特征值的估计与表.ppt

引理5.1：设ACnn，yCn为单位列向量，则 证明：设A=(aij) nn， ，则 第5章 特征值的估计与表示 5.1 特征值界的估计 定理5.1：设ACnn，B= （A+AH ）, C= （A-AH ）， 则A的任一特征值 满足 (1) |A|m (2) |Re()|B|m (3) |Im()| |C|m 证明：设A属于的单位特征向量为y，则有Ay= y，即 yHAy= yHy=，因此 由引理，于是有 推论 Hermite矩阵的特征值都是实数，反Hermite矩 阵的特征值为零或纯虚数 定理5.2：设 ， ,则A的任 一特征值 满足 引理5.2：对任意实数 ，恒有 例：估计矩阵 特征值的上界。 解：由定理5.1，对A特征值 ，有：| | 2， |Re()|2， |Im()|1.3，由定理5.2，知其虚部的另 一逼近为： 其特征值为： 定理（Schur不等式）：设A=(aij)Cnn 的特征值为 ，则 且等号成立的充要条件是A为正规矩阵。 定义（1）按行严格对角占优： （2）按行弱对角占优： 上式至少有一个不等号严格成立。 定义 每行每列只有一个元素是1,其余 元素是零的方阵称为置换阵(或排列阵). 定义 5.2 特征值的包含区域 定义5.1 设A=(aij)Cnn，记 Ri=ji|aij| (i=l，n) ，称区域 Gi: |z-aii|Ri 为矩阵A的第i个盖尔圆，其 中Ri称为盖尔圆Gi的半径(i=l，n) 。 定理5.4 矩阵A=(aij)C nn的所有特征值都在它的n 个盖尔圆的并集之内。 证明:设为其特征值， 为对应 特 征向量，且 为其绝对值 最大者，则有 即 定理5.5 由矩阵A的所有盖尔圆组成的连通部分中任取一 个，如果它是由k个盖尔圆构成的，则在这个连通部分 中有且仅有A的k个特征值(盖尔圆相重时重复计数特 征值相同时也重复计数) 证明思路：分裂A=D+B，其中D为A的对角线元素构成的 对角矩阵，即D=diag(a11,a22,ann)，定义矩阵 A(u)=D+uB 则其特征值变化连续依赖于参数u，详细证明请见黄廷祝 所著教材矩阵理论。 因此 例：讨论矩阵 的特征值的分布。 解：A的盖尔圆分别为|z-10|8和|z|5，这两个 盖尔圆为连通的，因此包含两个特征值。其特征值为 都在盖尔圆 |z-10|8 中，而不在盖尔圆|z|5内 。 需要指出：由两个或者两个以上的盖尔圆构成的连通 部分，特征值分布不一定是平均的，即可以在其中的 某个盖尔圆中有几个特征值，而在另外一些盖尔圆中 无特征值。 则矩阵DAD-1与A具有同样的特征值，因此有 将Ri =ji|aij|改作ri=ji(|aij|i/j) (i=l，n) ，则两 个盖尔圆定理仍然成立，其中i 都是正数。 特征值的隔离 隔离矩阵特征值原则 结合使用A的n个行盖尔圆和n个列盖尔圆。 选取正对角矩阵D，使得B=DAD-1 ，适当选取D，有 可能使B的每一个盖尔圆包含A的一个特征值。欲使 A的第i个盖尔圆Gi的半径变大(或小)些，就取i1( 或i1)而取其它正数=1。此时，B的其余盖尔圆 的半径相对变小(或变大) 但是，这种隔离矩阵特征值的办法还不能用于任意 的具有互异特征值的矩阵比如主对角线上有相同 元素的矩阵 例: 隔离矩阵A= 的特征值 A的3个盖尔圆为G1: |z-20|5.8，G2: |z-10|5，G3: |z- 10j|3。G1与G2相交；而G3孤立，其中恰好有A的一个 特征值，记作3 (见左图)选取D=diag(1，1，2)，则 B=DAD-1的三个盖尔圆为G1: |