流体动力学微分形式基本方程.ppt

流 体 力 学 顾伯勤 主编 研 究 生 教 材 退 出 中国科学文化出版社 第二篇 流体动力学基本原理及流体工程 w 流体动力学微分形式基本方程 w 流体动力学积分形式基本方程 w 伯努利方程及其应用 w 量纲分析和相似原理 w 流动阻力与管道计算 w 边界层理论 w 流体绕过物体的流动 w 气体动力学基础 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 退 出返 回 第十章 第十一章 第十二章 第五章 流体动力学微分形式基本方程 w 连续性方程 w 理想流体运动方程 w 实际流体运动方程 第一节 第二节 第三节 退 出返 回 流体运动须遵循物质运动的某些普遍规律，如质量、动 量和能量守恒定律。这些普遍规律应用于流体运动就可得 到联系流体速度、密度、压力、温度等参数之间的关系式 ，这些关系式称为流体动力学的基本方程。基本方程可以 对微元体建立，得到微分形式的基本方程；也可以对控制 体建立，通过对控制体和控制面的积分而得到流体参数间 的积分关系式。求解微分形式基本方程或求解对微元控制 体建立的积分形式的基本方程，可以给出流场细节，即空 间各点上压力、温度、速度、密度等流体参数的分布。本 章讨论微分形式的基本方程。 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回 第1页 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回 第一节 连续性方程 第2页 图 5.1 正六面体流体微团 x z y dy dx dz wxdydz o 在研究流体运动时，对于流体量的处理上必须遵循物质不灭原理。因 为流体充满整个流场，连续不断运动，所以在流体力学中物质不灭原理 又称为连续性原理。反映这个原理的数学关系式叫做连续性方程。 一、笛卡儿坐标系统的连续性方程 在流场中取一六面体微团，其边长为 ，（图5.1）。沿 方向在单位时间 内流入六面体的流体质量为 沿方向在单位时间内流出六面体的流体 沿方向在单位时间内净流出 质量为 六面体的流体质量为 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回 第一节 连续性方程 第3页 同理可得： 沿方向在单位时间内净流出六面体的流体质量为 沿方向在单位时间内净流出六面体的流体质量为 单位时间内净流出整个六面体的流体质量为 另外，流体密度随时间的变化也影响六面体中流体的质量。设在 时刻流体密度为 时刻流体密度为 ，则在单位时间 内由于密度变化而使六面体中增加的流体质量为 ， 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回 第一节 连续性方程 第4页 根据连续流动原理，净流出六面体的流体质量与六面体中流体的增加量之 和为零，六面体中流体的质量是不变的，即 式（5.1）就是流体的连续性方程。将上式展开，并且注意到 （5.1） 则连续性方程也可写成 写成向量形式 （5.3） （5.3a） 或 （5.2） 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回 第一节 连续性方程 第5页 对于稳定流动， ，于是式（5.1）变为 即 （5.4a） （5.4） 对于不可压缩流体，为常数，则连续性方程为 （5.5） （5.5a）即 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回 第一节 连续性方程 第6页 o 图 5.2 扇形六面体流体微团 z A r B dr DC dzd r 二、圆柱坐标系统的连续性方程 在圆柱坐标系统中，取一扇形六面体流 体微团ABCD，如图5.2所示。单位时间内 流入AB、BC、CA面的流体质量分别为 ， 单位时间内流出CD、DA、BD面的流体质量 分别为 ， ， 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回 第一节 连续性方程 第7页 单位时间内，微团中净流出的流体质量为 由于微团中流体密度增加而使微团中增加的流体质量为 根据连续性原理，微团中流体质量的总变化应等于零，所以 此即圆柱坐标系统的连续性方程。 （5.6） 对于不可压缩流体，为常数，连续性方程为 （5.7） 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回 第二节 理想流体运动方程 第1页 图 5.3 流体微团在x方向所受的力 x z y dy dx dz pdydz X o 运动方程描述流体在运动中所受的力与流动参量之间的关系。理想 流体是指无粘性的流体。工程实践中的流体都是具有粘性的，它们并不 是理想的流体，但在很多情况下，流体的粘性力和其他力比起来作用很 小，因而可视为理想流体。 一、理想流体运动方程的建立 建立运动方程的基础是牛顿第二运动定 律。在理想流体流场中取出一微小六面体 微团。微团所受的力有表面力（压力）和 体积力（质量力）。