专题一 圆的基本性质.doc

专题一 圆的基本性质一、 考点梳理考点一、圆的相关概念 （3分） 1、圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。2、圆的几何表示以点O为圆心的圆记作“O”，读作“圆O”考点二、弦、弧等与圆有关的定义 （3分） （1）弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）（2）直径经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD）直径等于半径的2倍。（3）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（4）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）考点三、垂径定理及其推论 （3分）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧考点四、圆的对称性 （3分）1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 2、圆的中心对称性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 （3分） 1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。2、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距。3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。考点六、圆周角定理及其推论 （38分） 1、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。2、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。二、 题型举例1. （2011四川乐山）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）A. （1，2）B. （1，1）C. （1，1）D. （2，1）ACB2. （2011黑龙江哈尔滨）如图，AB是O的弦，半径OA=2，则弦AB的长是_.3. （2011陕西西安）如图，点A、B、P在O上，且APB=50若点M是O上的动点，要使ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有_个4. （2011湖北襄樊）已知O的半径为13cm，弦AB/CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB、CD之间的距离为_cm.5. （2011 四川绵阳）如图，等腰梯形ABCD内接于半圆D，且AB = 1，BC = 2，则OA =（ ）A B C DCBAOD6（2011湖北荆门）如图，MN是半径为1的O的直径，点A在O上，AMN=30，B为AN弧的中点，点P是直径MN上一个动点，则PA+PB的最小值为_.7（2010湖北荆门）在O中直径为4，弦AB=2，点C是圆上不同于A、B的点，那么ACB的度数为_ 8（2011浙江金华）如图，AB是O的直径，C是的中点，CEAB于 E，BD交CE于点FACBDEFO12（1）求证：CFBF；（2）若CD 6， AC 8，则O的半径为_，CE的长是 9（2010福建福州）如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，点P在O上，1C（1）求证：CBPD；（2）若BC3，sinP，求O的直径【答案】解：（1）证明： ， CP第19题图 又 1C， 1P CBPD （2）连接AC AB为0D的直径， ACB=90 又 CDAB， AP， sinAsinP在RtABC中， sinA， sinP， 又 BC3， AB5即O的直径为510（2010 四川成都）已知：如图，内接于O，为直径，弦于，是AD的中点，连结并延长交的延长线于点，连结，分别交、于点、 （1）求证：是的外心； （2）若,求的长； （3）求证：【答案】（1）证明：C是AD的中点，AC=CD，CAD=ABCAB是O的直径，ACB=90。CAD+AQC=90又CEAB，ABC+PCQ=90AQC=PCQ在PCQ中，PC=PQ，CE直径AB，AC=AEAE=CDCAD=ACE。在APC中，有PA=PC，PA=PC=PQP是ACQ的外心。（2）解：CE直径AB于F，在RtBCF中，由tanABC=，CF=8，得。由勾股定理，得AB是O的直径，在RtACB中，由tanABC=，得。易知RtACBRtQCA，。（3）证明：AB是O的直径，ACB=90DAB+ABD=90又CFAB，ABG+G=90DAB=G；RtAFPRtGFB，即易知RtACFRtCBF，由（1），知PC=PQ，FP+PQ=FP+PC=FC。