度a与b在a方向上的射影|b|cos的乘积；在向量的数乘中，a的几何意义就是把向量a沿向量a的方向或反方向放大或缩小|倍.2.如何应用|a|=来求平面内两点间的距离？剖析：难点是知道这个等式成立，但不会用来求平面内两点间的距离.其突破口是建立平面向量基底，再代入等式即可.例如：如图2-5-3所示，已知平行四边形ABCD中，AB=3，AD=1，DAB=，求对角线AC和BD的长.图2-5-3解：设=a，=b.则|a|=3，|b|=1，a,b=.ab=|a|b|cosa,b=.又=a+b,=a-b，|=，|=，AC=,DB=.由此可见向量法求平面内两点间的距