六面体在 轴方向上 所受的表面力和单位质量的体积力如图5.3 所示。设单位质量的体积力为X、Y、Z， 则在轴方向根据牛顿第二运动定律 应有 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回 第2页 化简得 、 轴方向力的平衡关系式，于是有 同理可推导得到 （5.8） 第二节 理想流体运动方程 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回 第3页 式中， 称为单位质量的体积力矢量。 （5.8a） （5.8）式就是理想流体的运动方程，它是欧拉于1755年提出的，故又称 欧拉运动方程。它给出了压力、体积力与惯性力的关系。对于给定的流体 （密度已知，或者已知压力与密度的关系，例如气体方程），在已知体积 力场（即X、Y、Z已知）内，根据此式和连续性方程进行积分，可解出任 意时刻 t ，流场中任意位置（x，y，z）的p，wx，wy，wz。但是实际对该 式进行解析计算是有困难的，往往需要给定限制条件。最简单的限制条件 是讨论沿流线的运动和无旋流场。这两种情况都是有现实意义的，后面将 详细讨论。 第二节 理想流体运动方程 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回 第4页 欧拉方程在圆柱坐标系统中的形式，可以用上述同样的方法得到，在流场 中取微小扇形六面体微团，然后根据牛顿第二运动定律列出微团的力的平 衡方程，从而得到该坐标系统的欧拉运动方程，具体形式如下 （5.9） 式中 、 、分别为单位质量的体积力在r、z方向的分量。 第二节 理想流体运动方程 、p、T，除了用欧拉方程和连续性方程外，还要增加状态方程和能量 方程来求解。 求解理想流体运动问题主要依靠欧拉方程和连续性方程。方程是普遍 的，但各个问题的初始条件和边界条件不同，因此对各个具体问题应作 具体分析。 初始条件是指流体运动开始瞬时所对应的条件。在理想流体力学问题 中，所要求的是 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回 第5页 二、理想流体运动方程的求解 对不可压缩流体的流动，未知量为p、 、 、 连续性方程就能求解。对可压缩流体的流动，其未知量有 、 、 、 、 、p、T，因此，在 时，这些物理量 ，故欧拉方程加上 的数值应是给出的，即 第二节 理想流体运动方程 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回 第6页 其中，f1至f6是给定的函数。 对于稳定流动，流场中各点的物理量不随时间改变，所以不存在初始条 件。 边界条件是指所求物理量在边界上的取值。如对静止的固体壁面，由于 流体不能穿过这种壁面，同时流体与边界壁面间不会形成空隙，则紧贴边 界壁面的那层流体沿壁面法线方向的流体速度分量为零，即 ，而其 切向分量不为零。对移动的固体壁面，该层流体速度的法向分量必须等于 固体边界壁面上相应点的速度的法向分量，即 又如根据作用力和反作用力相等的定律，流体作用于边界壁面或自由 面上外界介质流体质点的力，等于边界壁面或外界介质作用于该流体上的 力，即 第二节 理想流体运动方程 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回 第7页 例题5.1 有一稳定流场，其速度分布为， 试证明它是不可压缩流动。又假定质量力为重力，z 轴垂直向上， ，长度单位为m，试计算点M（2，2，5）处的压力梯度。 。 解：连续性方程和运动方程分别为 对不可压缩流动连续性方程变为 将速度分布代入上式得到 因此，该流动为不可压缩流动。 第二节 理想流体运动方程 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回 第8页 由于质量力为重力，则运动方程为 将给定的A，x，y，z代入，得到 第二节 理想流体运动方程 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回 第三节 实际流体运动方程 第1页 一、实际流体运动方程的建立 欧拉方程是属于理想流体的运动方程，理想流体是没有粘性的。实际 流体具有粘性，因此作用在流体微团上的力将更加复杂。现仍取流场中 边长为 的微团六面体来分析（图5.4）。由于流体具有粘性， 因而，作用在每个正方形面上的力，除去法向力外还有切向力（剪切力 ）。而法向力也和理想流体情况不同，它不只是流体的表面力（压力） ，而且还有由于剪切变形引起的附加的法线方向的力。用 表示法向应力 ，用 表示切向应力。则所有作用在微团上沿x轴方向的表面力的合力为 、 x轴方向的质量力为 退 出返 回 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回 第2页 第三节 实际流体运动方程 根据牛顿第二运动定律列出x轴方向力的平衡式如下 即 同样可得到沿y和z轴方向力的平衡关系式，经化简得到 （5.10） 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回 第3页 第三节 实际流体运动方程 将弹性力学中的应力应变关系式应用到流体力学中，作如下替换：用流 体力学中的变形速率代替弹性力学中的应变；用流体的动力粘度代替 固体的剪切模量G；用流体压力的负值（ ）代替弹性力学中的平均法 向应力。