正切函数的性质与图象.ppt

第1页 * 1.4.3 正切函数的性质与图象 第2页 * 自 学 导 引(学生用书P26) 由正切线得到正切曲线,并掌握正切曲线的性质. 第3页 * 课 前 热 身(学生用书P26) 函数y=tanx的性质与图象见下表: y=tanx 图象 定义域 值域 周期 奇偶性 单调性在开区间_上都是_ (-,+) 最小正周期是 奇函数 增函数 第4页 * 名 师 讲 解 (学生用书P26) 1.正切函数的性质 通过观察正切线正切曲线得到正切函数的各种性质,包括它 的定义域值域周期性奇偶性和单调性. 对于正切函数的性质应注意以下几点: 第5页 * 正切函数y=tanx的定义域是x|xk+ ,kZ,这一点 与已学过的正弦函数和余弦函数不同,在解题中往往注意不到 .比如,求函数 的定义域,不仅要考虑到tanx1,还要考 虑到tanx自身的限制,于是有: 注意一定不能忽略后者. 第6页 * 正切函数y=tanx的最小正周期为,这一点也是与正弦函数 余弦函数不同的.形如y=tanx的函数的最小正周期 这 可以作为公式使用. 关于正切函数的单调性有下列命题: 命题一:正切函数y=tanx是增函数; 命题二:正切函数y=tanx在其定义域上是增函数; 命题三:正切函数y=tanx在每一个开区间( +k, +k) (kZ)内是增函数. 应指出,只有命题三是真命题. 第7页 * 2.正切曲线 (1)用几何法作正切曲线,也就是用单位圆中的正切线画出正 切曲线.正切曲线是由沿y轴的上、下两个方向无限伸展,并被 无穷多条与x轴垂直的直线x=k+ (kZ)隔开的无穷多支 曲线所组成的.这些直线x=k+ (kZ)为正切曲线的渐近 线,在每两条这样的相邻直线之间,曲线是连续变化的,并且从 左向右看是上升的. 第8页 * (2)正切曲线草图的画法. 正切函数的图象在要求不高的情况下,可用“三点两线法”画出 草图,“三点”是指(- ,-1),(0,0),( ,1);“两线”是指x=- ,x= .在三点两线确定的情况下,可大致画出正切函数在(- , )上的简图,然后向左右平移即可得正切曲线. 第9页 * 典 例 剖 析(学生用书P26) 题型一 利用正切函数的单调性比较大小 第10页 * 例1:比较的大小. 分析:利用诱导公式化为同一单调区间上的正切函数,利用 正切函数的单调性比较大小. 第11页 * 第12页 * 规律技巧:当所给的两个角不在同一单调区间时,要用诱导 公式将它们化到同一单调区间,不是同名函数的要利用公式化 成同名函数. 第13页 * 变式训练1:比较下列各组数的大小. (2)tan1,tan2,tan3. 第14页 * 第15页 * 题型二 求函数的单调区间 例2:写出下列函数的单调区间 (1)y=tan (2)y=|tanx|. 分析:(1)用换元法,(2)用图象解. 第16页 * 第17页 * (2)y=|tanx|= tanx,xk,k+ )(kZ), -tanx,x(k- ,k(kZ). 可作出其图象(如下图),由图象知函数y=|tanx|的单调递减区 间为(k- ,k(kZ),单调递增区间为k,k+2)(kZ). 第18页 * 规律技巧:因为本题是分段函数且周期为,所以可考查在(0, )及(- ,0)的单调性,然后根据周期,写出x在定义域内的单调 区间. 第19页 * 变式训练2:y=2tan(3x+ )的单调增区间是_. 第20页 * 题型三 正切函数性质的应用 例3:(2005全国)已知函数y=tanx在(- , )内是减函 数,则( ) A.01时,图 象将缩小周期,故-1tan45=1,a=logtan70log=1,而 c=()cos25(0,1),bca. 答案:D 第33页 * 第34页 * 答案:C 第35页 * 8.给出下列命题: 函数y=cosx在第三四象限都是增函数; 函数y=tan(x+)的最小正周期为 函数y=sin 是偶函数; 函数的图象关于原点对称.其中正确命题的序 号是_. 第36页 * 解析:的说法是错误的.中最小正周期应为 所以也 错.中是偶函数,所以正确.对 于易知为奇函数,所以图象关于原点对称,故 正确. 答案: 第37页 * 能力提升 9.已知点p(sin-cos,tan)在第一象限,则在0,2)内的取 值范围是( ) 第38页 * 答案:B 第39页 * 10.求函数的单调区间. 分析:由于x的系数小于零,故应将其进行变形,化为系数为正 ,再根据正切函数单调性求解. 第40页 * 第41页 * 品 味 高 考(学生用书P28) 11.(2008江西)函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|在区间 内的图象大致是( ) 第42页 * 解析:当x( ,)时,tanx0,