高中数学第二章平面向量2.3向量的坐标表示2.3.2平面向量的坐标运算教案.docx

23.2平面向量的坐标运算教学分析1前面学习了平面向量的坐标表示，实际是平面向量的代数表示在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算2本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律，推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律3引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，一个自然的想法是向量的某些关系，特别是向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数，使得ab，那么a与b共线)，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示这种转化是比较容易的，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示要注意的是，向量的共线与向量的平行是一致的三维目标1通过经历探究活动，使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示2引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，平面向量的坐标成了数与形结合的载体在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识重点难点教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：对平面向量共线的坐标表示的理解课时安排2课时第1课时导入新课对于平面内的任意向量a，过定点O作向量a，则点A的位置被向量a的大小和方向所惟一确定如果以定点O为原点建立平面直角坐标系，那么点A的位置可通过其坐标来反映，从而向量a也可以用坐标来表示，这样就可以通过坐标来研究向量问题了事实上，向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算引进向量的坐标表示后，向量的线性运算怎样通过坐标运算来实现呢？推进新课1平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得axiyj，则实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)注意：(1)在直角坐标平面内，以原点为起点的向量的坐标就等于点A的坐标(2)两个向量相等对应坐标相等2平面向量的坐标运算(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标|，即平面内两点间的距离公式(3)若a(x，y)，则a(x，y)，R.3线段的中点坐标公式若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1P2的中点P(，)思路1例1课本本节例1.变式训练已知平面向量a(1,1)，b(1，1)，则向量ab等于()A(2，1) B(2,1)C(1,0) D(1,2)答案：D例2课本本节例2. 变式训练1.如图1，已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(2,1)、(1,3)、(3,4)，试求顶点D的坐标图1活动：本题的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算这里给出了两种解法：方法一利用“两个向量相等，则它们的坐标相等”，解题过程中应用了方程思想；方法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量的坐标，进而得到点D的坐标解题过程中，关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系)，数形结合地思考，将顶点D的坐标表示为已知点的坐标解：方法一：如图1，设顶点D的坐标为(x，y)(1(2)，31)(1,2)，(3x,4y)，由，得(1,2)(3x,4y)顶点D的坐标为(2,2)方法二：如图1，由向量加法的平行四边形法则可知(2(1)，13)(3(1)，43)(3，1)，而(1,3)(3，1)(2,2)，顶点D的坐标为(2,2)点评：本题的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算2.如图2，已知平面上三点的坐标分别为A(2,1)，B(1,3)，C(3,4)，求点D的坐标，图2使这四点构成平行四边形的四个顶点解：当为ABCD时，仿例2得D1(2,2)；当为ACDB时，仿例2得D2(4,6)；当为DACB时，仿例2得D3(6,0).例3课本本节例4.思路2例1设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标活动：教师充分让学生思考，并提出：这一结论可以推广吗？即当时，点P的坐标是什么？师生共同讨论，一起探究，可按照求中点坐标的解题思路类比推广，有学生可能提出如下推理方法：由，知(xx1，yy1)(x2x，y2y)，即 这就是线段的定比分点公式，教师要给予充分肯定，鼓励学生的这种积极探索，这是学习数学的重要品质时间允许的话，可以探索的取值符号对P点位置的影响，也可鼓励学生课后探索解：(1)如图3，由向量的线性运算可知图3()(，)所以点P的坐标是(，)(2)如图4，当点P是线段P1P2的一个三等分点时，有两种情况，即或2.如果，那么()图4(，)即点P的坐标是(，)同理，如果2，那么点P的坐标是(，)点评：本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式.变式训练在ABC中，已知点A(3,7)、B(2,5)若线段AC、BC的中点都在坐标轴上，求点C的坐标解：(1)若AC的中点在y轴上，则BC的中点在x轴上设点C的坐标为(x，y)，由中点坐标公式得0，0，x3，y5，即C点坐标为(3，5)(2)若AC的中点在x轴上，则BC的中点在y轴上，同理可得C点坐标为(2，7)综合(1)(2)，知C点坐标为(3，5)或(2，7).例2已知点A(1,2)，B(4,5)，O为坐标原点，t.若点P在第二象限，求实数t的取值范围活动：教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量相等，把已知条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进行求解教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力，或者让学生到黑板上板书解题过程，并对思路清晰过程正确的同学进行表扬，同时也要对组织步骤不完全的同学给予提示和鼓励教师要让学生明白“化归”思想的利用不等式求变量取值范围的基本观点是：将已知条件转化为关于变量的不等式(组)，那么变量的取值范围就是这个不等式(组)的解集解：由已知(4,5)(1,2)(3,3)，(1,2)t(3,3)(3t1,3t2)若点P在第二象限，则 t.