当流体流动停止（静止流体）或者作匀速运动时，所有剪切应 力都将消失，法向应力中只剩下压力（ ），而对于存在剪切应力的一 般情况，此种压力仍然存在，并且与坐标方向无关，所以在一般实际流 体的运动方程中仍可认为 ，只有在速度梯度和温度 梯度极高时才有较大偏差。 经过上述替换，可以得到实际流体运动时的应力与变形速率的关系如下 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回 第4页 第三节 实际流体运动方程 由式（5.11）的前三式可以看出，粘性流体运动中的法向应力由两部分 组成，即静压力p和剪切变形引起的附加的法线方向的应力。将式（5.11） 代入式（5.10）可得 （5.11） 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回 第5页 第三节 实际流体运动方程 式（5.12）就是实际流体的运动方程，或称纳维斯托克斯（Navier- Stokes）方程。 当流体的粘度不变时，式（5.12）可以写成 （5.12） 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回 第6页 第三节 实际流体运动方程 或者写成向量形式 （5.13） 对于不可压缩流体，因为，则写成 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回第7页 第三节 实际流体运动方程 或者写成向量形式 （5.14） 对于圆柱坐标系统，考虑一扇形六面体微团（以r，r+dr，+d，z， z+dz六个面为边界面），按牛顿第二运动定律取力的平衡，可以得到圆柱 坐标系统的纳维斯托克斯方程。考虑粘度为常数时，其形式如下（推导 从略） 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回 第8页 第三节 实际流体运动方程 （5.15） 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回 第9页 第三节 实际流体运动方程 （5.16） 式中Fr，F，Fz为单位质量的体积力在r，z方向的分量。 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回 第10页 第三节 实际流体运动方程 对于不可压缩流体，。对于稳定流动，有 上述方程显然便可简化。 二、实际流体运动方程的求解 由纳维斯托克斯方程、连续性方程、状态方程、能量方程（热力学第一 定律）和粘度温度关系式七个方程可以联立求解出、 p、T、七个未知量。求解必须在一定的初始条件和边界条件下进行 ，对于稳定流动，只需给出边界条件。由于粘性流体的粘附效应，固体 壁面上的流体质点和对应的固体壁面具有相同的速度，即 、 注意到纳维斯托克斯方程中，惯性项是非线性项，因而求解十分困难。 对于理想流体，存在速度势时，不可压缩理想流体的流动问题简化为求解 拉普拉斯问题，因而可以由许多简单的流动叠加成为复杂的流动。但对于 粘性流体，由于是非线性问题，就不能用叠加的方法求解。 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回 第11页 第三节 实际流体运动方程 迄今为止，除了一些经典问题以外，一般问题的解析求解仍然是不可能 的。近年来数值计算方法发展很快，借助于现代计算工具，使工程实际 中许多复杂的流体力学问题得以解决，而纳维斯托克斯方程作为计算 基础是十分重要的。 例题2 求解两块固定无限长二维平行平板间不可压缩流体的稳定层流 问题（图5.5）。 解： x轴取在两平板中间，流动沿x方向，故wy=wz=0，对于不可压缩 流体的稳定平面流动，纳维斯托克斯方程和连续性方程为 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回 第12页 第三节 实际流体运动方程 第二、第三式说明压力p仅是x的函数，而与y、z无关，最后一式说明wx 与x无关，这样，第一式成为 y x o h p2 l p1 图5.5 两平板内的流动 x o 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回 第13页 第三节 实际流体运动方程 上式左边为x的函数，右边是y的函数，对于不同变量的全微分等式， 仅当等式两边都等于常数时才能成立，故有 由边界条件：当时，得到、 则可得到流速分布 可见wx沿平板间隙高度方向是抛物线分布的，如图5.5所示。 若板长为l，入口和出口端压力分别为p1和p2，则流速分布公式可写成 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出返 回 第14页 第三节 实际流体运动方程 流过板宽