11. （2011浙江金华，21，8分）如图，射线PG平分EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作O，分别与EPF两边相交于A、B和C、D，连结OA，此时有OAPE.（1）求证：APAO；（2）若弦AB12，求tanOPB的值；（3）若以图中已标明的点（即P、A、B、C、D、O）构造四边形，则能构成菱形的四个点为 ，能构成等腰梯形的四个点为 或 或 .证明：（1）PG平分EPF，DPO=BPO ， OA/PE，DPO=POA ， BPO=POA，PA=OA； 2分解：（2）过点O作OHAB于点H，则AH=HB=AB，1分 tanOPB=，PH=2OH， 1分设OH=，则PH=2，由（1）可知PA=OA= 10 ，AH=PHPA=210， ， 1分解得（不合题意，舍去），AH=6， AB=2AH=12； 1分（3）P、A、O、C；A、B、D、C 或 P、A、O、D 或P、C、O、B.2分(写对1个、2个、3个得1分，写对4个得2分)HPABCODEFG三、强化练习1（2011上海，6，4分）矩形ABCD中，AB8，点P在边AB上，且BP3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）(A) 点B、C均在圆P外； (B) 点B在圆P外、点C在圆P内；(C) 点B在圆P内、点C在圆P外； (D) 点B、C均在圆P内【答案】C2. （2011山东烟台，16,4分）如图，ABC的外心坐标是_.OxyBCA【答案】（2，1）3. （2011浙江温州，14，5分）如图，AB是O的直径，点C，D都在O上，连结CA，CB，DC，DB已知D=30，BC3，则AB的长是 【答案】64. （2011湖北黄石，14，3分），ABC内接于圆O，若B300.AC，则O的直径为 。【答案】25. （2011浙江绍兴，6，4分）一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径，截面圆圆心到水面的距离是6，则水面宽是（ ） A.16 B.10 C.8 D.6(第6题图) 6. （2011湖南永州，8，3分）如图，在O中，直径CD垂直弦AB于点E，连接OB,CB，已知O的半径为2，AB=,则BCD=_度（第8题）7. （2011浙江省舟山，15，4分）如图，AB是半圆直径，半径OCAB于点O，AD平分CAB交弧BC于点D，连结CD、OD，给出以下四个结论：ACOD；ODEADO；其中正确结论的序号是 （第16题）8. （2011浙江金华，21，8分）如图，射线PG平分EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作O，分别与EPF两边相交于A、B和C、D，连结OA，此时有OAPE.（1）求证：APAO；（2）若弦AB12，求tanOPB的值；（3）若以图中已标明的点（即P、A、B、C、D、O）构造四边形，则能构成菱形的四个点为 ，能构成等腰梯形的四个点为 或 或 .证明：（1）PG平分EPF， DPO=BPO ， OA/PE， DPO=POA ， BPO=POA，PA=OA； 2分解：（2）过点O作OHAB于点H，则AH=HB=AB，1分 tanOPB=，PH=2OH， 1分设OH=，则PH=2，由（1）可知PA=OA= 10 ，AH=PHPA=210， ， 1分解得（不合题意，舍去），AH=6， AB=2AH=12； 1分（3）P、A、O、C；A、B、D、C 或 P、A、O、D 或P、C、O、B.2分HPABCODEFG9.（2012河北省5,2分）5、如图2，CD是O的直径，AB是弦（不是直径），ABCD于点E，则下列结论正确的是 （ ）AEBE AD=BC D=AEC ADECBE【解析】根据垂径定理可知，A、B是错误的，进而判断C也是错误的。故选D。【答案】D【点评】解选择题不一定非得用正规方法，利用排除法解决比较简单，这也是学生的能力，在教学中，多注意培养。本题考查的知识点是和圆有关的知识，和相似三角形的有关知识，属于中等题型。10.（2012河南，8，3分）如图，已知为的直径，切于点A, 则下列结论不一定正确的是 A B C D 8.解析：根据切线的性质，BADA，故A对；根据所给的一对等弧，EAC=CAB，又ACO=CAB；EAC=ACO；OCAE，故B对；由同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半，可知C对；OD不一定垂直AC.解答：D点评：本题以圆为背景考查了切线的性质，圆周角定理以及平行线垂线的一些知识，熟练掌握它们的性质是解题的关键.11.（2012湖北黄冈，6，3）如图，AB 为O 的直径，弦CDAB 于E，已知CD=12， EB=2，则O的直径为（ ）A. 8 B. 10 C.16 D.20【解析】连接OC，由垂径定理得CE=CD=12=6，设O的半径为r，在RtOCE中，OE=OB-EB=r-2， r2=62+（r-2）2，解得：r=10，O的直径=2r=20.应选D.【答案】D【点评】这是一道综合运用垂径定理和勾股定理的常规题，但需要利用方程思想来解决问题.难度中等.12.