故t的取值范围是(，)点评：此题通过向量的坐标运算将点P的坐标用t表示，由点P在第二象限可得到一个关于t的不等式组，这个不等式组的解集就是t的取值范围课本本节练习16.1先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识：平面向量的和、差、数乘的坐标运算2教师与学生一起总结本节学习的数学方法，定义法、归纳、整理、概括的思想，强调在今后的学习中，要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神，为将来的发展打下良好的基础课本习题2.318.1本节课中向量的坐标表示及运算实际上是向量的代数运算这对学生来说学习并不困难，可大胆让学生自己探究本教案设计流程符合新课改精神教师在引导学生探究时，始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点让学生在了解向量知识网络结构的基础上，进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律，能熟练向量代数化的重要作用和在实际生活中的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力2平面向量的坐标运算包括向量的代数运算与几何运算相比较而言，学生对向量的代数运算要容易接受一些，但对向量的几何运算往往感到比较困难，无从下手3通过平面向量坐标的加、减代数运算，结合图形，不但可以建立向量的坐标与点的坐标之间的联系，而且教师可在这两题的基础上稍作推广，就可通过求向量的模而得到直角坐标系内的两点间的距离公式甚至可以推出中点坐标公式它们在处理平面几何的有关问题时，往往有其独到之处，教师可让学有余力的学生课下继续探讨，以提高学生的思维发散能力一、关于点P分有向线段所成的比的探讨(1)定义法：根据已知条件直接找到使的实数的值例1已知点A(2，3)，点B(4,1)，延长AB到P，使|3|，求点P的坐标解：因为P点在AB的延长线上，P为的外分点，所以，0，于是(1,1)，(x1，y)图7，存在实数，使得(1,1)(x1，y)，即1y(x1)10 yx1.ACOCCE(已知)，CE2OC2(x1)2(y1)22.由y0，联立解得即E(，)AEOE1.设F(t,0)，则(1t,1)，(，)F，C，E三点共线，.存在实数，使得(1t，t)(，)，即(1t)10，解得t1.AFOF1.AFAE.第2课时导入新课向量的应用主要是解决平面几何问题，而几何中的平行问题占着重要的地位，向量的平行包含着几何中的平行情形，本章开始时已初步研究了向量的平行问题，但仍然用的是几何方法来研究的本节课通过坐标的方法来研究向量的平行问题，但涉及内容不是很深推进新课若向量a与非零向量b为共线向量，则当且仅当存在惟一的一个实数，使得ab，那么这个条件如何用坐标来表示呢？活动：教师引导推证：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中ba，由ab，(x1，y1)(x2，y2) 消去，得x1y2x2y10.结论：ab(b0) x1y2x2y10.教师应向学生特别提醒感悟：1消去时不能两式相除，y1、y2有可能为0，而b0，x2、y2中至少有一个不为0.2此条件不能写成(x1，x2有可能为0)3从而向量共线的条件有两种形式：ab(b0) 由此我们得到：设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)(a0)，如果ab，那么x1y2x2y10；反过来，如果x1y2x2y10，那么ab.证明：a(x1，y1)，b(x2，y2)，因为a0，所以x1、y1不全为0.不妨假设x10.(1)如果ab，则存在实数，使ba，即(x2，y2)(x1，y1)(x1，y1)，所以因为x10，由得.将代入，得y2y1，即x1y2x2y10.(2)反之，如果x1y2x2y10，因为x10，所以y2y1.(x2，y2)(x2，y1)(x1，y1)令，则ba，所以ab.例1已知a(1,0)，b(2,1)，当实数k为何值时，向量kab与a3b平行？并确定此时它们是同向还是反向解：kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a3b(1,0)3(2,1)(7,3)由向量平行的条件，可得3(k2)(1)70，所以k.此时，kab(，1)(7,3)(a3b)因此，它们是反向的.变式训练已知a(4,2)，b(6，y)，且ab，求y.解：ab，4y260.y3.例2已知点O，A，B，C的坐标分别为(0,0)，(3,4)，(1,2)，(1,1)，是否存在常数t，使得t成立？解释你所得结论的几何意义解：设存在常数t，使得t，则(3,4)t(1,2)(1,1)，所以t(1,2)(1,1)(3,4)(2，3)所以此方程组无解，故不存在这样的常数t.上述结论表明向量与不平行.变式训练已知A(1，1)，B(1,3)，C(2,5)，试判断A、B、C三点之间的位置关系活动：教师引导学生利用向量的共线来判断首先要探究三个点组合成两个向量，然后根据两个向量共线的条件来判断这两个向量是否共线，从而来判断这三点是否共线教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系让学生通过观察图形领悟先猜后证的思维方式解：在平面直角坐标系中作出A、B、C三点，观察图形，我们猜想A、B、C三点共线下面给出证明(1(1)，3(1)(2,4)，(2(1)，5(1)(3,6)，又26340，且直线AB、直线AC有公共点A，A、B、C三点共线点评：本题的解答给出了判断三点共线的一种常用方法，其实质是从同一点出发的两个向量共线，则这两个向量的三个顶点共线这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的.课本本节练习1、2、3.代数化研究向量平行问题是本节课的重点内容，向量的平行可以公式化地解决，这就是数学化思考问题的方法，我们通过本节课，不光要记住平行向量的坐标表示的方法，还要理解数学化处理问题的思想本节课的主要内容是让学生探究向量平行的坐标表示及应用，实际上向量的应用主要是解决平面几何问题和物理问题的在平面几何中平行问题占着重要的地位本章开始时已初步研究了向量的平行问题，但所用方法仍是向量的几何法本节是通过坐标的方法来探究向量的平行问题，由于上节学生刚刚探究了向量的坐标表示及坐标运算，所以本节的教学活动完全可以放给学生自己探究完成，本教案的设计就是在教师的指导下，学生探究、应用由于本节难度小，学生会轻松愉快地掌握好本节内容备用习题1若a2i3j，b4iyj，且ab，则y等于()A2 B4 C6 D82已知A(1，3)，B(8，)，若A、B、C三点共线，则C点坐标可能是()A(9,1) B(9，1) C(9,1) D(9，1)3向量a(n,1)与b(4，n)共线且方向相同，则n_.4已知O点是ABCD的对角线的交点，(2,5)，(2,3)，则坐标为_，坐标为_，坐标为_5ABC中，