球面和共轴球面系统.ppt

第二章 球面和共轴球面系统 v2.1 光经过单个折射球面的折射 v2.2 单个折射球面的成像倍率、拉赫不变量 v2.3 共轴球面系统 v2.4 球面反射镜 2.1 光线经过单个折射球面的折射 v2.1.1 符号规则（重点） v2.1.2 实际光线经过单个折射球面的光路计算公式 v2.1.3 近轴光的光路计算公式 一个物体经过特定光学系统的成像过程，实际是光线经过 光学系统各个折射面折射后的综合效果。要知道具体的成像关 系，需要逐个面进行光路计算。因此本章我们首先讨论单个折 射球面的折射成像关系的计算，然后再过渡到整个系统的计算 。 本章主要讨论共轴折射球面子午面内的光路计算。 2.1.1 符号规则 v图中OE为n和n的分界面；C为球心；OC为球面曲率半径，大 小为r；通过球心的直线是光轴，和球面的焦点为定点O。 vOA大小为L，称为物方截距物方截距；角EAO，大小为U，称为物方孔物方孔 径角径角； vOA大小为L，称为像方截距像方截距；角EAO，大小为U，称为像方像方 孔径角孔径角。 图2-1 单个折射球面的有关参量 2.1.1 符号规则 v实际计算中，仅仅了解这些参量的大小是不够的，我们需要知道物（像） 点在折射面的左右，折射面的凹凸，光线在光轴的上下。等等信息， 所以必须人为再给出一些符号法则来完善这些信息。 具体规则如下：具体规则如下： 一般规定光是自左向右传播光是自左向右传播 1、对垂轴线段：以光轴为准，在光轴之上为“”，光轴之下为“”； 2、对沿轴线段：以顶点O为原点，顶点到光线与光轴交点的方向与光的 传播方向相同则为“”，反之则为“”； 3、光线与光轴夹角（物方孔径角为U，像方孔径角为U）：由光轴转向光 线，以锐角方向进行度量，顺时针为“”，逆时针为“”； 4、法线与光轴的夹角（）：由光轴以锐角转向法线，顺时针为“”，逆 时针为“”； 5、光线与法线的夹角（入射角I、反射角I、折射角I”）：由光线以锐角转 向法线， 顺时针为“”，逆时针为“”； 6、折射面之间的间隔（d）：由前一折射面的顶点到后一折射面的顶点方 向与光线的传播方向一致为“”，反之为“”。 凸球面曲率半径为正，凹球面曲率半径为负凸球面曲率半径为正，凹球面曲率半径为负 2.1.1 符号规则 v注意，符号规则是人为规定的，不同的书 上可能有所不同，但是在使用时只能使用 其中一种，不能混淆。 v另外，在同一次光路计算当中，正方向（ 光线传播方向）的规定也最好是唯一的， 不建议更换方向。 2.1.2 实际光线经过单个折射球面 的光路计算公式 物体位于有限物体位于有限 远处远处 2.1.2 实际光线经过单个折射球面 的光路计算公式 当物在无限远时， L = ，设一条光 线平行于光轴入射，入射高度为，则 有： 物体位于无限远物体位于无限远 处处 2.1.2 实际光线经过单个折射球面 的光路计算公式 v由上面提供的公式，我们可以由已知的L和U求出L和U。 v由以上公式可知，当L一定的时候，L是U的函数，所以A 点发出的同心光束，以不同的U角射到折射面再出射时， 已经不再是同心光束了，同光轴有多个不同交点，说明成 像已经不完善了，这就是所谓“球差球差”。 v可见，球差是折射球面的原理性误差。 2.1.3 近轴光的光路计算公式 v我们假设A点发出的光线与 光轴夹角U很小，则相应的 角度I、I和U都很小，那么 这些角度的正弦值就可以用 弧度值来替代了，用小写字 母i、i、u和u来表示。 v我们定义可以做这样近似的 区域为“近轴区”或“傍轴区” 。 以上近似得到了一个非常大的好处：以上近似得到了一个非常大的好处： 现在对于已知的现在对于已知的l l和和u u值，无论值，无论u u为何值，为何值，l l为定值。为定值。 表明轴上点在近轴区成像时，其像可认为是表明轴上点在近轴区成像时，其像可认为是完善完善的，的， 称为称为高斯像点高斯像点，过高斯像点垂直于光轴的面称为，过高斯像点垂直于光轴的面称为高斯像面高斯像面， 构成物像关系的一对点称为构成物像关系的一对点称为共轭点共轭点。 2.1.3 近轴光的光路计算公式 v根据近轴光路的计算公式有：lu=lu=h 以上三式是我们计算单折射球面物像之间关系的基本公式以上三式是我们计算单折射球面物像之间关系的基本公式 2.1.3 近轴光的光路计算公式 该公式表示为不变量的形式，Q称为阿贝不变量，对于一 个折射球面，物空间和像空间的Q值是相同的。 不同的共轭关系点会对应不同的Q值，在日后的像差理论 学习中有重要意义。 该公式表示近轴光折射前后的孔径角u和u之间的关系。 该公式表示折射球面的物像位置l和l之间的关系，是求高 斯像面位置的公式。 2.2 单个折射球面的成像倍率、拉赫不 变量 v2.2.1 垂轴倍率 v2.2.2 轴向倍率 v2.2.3 角倍率 v2.2.4 三个倍率之间的关系 v2.2.5 拉格朗日-赫姆霍兹不变量 2.2.1 垂轴倍率 v定义：像的大小与物的大小比值。 