(2012山东日照，17，4分)如图，过A、C 、D三点的圆的圆心为E，过B、F、E三点的圆的圆心为D，如果A=63，那么B= 来源解析：连接EC,ED,则在E中，ACE=A=63，所以AEC=180-632=54,又ECD=EDC=2B,所以AEC=ECD+B=3B=54，B=18解答：填18点评：本题主要考查圆的半径处处相等的知识和三角形的外角与内角的关系定理，解题的关键是正确作出辅助线，找到相关的等腰三角形.13.（2012，黔东南州，4）如图，若ABO的直径，CD是O的弦，ABD=55，则BCD的度数为（ ）A、35 B、45 C、55 D、75 解析：如右图所示，连接AD，则是直角三角形， ,则, 根据同弧所对的圆周角相等， .答案：A点评：本题考查了圆周角的性质，在做题过程中要注意作辅助线，难度较小.14.（2012深圳市 9 ，3分）如图2，C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上一点，则C的半径为（ ）A. 6 B. 5 C 3 D. 图2【解析】：考查圆的基本定义和性质，圆心角与圆周角的关系，直径和圆周角的关系，直解三角形的边角关系等。【解答】：易知AB为圆的直径，连接OC，易求，可知，易求，则半径为3。故选择C【点评】：掌握圆心角与圆周角的关系，求出是解题的关键。易错点是误选了A15.（2012山东省青岛市，11，3）如图，点A、B、C在O上，AOC=60，则ABC的度数是 .【解析】作弧ABC所对的圆周角D，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得，D=30，而ABC与D是圆内接四边形对角，所以ABC=180-D=150.【答案】150 .【点评】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，要求对定理和性质熟练掌握并灵活运用16.（2012江苏省淮安市，4，3分）如图，AB是O的直径，点C在O上，若A=40 ，则B的度数为（ ） A80 B60 C50 D40 【解析】根据直径所对的圆周角为90，可得C的度数，再利用三角形内角和定理进行计算AB为O的直径，C=90，A=40，B=180-90-40=50【答案】C 【点评】此题主要考查了圆周角定理和三角形内角和定理，题目比较简单17.（2012四川达州，3，3分）如图，O是ABC的外接圆，连结OB、OC，若OB=BC，则BAC等于A、60 B、45 C、30 D、20解析：由OB=BC=OC，则OBC是等边三角形，因此O=60，故BAC=30。答案：C点评：本题将等边三角形的判定及性质融合于中，考查了圆心角与圆周角之间的关系，题目涉及了5个知识点，是个好题。18.（2012浙江省嘉兴市，15，5分）如图,在O中,直径AB弦CD于点M,AM=18,BM=8,则CD的长为_. 【解析】如图（第15题-1）, 连接AC、BC. AB是O的直径，ACB90.直径AB弦CD于点M,CMDM,AMCCMB90.AMCCMB, ,即.AM=18,BM=8,CM12, CD24. 应填24.【答案】24【点评】本题是证明题，属中档题.主要考查圆的基本性质，垂径定理及相似三角形的判定与性质的应用. 连接AC、BC，构造直角三角形是解题的关键.19.（2012贵州遵义，14,4分）如图，AB是O的弦，AB长为8，P是O上一个动点（不与A、B重合），过点O作OCAP于点C，ODPB于点D，则CD的长为解析：根据垂径定理得出AC=PC，PD=BD，根据三角形的中位线推出CD=AB，代入求出即可解：OCAP，ODPB，由垂径定理得：AC=PC，PD=BD，CD是APB的中位线，CD=AB=8=4，故答案为：4答案：4点评：本题考查了三角形的中位线和垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，难度适中20. （2011上海，21，10分）如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA3，AC2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N（1）求线段OD的长；（2）若，求弦MN的长【答案】（1）CDAB， OAB=C，OBA=DOA=OB，OAB=OBAC=DOC=ODOA=3，AC=2，OC=5OD=5（2）过点O作OECD，E为垂足，连接OM在RtOCE中，OC=5，设OE=x，则CE=2x由勾股定理得，解得x1=，x2=（舍去）OE=在RtOME中，OM=OA=3，ME=2。MN=2ME=410.（2011浙江金华，24，12分）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DBAB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF.（1）当AOB30时，求弧AB的长；（2）当DE8时，求线段EF的长；（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.（1）连结BC,A（10，0）, OA=10 ,C