高中数学第一章导数及其应用1.6微积分基本定理学案含解析.docx

1.6 微积分基本定理微积分基本定理已知函数f(x)2x1，F(x)x2x.问题1：f(x) 和F(x)有何关系？提示：F(x)f(x)问题2：利用定积分的几何意义求 (2x1)dx的值提示： (2x1)dx6.问题3：求F(2)F(0)的值提示：F(2)F(0)606.问题4：(2x1)dx与F(2)F(0)有什么关系？提示：f(x)dxF(2)F(0) 1微积分基本定理内容如果f(x)是区间上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)符号f(x)dxF(x) F(b)F(a)2.定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S下则(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图，则f(x)dxS上(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图，则S下(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图，则f(x)dxS上S下；若S上S下，则0.(1)微积分基本定理沟通了定积分与导数的关系，揭示了被积函数与函数的导函数之间的互逆运算关系，为计算定积分提供了一个简单有效的方法转化为计算函数F(x)在积分区间上的增量(2)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足F(x)f(x)的函数F(x)，再计算F(b)F(a)(3)利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简被积函数，再求定积分求简单函数的定积分求下列定积分：(1)(x22x3)dx；(2) (cos xex)dx；(3)sin2dx.(1) (x22x3)dxx2dx2xdx3dxx23x.(2) (cos xex)dxcos xdxexdxsin xex1.(3)sin2，而cos x，sin2dxdx. 由微积分基本定理求定积分的步骤当被积函数为两个函数的乘积时，一般要转化为和的形式，便于求得函数F(x)，再计算定积分，具体步骤如下第一步：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；第二步：计算函数的增量F(b)F(a)计算下列定积分：(1)dx；(2)(1)dx；(3)(sin x2x)dx.解：(1)因为(exln x)ex，所以dx(exln x)e2ln 2e.(2)因为(1)x，x，所以(1)dx(x)dx.(3)法一：因为(cos xx2)sin x2x，所以(sin x2x)dx(cos xx2)0.法二：令f(x)sin x2x，因为函数f(x)sin x2x为奇函数，所以f(x)sin x2x的图象关于原点对称，即曲线yf(x)位于x轴上方的图形面积与位于x轴下方的图形面积相等，故由定积分的几何意义可得，所求定积分为0.求分段函数的定积分已知f(x)计算f(x)dx.f(x)dx f(x)dxf(x)dx (4x2)dxcos xdx.取F1(x)2x22x，则F1(x)4x2；取F2(x)sin x，则F2(x)cos x.所以 (4x2)dxcos xdx(2x22x) sin x21，即f(x)dx21. 分段函数的定积分的求法(1)由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是分段函数时，常常利用定积分的性质，转化为各区间上定积分的和计算(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算计算定积分4|x3|dx.解：因为f(x)|x3|所以|x3|dx(x3)dx(x3)dx5.利用定积分求参数设函数f(x)ax2c(a0)，若f(x)dxf(x0)，0x01，求x0的值因为f(x)ax2c(a0)，且ax2c，所以f(x)dx(ax2c)dxcaxc，解得x0或x0(舍去)即x0的值为. 利用定积分求参数应注意的问题利用定积分求参数时，注意方程思想的应用一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算，其次要注意积分下限小于积分上限已知f(x)是二次函数，其图象过点(1,0)，且f(0)2，f(x)dx0，求f(x)的解析式解：设f(x)ax2bxc(a0)，abc0.f(x)2axb，f(0)b2.f(x)dx(ax2bxc)dxabc0.由得f(x)x22x.计算(2t3)dx_.(2t3)dx(2t3)x(2t3)2(2t3)12t3.2t31本题的积分变量为x，解决本题易错误地把t当作积分变量，从而造成结论错误2求定积分是对函数的积分变量而言的，在同一个题目中要注意区分“参数”及“变量”高考对定积分运算的考查主要有以下几类：(1)利用微积分基本定理求定积分：例：(湖南高考)(x1)dx_.解析：(x1)dx2220.答案：0 (2)利用定积分的几何意义求定积分：例： dx_.解析：由定积分的几何意义，知dx就是由曲线y，x0，x1，y0围成的图形的面积因为y等价于x2y21(y0)，所以上述曲线围成的图形是以原点为圆心，1为半径的四分之一圆，面积为，所以dx.答案：(3)利用转化法求定积分例：cos2dx_.解析：cos2dxdxdxcos xdxxsin x.答案：(4)利用函数性质求定积分例：lgdx_.解析：记f(x)lg，易知定义域为(1,1)，因为f(x)lglg1f(x)，所以f(x)为奇函数，故lgdx0.答案：01下列值等于1的是()1下列值等于1的是()A.xdxB.(x1)dxC.1dx D.dx解析：选C选项A，因为x，所以xdx；选项B，因为x1，所以(x1)dx；选项C，因为x1，所以1dxx1；选项D，因为，所以dxx.2 (sin xcos x)dx的值是()A0 B.C2 D4解析：选C (sin xcos x)dxsin xdxcos xdx(cos x) sin x2.3计算x2dx_.解析：由于x2，所以x2dxx3.答案：4已知2(kx1)dx4，则实数k的取值范围为_解析：(kx1)dx(2k2)k1，所以2k14，解得k2.答案：5计算下列定积分(1)dx；(2)2dx.解：(1)2x2，dxln 2.(2)2x2，且x2，2dxln .一、选择题1.(x3x230)dx等于()A56B28C14 D.解析：选D(x3x230)dxx4x330x(4424)(4323)30(42).2.2dx等于()A. B.C. D.解析：选A2dx2x2dx2dxx3(x3x3).3设f(x)则f(x)dx等于()A. B.C. D不存在解析：选Cf(x)dxx2dx(2x)dxx3.4计算(1)dx的结果为()A1 B.C1 D1解析：选Cdx，(1)dx1dxdx1.5(江西高考)若f(x)x22f(x)dx，则()A1 BC. D1解析：选Bf(x)x22f(x)dx，f(x)dxf(x)dx.二、填空题6若(2x3x2)dx0，则k_.解析：(2x3x2)dx(x2x3)k2k30，解得k0(舍去)或k1.答案：17计算定积分1(x2sin x)dx_.解析：1(x2sin x)dx.答案：8设f(x)若f(f(1)1，则a_.解析：显然f(1)lg 10，f(0)03t2dtt3a3，得a31，a1.答案：1三、解答题9计算下列定积分(1)0(sin xsin 2x)dx；(2)3(|2x3|32x|)dx.解：(1)sin xsin 2x，0(sin xsin 2x)dx01.(2)|2x3|32x|3(|2x3|32x|)dx3(4x)dx6dx4xdx2x236x2x23(2)2(2)(3)26