v其数学表示形式为：=y /y 近轴区有限大小的物体近轴区有限大小的物体 经过单个折射球面的成像经过单个折射球面的成像 从图中可见，根据三角形ABC与ABC相似有： 2.2.1 垂轴倍率 v又根据阿贝不变量有： 最常使用的公最常使用的公 式式 要牢记！要牢记！ 2.2.1 垂轴倍率 v由之前的公式，可以计算出的具体数值， 的大小和符号 有着十分重要的意义，我们用其来判断成像的状况！ 重要结论重要结论 牢记！牢记！ 2.2.2 轴向倍率 v轴向放大率：表示光轴上一对共轭点沿轴向移动量之间的关 系。 v它又分为二种情形来加以讨论：一为物体作微小移动；一为 物体移动有限距离。 1 1）物体作微小移动）物体作微小移动： 根据轴向放大率的定义，利用高斯公式有： 求导数求导数 上式就是沿轴向放大倍率的表示形式，显然其形式与垂轴 放大率很相似，从而我们可以将此式再进行一下变换，得 到 , 之间的关系： 2.2.2 轴向倍率 2 2）物体移动有限距离）物体移动有限距离 高斯公式 1为第一位置处的垂轴放大率；2为第二位置处的垂轴放大率。 2.2.3 角倍率 v角放大率 ：近轴区内，一对共轭光线的像方孔径 角u与物方孔径角u之比， 即： 2.2.4 三个倍率之间的关系 即轴向放大率与角放大率之积与垂轴放大率相等。 2.2.5 拉格朗日-赫姆霍兹不变量 vJ称为拉赫不变量，说明在一对共轭空间内，y、u 和n的乘积为常数。 vJ用于描述物高、像高（反映的是视场的大小）； 物方孔径角、像方孔径角（反映进入系统的能量 多少）之间关系的物理量。 例题例题2.12.1 v（课后习题第一题）平凸透镜r1=100mm， r2=，d=300mm，n=1.5，当物体在-时候 v1）求高斯像面的位置； v2）在平面上刻十字，问其共轭像在什么位 置； v3）当入射高度为h=10mm，问光线的像方 截距是多少？和高斯像面相比相差多少？ 说明什么问题？ 2.3 共轴球面系统 v2.3.1 共轴球面系统的转面（或过渡）公式 v2.3.2 共轴球面系统的拉赫不变量 v2.3.3 共轴球面系统的倍率计算 单个折射球面不能作为一个基本成像元件（ 反射镜例外，可以单面成像），基本成像元件是 至少两个球面或非球面所构成的透镜。大部分透 镜都由球面构成，加工方便，成本降低。 2.3.1 共轴球面系统的转面（或过渡）公式 v复杂的系统由多个折射面构成，必须解决折射面与折射面 之间的过渡问题。 1 1、过渡公式：、过渡公式： 假设系统由多个折射面k构成，各折射面的参量如下所 示，分别为： 分别为各折射面的曲率半径；折射面之间的间隔；介质折射 率。 2.3.1 共轴球面系统的转面（或过渡）公式 那么对于近轴光来 说，有： 2.3.1 共轴球面系统的转面（或过渡）公式 v对于实际光线，公式同上，只不过，符号大写： 设h为光线在折面上入射高度，则有： 故有： 2.3.2 共轴球面系统的拉赫不变量 v前面说了单个折射面的J，实际不仅对单个折射面J是个定值 ，对于整个系统而言，它也是个不变的量。 系统的J： 以上结论可以用于在光路计算过程中，以上结论可以用于在光路计算过程中， 验证每个成像空间的计算是否正确！验证每个成像空间的计算是否正确！ 2.3.3 共轴球面系统的倍率计算 v对于共轴球面系统，利用转面公式很容易证明三 种倍率等于各个折射面相应倍率的乘积。 三者的关系： 证明过程在课本证明过程在课本P26P26 ， 请课后自行复习！请课后自行复习！ 例题例题2.22.2 v一个玻璃棒（n=1.5）长500mm，两端为半 球面，半径分别是50mm和100mm，物体高 1mm，垂直于左端球面顶点之前200mm处的 轴线上，试求： v1）物体经过整个玻璃棒后成像的位置； v2）整个玻璃棒的垂轴放大率是多少？ 2.4 球面反射镜 v前面指出，反射定律可认为是折射定律在n=-n时的 特例，因此，将之前的折射球面的计算公式代以n= -n，可以得到相应的反射球面计算公式。 2.4.1 球面反射镜的物像位置公式 2.4.2 球面反射镜的成像倍率 2.4.3 球面反射镜的拉赫不变量 2.4.1 球面反射镜的物像位置公式 v球面反射镜有二种：一为凸面镜；一为凹面镜。 1、物像位置关系式： 我们已知道折射面的物像位置关系式： 由于反射是折射的特例，是n = n时的情况，代入上式就可 得到： 此公式需此公式需 牢记！牢记！ 2.4.2 球面反射镜的成像倍率 v同样将n=-n代入折射球面倍率计算公式，有： 由以上公式：由以上公式： 1 1、因为沿轴倍率恒为负，物体与像运动的方向相反；、因为沿轴倍率恒为负，物体与像运动的方向相反； 2 2、特殊位置：当物体位于反射面球心时，像也在球心，、特殊位置：当物体位于反射面球心时，像也在球心， 此时反射球面为二者的等光程面。此时反射球面为二者的等光程